\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usepackage{t1enc}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\Ccal}{\mathcal{C}}
\newcommand{\Dcal}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}}
\newcommand{\Mcal}{\mathcal{M}}
\newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

\def\matii#1#2#3#4{{\left( \begin{array}{cc}
          #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{array}  \right)}}

\def\matiii#1#2#3#4#5#6#7#8#9{{\left( \begin{array}{ccc}
          #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \end{array}
          \right)}}

\def\vecteur#1#2{{\scriptstyle{\left( \!\! \begin{array}{c}
          #1 \\ #2 \end{array} \!\! \right)}}}
\def\vect#1{{\overrightarrow{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\t#1{{{^t}#1}}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
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\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{10\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} G{\'e}om{\'e}trie affine euclidienne 
 \hspace{1cm}} 

 \bigskip

% {\sl{Isom{\'e}tries affines du plan et de l'espace - Angles - Similitudes planes}}

\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}



\exo D{\'e}terminer le groupe des isom{\'e}tries du plan affine euclidien laissant
  globalement invariant :
 \qu un rectangle non carr{\'e} ;
    \qu la r{\'e}union de deux droites parall{\`e}les et distinctes.




%\exo
% Soient $f_1$, $f_2$, $f_3$ des sym{\'e}tries orthogonales par rapport {\`a}
 %     des droites de $\Pcal$. On pose $f = f_2 \circ f_3 \circ f_1 \circ f_2
  %    \circ f_3$. Montrer que $f^2$ est une translation ; en d{\'e}terminer la
   %   direction. 



\exo L'espace affine euclidien $\Ecal$ de dimension $3$ est rapport{\'e} {\`a} un rep{\`e}re
  orthonorm{\'e} $\Rcal = (O, {\vect{i}}, {\vect{j}}, {\vect{k}})$. Dans chacun des
  cas suivants, reconna{\^\i}tre l'application $f : \Ecal \rightarrow \Ecal$ qui {\`a}
  $M(x,y,z)$ associe $f(M)(x',y',z')$ et pr{\'e}ciser ses {\'e}l{\'e}ments caract{\'e}ristiques.
  $$\begin{array}{lll}
    (a) \quad \left\{ \begin{array}{l} x'=-z+1 \\ 
        y'=-x \\ z'=y-2 \end{array} \right. \qquad &
    (b) \quad \left\{ \begin{array}{l} x'= \frac19 (x-8y-4z+1) \\ y'=\frac19
        (-8x+y-4z+2) \\ z'=\frac19 (-4x-4y+7z+3) \end{array} \right. \qquad &
    (c) \quad \left\{ \begin{array}{l} x'=-z+1 \\ y'=x \\ z'=y-2
        \end{array} \right. 
    \end{array}$$


\exo On consid{\`e}re dans le plan affine euclidien un triangle $OAB$ isoc{\`e}le en
  $O$. On d{\'e}signe par $\Ccal$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ tel que 
  $R < OA$. On m{\`e}ne par $A$ et $B$ des tangentes {\`a} $\Ccal$ non sym{\'e}triques par
  rapport {\`a} la hauteur issue de $O$ du triangle $OAB$ ; on note $C$ et $D$ 
  leurs points de contacts avec $\Ccal$ et $M$ leur point d'intersection. 
  On note aussi $H$ le projet{\'e} orthogonal de $O$ sur $(AB)$.
 
    \qu Montrer qu'une rotation de centre $O$ transforme toute tangente au
      cercle $\Ccal$ en une tangente au cercle $\Ccal$.
   \qu Soit $r$ la rotation de centre $O$ telle que $r(B)=A$. Montrer que
      l'on a $r(D)=C$. En d{\'e}duire que $M$ appartient au cercle circonscrit au
      triangle $OAB$.
   \qu Montrer que les bissectrices du couple de droites $((MA), (MB))$ sont
      les droites $(OM)$ et $(O'M)$, o{\`u} $O'$ est le point diam{\'e}tralement oppos{\'e}
      {\`a} $O$ sur le cercle circonscrit au triangle $OAB$.
    \qu Montrer qu'il existe une similitude directe $s$ de centre $O$ telle
      que $s(B)=D$ et $s(A)=C$, puis que $H$ est l'image par $s$ d'un point de
      la droite $(AB)$. En d{\'e}duire que la droite $(CD)$ passe par $H$.
 


\exo On se donne, dans le plan affine euclidien, deux droites orthogonales
  $\Dcal_1$ et $\Dcal_2$ et l'on note $O$ leur point d'intersection. Soit
  $\Delta$ une droite s{\'e}cante avec $\Dcal_1$ et $\Dcal_2$, ne passant pas par
  $O$, qui coupe $\Dcal_1$ et $\Dcal_2$ respectivement en $A_1$ et $A_2$.
  
   \qu  Soit $I$ un point de $\Delta$ diff{\'e}rent de $A_1$ et $A_2$. Montrer
      qu'il existe une unique droite passant par $I$, ne passant pas par $O$,
      qui coupe les droites $\Dcal_1$ et $\Dcal_2$ en $M_1$ et $M_2$
      respectivement, tels que $IM_1 = IM_2$.

      {\it{Indication : On utilisera les points $I_1$ et $I_2$, 
          projet{\'e}s orthogonaux de $I$ sur les droites $\Dcal_1$ et $\Dcal_2$,
          respectivement.}}
   \qu Soit $F$ le sym{\'e}trique de $O$ par rapport {\`a} la droite
      $\Delta$. Montrer que les points $M_1$, $M_2$, $O$ et $F$ sont
      cocycliques. 
   \qu  Soit $H$ le projet{\'e} orthogonal de $F$ sur la droite $(M_1 M_2)$ et
      soit $J$ le milieu de $[OF]$.
    
       \squ Montrer que l'on a ${\widehat{HFM_1}} = {\widehat{OA_2J}}$.
       \squ Soit $s$ la similitude directe de centre $F$, d'angle
          ${\widehat{JA_2O}}$ et de rayon $\ds{\frac{JA_2}{OA_2}}$. 
          Quel est l'image de $M_1$ par $s$ ?
       \squ On fait varier le point $I$ sur la droite $\Delta$. Quel est le
          lieu du point $H$ ?

          {\it{Indication : On introduira les points $F_1$ et $F_2$, 
              projet{\'e}s orthogonaux de $F$ sur les droites $\Dcal_1$ et
              $\Dcal_2$,respectivement.}}

\exo Etudier la conique dont
l'{\'e}quation dans la base canonique de $\R^2$ est :
\qu $x^2+xy+y^2+x=1$
\qu $16x^2-24xy+9y^2+35x-20y=0$
 
\exo Soit $F_{\lambda}$ la
conique d'{\'e}quation $\displaystyle
\frac{x^2}{\lambda-1}+\frac{y^2}{\lambda-3}=1$ dans la base canonique
de $\R^2$ ($\lambda \neq 1$, $\lambda \neq 3$).
\qu Quelle est la nature de $F_{\lambda}$?
\qu Soit $A$ le point de coordonn{\'e}es $(5/4,3/4)$. Combien de
courbes $F_{\lambda}$ passent-elles par $A$? Sous quel angle se
coupent-elles?

\exo {\it (Extrait du CAPES 94)} $P$ est un plan affine euclidien
orient\'e muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $({\cal R},\Vec
i,\Vec j )$.
\end{document}