\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{10\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        



\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Alg{\`e}bre lin{\'e}aire III\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

\exo Soit $s:\R_n[X] \longrightarrow \R_n[X]$ l'application d{\'e}finie
par $s(P)=P(1-X)$. 
\qu Montrer que $s$ est une sym{\'e}trie.
\qu Montrer que $P\in \ker (s-id)$ si et seulement si
$P(\frac{1}{2}+X)=P(\frac{1}{2}-X)$ et en d\'eduire une
caract\'erisation des \'el\'ements de $\ker (s-id)$.
\qu Donner une caract\'erisation de $\ker (s+id)$. 
\qu Donner la matrice de $s$ dans la base canonique.
\qu Donner une base de $\R_n[X]$ adapt{\'e}e {\`a} la d{\'e}composition de
$\R_n[X]$ en somme directe de $\ker (s-id)$ et $\ker (s+id)$.

\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie.
\qu Montrer que si $f \in {\cal L}(E)$ est de rang 1 et $f^2 \neq 0$, alors il existe
une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est $diag
(\alpha,0,\ldots,0)$ pour un scalaire $\alpha$ non nul.
\qu Montrer que si $f \in {\cal L}(E)$ est de rang 1 et $f^2 = 0$, alors il existe
une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est $E_{21}$.
\qu Montrer que si $f \in {\cal L}(E)$ est de rang 1, alors $f^2=tr(f)f$.
\qu Soit $\varphi:{\cal L}(E) \rightarrow \K$ une application
lin\'eaire telle que $f^2=\varphi(f)f$ pour tout $f \in {\cal L}(E)$ de
rang 1. Montrer que $\varphi=tr$.


\exo Soit $n \in \N^*$ et $a_0, \ldots, a_n$, $n$ r{\'e}els distincts
deux {\`a} deux. On consid{\`e}re l'application $\varphi$ de $\R_n[X]$
dans $\R^{n+1}$ d{\'e}finie par $\varphi (P)=(P(a_0),\ldots,P(a_n))$.
\qu Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. 
\qu D{\'e}terminer l'image par $\varphi^{-1}$ de la base canonique
de $\R^{n+1}$. On notera $L_i=\varphi^{-1}(e_i)$ o{\`u} $e_i$ est le
$i$-i{\`e}me vecteur de la base canonique de $\R^{n+1}$. Justifier
pourquoi $(L_i)_{i=0,\ldots,n}$ est une base de $\R_n[X]$.
\qu En d{\'e}duire que pour tout $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n) \in
\R^{n+1}$, il existe un unique polyn{\^o}me de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou
{\'e}gal {\`a} $n$ tel que pour tout $i \in \{0,\ldots,n\}$,
$P(a_i)=\alpha_i$. Expliciter ce polyn{\^o}me dans la base
$(L_i)_{i=0,\ldots,n}$.
\qu {\it Application} : d{\'e}terminer l'unique polyn{\^o}me de degr{\'e}
inf{\'e}rieur o{\`u} {\'e}gal {\`a} 2 tel que $P(-1)=1$, $P(1)=-5$ et
$P(2)=\sqrt 2$.

\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $u$ un endomorphisme de
$E$ tel que pour tout $v \in L(E)$, $u \circ v=v \circ u$. Montrer
qu'il existe $\lambda \in \K$ tel que $u= \lambda id_E$.

\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $u$ et $v$ deux
endomorphismes de $E$ qui commutent. 
\qu Montrer que les espaces propres de $u$ sont stables par $v$.
\qu En d{\'e}duire que si le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $u$ est simple,
alors $u$ et $v$ sont diagonalisables dans une m{\^e}me base.



\exo R{\'e}soudre le syst{\`e}me d'{\'e}quations diff{\'e}rentielles suivant :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'_1=y_1+3y_2\\ y'_2=-2y_2+y_3\\
    y'_3=y_1+y_2+y_3 \end{array}\right.$$

\exo
Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^3$ de matrice $A=${\footnotesize$\left(
  \begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 1\\
    2 & 1 & 1\\
    -1 & 1 &1
\end{array}\right)$} dans la base canonique.
\qu Trouver les valeurs propres de $A$.
\qu Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable. Est elle trigonalisable?
\qu D{\'e}terminer les {\'e}quations de ses sous espaces caract{\'e}ristiques.
\qu Montrer  que $A$ est semblable {\`a} {\footnotesize$\left(
  \begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 1\\
    0 & 0 &1
  \end{array}\right)$}
\qu Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in \N$.
%\newpage

\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension
finie $n$ et soit $f$ un endomorphisme de
$E$ dont le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique est irr{\'e}ductible. On veut montrer
qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est la
matrice compagnon du polyn{\^o}me caract{\'e}ristique.
\qu Soit $v \in E \setminus \{0\}$ et soit
$V={\rm Vect}\,(v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v))$. Montrer que $V$ est stable par
$f$.
\qu On consid{\`e}re $W$ un suppl{\'e}mentaire de $V$ dans $E$. Montrer
que $W=\{0\}$ et conclure.

\exo \qu Montrer que toute matrice de ${\cal M}_2(\C)$ est semblable {\`a} une
matrice d'un des types suivants :\\
{\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\0&\lambda_2 \end{array} \right)$},
$\lambda_1 \in \C$, $\lambda_2 \in \C$, $\lambda_1\neq\lambda_2$,
{\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda \end{array} \right)$},
$\lambda \in \C$,
ou {\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda&1\\0&\lambda \end{array} \right)$},
$\lambda \in \C$.
\qu Montrer que toute matrice de ${\cal M}_2(\R)$ est semblable {\`a} une
matrice d'un des types suivants :\\
{\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&0\\0&\lambda_2 \end{array} \right)$},
$\lambda_1 \in \R$, $\lambda_2 \in \R$, $\lambda_1\neq\lambda_2$,
{\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda&0\\0&\lambda \end{array} \right)$},
$\lambda \in \R$,
{\footnotesize$\left(\begin{array}{cc} \lambda&1\\0&\lambda \end{array} \right)$},
$\lambda \in \R$,
ou {\footnotesize $\left(\begin{array}{cc} r\cos \varphi & -r\sin \varphi \\ r\sin
    \varphi & r\cos \varphi \end{array} \right)$}, $r \in \R^*_+$,
$\varphi \in \,]0,\pi[\cup]\pi,2\pi[$.\\
{\it Indication} : dans le dernier cas, on utilisera l'exercice VIII.
\qu Parmi les matrices des listes pr{\'e}c{\'e}dentes, y-a-t-il des
matrices semblables~?
%Interpr{\'e}tation g{\'e}om{\'e}trique~?

\exo Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^4$ de matrice 
$A={\footnotesize \left (\begin {array}{cccc} 4&7&6&-7\\
\noalign{\medskip}2&3&1&-3\\
\noalign{\medskip}7&-1&0&-7\\
\noalign{\medskip}4&7&5&-7\end {array}
\right )}$ dans la
base canonique.
\qu Calculer le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $A$.
%\qu $A$ est-elle diagonalisable sur $\C$~?
\qu Utiliser le lemme des noyaux pour trouver une d{\'e}composition de
$\R^4$ en somme directe de deux sous-espaces stables par $f$. On
note $F$ et $G$ ces deux sous-espaces.
\qu D{\'e}terminer les deux projections associ{\'e}es {\`a} cette
d{\'e}composition. En d{\'e}duire des bases de $F$ et de $G$ et
{\'e}crire la matrice de $f$ dans la nouvelle base de $\R^4$ associ{\'e}e.
\qu $f$ est-il diagonalisable~?
 






\end{document}