Université de Paris 7 2004-2005 CAPES: Ecrit

Géométrie affine II

Exercice I:

On considère une translation t et une homothétie h d’un espace affine. Identifier les applications f_{1} = t ∘ h ∘ t, f_{2} = h^{−1} ∘ t ∘ h et f_{3} = t ∘ h ∘ t^{−1}.

Exercice II:

Soit E un espace affine de direction E. Trouver toutes les applications affines f : E ⟶ E telles que pour tout u ∈ E, t_{u} ∘ f = f ∘ t_{u}.

Exercice III:

Montrer que l’ensemble composé des translations et des symétries centrales d’un espace affine est un groupe pour la composition. Est-il commutatif?

Exercice IV:

Soit E un espace affine et G un sous-groupe fini du groupe affine de E. Montrer qu’il existe un point de E qui est fixe pour tous les éléments de G.

Exercice V:

Dans l’espace affine ℝ^{2} muni du repère cartésien (O, e_{1}, e_{2}), on considère la droite D d’équation 2x + y − 2 = 0. Donner l’expression analytique de la symétrie par rapport à D de direction e_{1} + e_{2}.

Exercice VI:

Dans l’espace affine ℝ^{3} muni du repère cartésien (O, e_{1}, e_{2}, e_{3}), on considère l’application affine f définie analytiquement par :

\{ \begin{matrix}x′ = \frac{1}{2}(y + z + 3) \\ y′ = \frac{1}{2}(y + z + 5) \\ z′ = \frac{1}{2}(y + z + 7) \end{matrix}

On note f^{⟶} l’application linéaire associée à f.

1) Montrer que f^{⟶} est une projection (on précisera ses caractéristiques). f est-elle une projection?

2) Soit t la translation de vecteur (3, 3, 3). Identifier l’application affine f ∘ t.

Exercice VII:

Soit E un espace affine réel de direction E. On suppose que E = F ⊕ D avec D une droite vectorielle. Soit F un sous-espace affine de E de direction F, et soit p la projection affine sur F parallèlement à D. Pour tout réel k, on définit a_{k}(M) = p(M) + k(M − p(M)) pour tout M ∈ E. Montrer que a_{k} est une application affine de E dans E (on déterminera en particulier son application linéaire associée). Déterminer l’ensemble de ses points fixes. (a_{k} est appelée l’affinité de direction D, d’hyperplan F et de rapport k)

Exercice VIII:

Si E est un espace vectoriel de dimension 2, un endomorphisme de E est appelé transvection

vectorielle s’il existe une base où sa matrice est ( \begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (α ≠ 0).

Soit maintenant E un plan affine de direction E et O un point de E. On définit f : E ⟶ E par f(M) = O + u(M − O) où u est une transvection vectorielle.

1) Montrer que f est une bijection affine (appelée transvection affine). Déterminer l’ensemble de ses points fixes.

2) Soit A, B, C, A′ tels que f(B) = B, f(C) = C et f(A) = A′. Que peut-on dire de la droite (AA′)? Construire à la règle f(M) quand M est un point quelconque du plan.

3) Montrer que la composée de deux symétries par rapport à une même droite est en général une transvection.

Exercice IX:

Soit X et Y deux ensembles convexes d’un espace affine E. Démontrer que l’ensemble Z des milieux des segments qui joignent un point de X à un point de Y est convexe.

Exercice X:

(Théorème de Lucas) Soit P (X) un polynôme à coefficients complexes de degré n admettant n racines distinctes. Montrer que l’ensemble des racines de P′(X) se trouve dans l’enveloppe convexe de l’ensemble des racines de P (X). Indication : on pourra considérer la dérivée logarithmique P′(X)/P (X).