\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        



\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Alg{\`e}bre lin{\'e}aire II\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

\exo R{\'e}soudre le syst{\`e}me 
$$
\left\{\begin{array}{ccl}
ax+by+2z&=&1\\
ax+(b-1)y+z&=&-1\\
ax+(b+1)y+(b+1)z&=&b+1
\end{array} \right. 
$$
\exo 
\qu D\'eterminer la forme \'echelonn\'ee r\'eduite et le rang de la matrice $B=(b_{ij}) \in {\cal M}_{n}(\R)$ d\'efinie par
$b_{ij}=(i-1)n+j$.  
\qu D\'eterminer le rang de la matrice $F \in {\cal M}_{n}(\R)$ dont
les coefficients, donn\'es ligne par ligne, sont les $n^2$ premiers
termes de la suite de Fibonacci.
\exo 
\qu Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\
    1&0\end{array} \right)$ est produit de matrices \'el\'ementaires
de la forme $T_{ij}(x)$ et $D_{i}(a)$.
\qu Montrer que $GL_{n}(\K)$ est engendr\'e par les matrices
\'el\'ementaires autres que les $P_{ij}$.
\qu Soit $A$ une matrice inversible. On fixe $A=Q_1 \ldots Q_k$ une
d\'ecomposition de $A$ en produit de matrices \'el\'ementaires. Que vaut le d\'eterminant de $A$?
\qu Soit $x$ un scalaire et $a$ un scalaire inversible. Calculer
$D_1(a) T_{12}(x) D_1(a^{-1})$.
  Montrer qu'il existe des matrices inversibles $U$ et $V$ telles que 
  $T_{12}(x) = U V U^{-1} V^{-1}$.
\qu Montrer la m\^eme affirmation pour $T_{ij}(x)$ de taille $n x n$.
\qu Montrer que pour tout homomorphisme $f: GL_n(\K) \rightarrow  G$, o\`u $G$ est un groupe
  commutatif, il existe un unique homomorphisme $g : \K^* \rightarrow
  G$ tel que $f = g\circ \det$.


\exo Soit $a$ et $b$ deux r\'eels distincts. On note pour $0 \leq k
\leq n$, $P_k=(X-a)^k(X-b)^{n-k}$. Montrer que $(P_0, \cdots ,P_n)$
est une base de $\R_n[X]$.

\exo Soit $A \in {\cal M}_3(\K)$. Rappeler la base canonique de ${\cal
  M}_3(\K)$.\\ Quelles sont les matrices de $L_A:B \longmapsto AB$ et
  $R_A:B \longmapsto BA$ dans cette base~? M{\^e}me question pour une
  matrice de ${\cal M}_n(\K)$ (on se contentera de d{\'e}crire le r{\'e}sultat).

\exo On note $\R^{\N}$ l'espace vectoriel des suites r\'eelles.\\ Soit $E=\{(u_n)_{n\in\N} \in \R^{\N} \ | \  \forall n\in\N,
2u_{n+3}+u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_n=0\}$.
\qu Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{\N}$.
\qu Soit $\varphi : E \rightarrow \R^3$  l'application qui \`a une 
suite $(u_n)_{n\in\N}$ associe le triplet $(u_0,u_1,u_2)$. Montrer que
$\varphi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En d\'eduire la
dimension de $E$.
\qu D\'eterminer toutes les suites g\'eom\'etriques appartenant \`a
$E$. En d\'eduire une base de $E$.
\qu D\'eterminer l'\'el\'ement $(u_n)_{n\in\N}$ de $E$ v\'erifiant
$u_0=0$ et $u_1=u_2=1$.
\qu Soit $F=\{(u_n)_{n\in\N} \in E \ | \ u_0=0\}$. V\'erifier que $F$
est un sous-espace vectoriel de $E$ et en donner une base.

\exo Soit $F=\{P \in \R_3[X] \ | \ P(1)=P'(1)=0\}$ et $G=\{P \in
\R_3[X] \ | \ \deg P \leq 1 \}$. 
\qu Montrer que $\R_3[X]=F \oplus G$.
\qu Donner une m{\'e}thode pour trouver la d{\'e}composition de tout
polyn{\^o}me $P \in \R_3[X]$ suivant cette somme directe.

\exo On consid{\`e}re les sous-espaces vectoriels de $\R^{\N}$:\\
$E_1=\{(x_n)_{n\in\N} \in \R^{\N} \ | \  \forall n\in\N,
x_{n+3}-6x_n=2x_{n+2}+x_{n+1}\}$,\\  $E_2=\{ (x_n)_{n\in\N} \in
\R^{\N} \ | \ \forall n\in\N, x_{n+1}-3x_n=0\}$,\\ $E_3=\{ (x_n)_{n\in\N} \in
\R^{\N} \ | \ \forall n\in\N, x_{n+2}+x_{n+1}+2x_n=0\}$.
\qu Quelles sont leurs dimensions?
\qu Montrer que $E_1=E_2\oplus E_3$.

\exo Soit ${\cal F}(\R,\R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\R$
dans $\R$.
\qu On consid{\`e}re les sous-espaces vectoriels suivants de ${\cal
  F}(\R,\R)$ : $U=Vect(1,\cos 2x,\cos 4x)$, $V= Vect(1,\cos ^2x)$ et
$W=Vect(\cos ^4x)$. Montrer que $U=V \oplus W$.
\qu Soit $P=\{ f \in {\cal F}(\R,\R) \ | \ f \ {\rm paire} \}$ et $I=\{
f \in {\cal F}(\R,\R) \ | \ f \ {\rm impaire} \}$. Montrer que ${\cal
  F}(\R,\R)=P \oplus I$.


\exo Soit $E=\{ (x,y,z) \in \R^3 \ | \ x+y+z=0\}$ et $F=Vect
(1,1,2)$. 
\qu Donner une base de $E$.
\qu Montrer que $\R^3=E \oplus F$.
\qu Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur $E$
parall{\`e}lement {\`a} $F$.
\qu Donner la matrice dans la base canonique de la sym{\'e}trie par
rapport {\`a} $E$
parall{\`e}lement {\`a} $F$.




\end{document}