Université de Paris 7 2003-2004 CAPES: Ecrit

Géométrie affine euclidienne

Exercice I:

Déterminer le groupe des isométries du plan affine euclidien laissant globalement invariant :

1) un rectangle non carré ;

2) la réunion de deux droites parallèles et distinctes.

Exercice II:

L’espace affine euclidien E de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé R = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}). Dans chacun des cas suivants, reconnaître l’application f : E → E qui à M(x, y, z) associe f(M)(x′, y′, z′) et préciser ses éléments caractéristiques.

(a) \{ \begin{matrix}x′ = −z + 1 \\ y′ = −x \\ z′ = y − 2 \end{matrix}  (b) \{ \begin{matrix}x′ = \frac{1}{9}(x − 8y − 4z + 1) \\ y′ = \frac{1}{9}(−8x + y − 4z + 2) \\ z′ = \frac{1}{9}(−4x − 4y + 7z + 3) \end{matrix}  (c) \{ \begin{matrix}x′ = −z + 1 \\ y′ = x \\ z′ = y − 2 \end{matrix}

Exercice III:

On considère dans le plan affine euclidien un triangle OAB isocèle en O. On désigne par C un cercle de centre O et de rayon R tel que R < OA. On mène par A et B des tangentes à C non symétriques par rapport à la hauteur issue de O du triangle OAB ; on note C et D leurs points de contacts avec C et M leur point d’intersection. On note aussi H le projeté orthogonal de O sur (AB).

1) Montrer qu’une rotation de centre O transforme toute tangente au cercle C en une tangente au cercle C.

2) Soit r la rotation de centre O telle que r(B) = A. Montrer que l’on a r(D) = C. En déduire que M appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.

3) Montrer que les bissectrices du couple de droites ((MA), (MB)) sont les droites (OM) et (O′M), où O′ est le point diamétralement opposé à O sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

4) Montrer qu’il existe une similitude directe s de centre O telle que s(B) = D et s(A) = C, puis que H est l’image par s d’un point de la droite (AB). En déduire que la droite (CD) passe par H.

Exercice IV:

On se donne, dans le plan affine euclidien, deux droites orthogonales D_{1} et D_{2} et l’on note O leur point d’intersection. Soit Δ une droite sécante avec D_{1} et D_{2}, ne passant pas par O, qui coupe D_{1} et D_{2} respectivement en A_{1} et A_{2}.

1) Soit I un point de Δ différent de A_{1} et A_{2}. Montrer qu’il existe une unique droite passant par I, ne passant pas par O, qui coupe les droites D_{1} et D_{2} en M_{1} et M_{2} respectivement, tels que IM_{1} = IM_{2}.

Indication : On utilisera les points I_{1} et I_{2}, projetés orthogonaux de I sur les droites D_{1} et D_{2}, respectivement.

2) Soit F le symétrique de O par rapport à la droite Δ. Montrer que les points M_{1}, M_{2}, O et F sont cocycliques.

3) Soit H le projeté orthogonal de F sur la droite (M_{1}M_{2}) et soit J le milieu de [OF]. a) Montrer que l’on a { \atop HF M_{1}} = { \atop OA_{2}J}.

b) Soit s la similitude directe de centre F, d’angle { \atop JA_{2}O} et de rayon \frac{JA_{2}}{OA_{2}} . Quel est l’image

de M_{1} par s ?

c) On fait varier le point I sur la droite Δ. Quel est le lieu du point H ? Indication : On introduira les points F_{1} et F_{2}, projetés orthogonaux de F sur les droites D_{1} et

D_{2},respectivement.

Exercice V:

Etudier la conique dont l’équation dans la base canonique de ℝ^{2} est :

1) x^{2} + xy + y^{2} + x = 1

2) 16x^{2} − 24xy + 9y^{2} + 35x − 20y = 0

Exercice VI:

Soit F_{λ} la conique d’équation \frac{x^{2}}{λ − 1} + \frac{y^{2}}{λ − 3} = 1 dans la base canonique de ℝ^{2} (λ ≠ 1, λ ≠ 3).

1) Quelle est la nature de F_{λ}?

2) Soit A le point de coordonnées (5/4, 3/4). Combien de courbes F_{λ} passent-elles par A? Sous quel angle se coupent-elles?

Exercice VII:

(Extrait du CAPES 94) P est un plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé

direct (R, i^{⟶}, j^{⟶}).