\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{10\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        



\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Alg{\`e}bre lin{\'e}aire I\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}



\exo On consid{\`e}re un syst{\`e}me d'{\'e}quations lin{\'e}aires {\`a} coefficients r{\'e}els homog{\`e}ne
{\`a} $3$ {\'e}quations et $5$ inconnues. 
\qu Quelle peut {\^e}tre la dimension de l'espace des solutions ?
\qu Donner un exemple de syst{\`e}me d'{\'e}quations pour chaque valeur possible
de la dimension de l'espace des solutions.
%\myspace{1}


\exo Soit $S\subset \R^4$ le sous-espace engendr{\'e} par les colonnes de la matrice
\[
\left(\begin{array}{cccc} 1 &  2 & 0 & 1 \\
                          2 &  3 & 1 & 0 \\
                         -1 &  3 & 3 & 1 \\
                        -2  & -1 & 1 & 0
\end{array} \right) \;\; .
\]
Quelle est la dimension de $S$ ? Combien d'{\'e}quations faut-il pour caract{\'e}riser
$S$ ? Donner un syst{\`e}me d'{\'e}quations homog{\`e}ne dont $S$ est l'ensemble des
solutions.
%\myspace{1}


\exo Calculer le rang des matrices suivantes (o{\`u} $m$ et $\alpha$ sont des param{\`e}tres complexes)
$$
\left(\begin{array}{ccc} 2&1&1\\ 5&5&4\\ 1&8&5\\ 2&-2&-1\end{array} \right) ,\ 
\left(\begin{array}{cccc} 1&2&3&2\\ 2&3&5&1\\ 1&3&4&5\end{array} \right) ,\ 
\left(\begin{array}{cccc} 1&1&0&1\\ 2&2&-1&3\\ m&3&-2&0\\ -1&0&-4&3\end{array} \right) ,\ 
\left(\begin{array}{cccccc} 
-1&\alpha&0&\ldots&\ldots&0\\
0&-1&\alpha&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
0&&&\ddots&-1&\alpha\\
\alpha&0&\ldots&\ldots&0&-1
\end{array} \right).
$$

\exo Mettre sous forme {\'e}chelonn{\'e}e (par rapport aux lignes) puis sous forme {\'e}chelonn{\'e}e r{\'e}duite les matrices suivantes :
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}6&3&-1\\-4&1&-6\\1&2&-5\end{array} \right) ,\ 
B=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&3&-2\\ 2&1&-4&3\\ 2&3&2&-1\end{array} \right),
$$
puis r{\'e}soudre les syst{\`e}mes 
$$
\left\{\begin{array}{rcl}
6x+3y-z&=&2\\
-4x+y-6z&=&0\\
x+2y-5z&=&-1
\end{array} \right. ,\ \ \ 
\left\{\begin{array}{rcl}
y+3z-2t&=&0\\
2x+y-4z+3t&=&0\\
2x+3y+2z-t&=&1
\end{array} \right. .
$$

\exo Caract{\'e}riser les matrices $M\in{\mathcal M}_{p,q}(\K)$ de rang 1.

\exo Ecrire la matrice
$
\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\ 2&-1&3\\ 4&1&8\end{array} \right)
$
comme produit de matrices {\'e}l{\'e}mentaires.

\exo Soient les deux matrices 
$A=\left(\begin{array}{cc}2&3\\ -5&0\\ 1&-4\end{array} \right)$
et
$B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\-2&-1\\ -3&5\end{array} \right)$.
Trouver des matrices inversibles $P\in{\mathcal M}_3(\R)$ et $Q\in{\mathcal M}_2(\R)$
telles que $B=PAQ$.

\exo
Les {\'e}nonc{\'e}s suivants sont-ils vrais ou faux ?

\qu $A\sim B\Rightarrow\  ^t\!A\sim \ ^t\!B$
\qu $A\sim B\Rightarrow \forall\lambda\in\K,\  \lambda A\sim \lambda B$
\qu $A\sim I_n\Rightarrow A\mbox{ est inversible}$
\qu $A\sim B,\ A,B\mbox{ inversibles}\Rightarrow A^{-1}\sim B^{-1}$
\qu $A,B,A',B'\in\M_{m,n}(\K) :
A\sim B,\ A'\sim B'\Rightarrow A+A'\sim B+B'$
\qu $A,B\in\M_{m,n}(\K),\ A',B'\in\M_{n,p}(\K) :
A\sim B,\ A'\sim B'\Rightarrow AA'\sim BB'$
\qu $A,B\in\M_n(\K) : A\sim B\Rightarrow A^2\sim B^2$



\exo Pour cet exercice, on rappelle que toute matrice de rang $r$ est 
{\'e}quivalente {\`a} $\left(\begin{array}{cc} I_r&0\\0&0\end{array}\right)$.\\
Montrer les affirmations suivantes :

\qu Toute matrice carr\'ee est somme de deux matrices inversibles.
\qu $GL(n,\K)$ est dense dans ${\mathcal M}_n(\K)$.
\qu Soit $A,B\in\M_n(\K)$, les polyn{\^o}mes caract{\'e}ristiques 
de $AB$ et de $BA$ sont {\'e}gaux.
\qu Soit $A\in\M_n(\K)$ non inversible. Il existe $B\in\M_n(\K)$, $B\neq 0$
telle que $AB=BA=0$.
\qu Soit $A\in\M_n(\K)$ non inversible, $A\neq 0$. Il existe $B\in\M_n(\K)$
telle que $AB=0$ et $BA\neq 0$.


\exo Soit $f:\M_n(\K)\to\K$ une fonction multiplicative (i.e.~$\forall A,B,\ f(AB)=f(A)f(B)$).
On suppose que $f$ n'est ni la fonction nulle, ni la fonction constante {\'e}gale {\`a} 1.
On veut montrer que $$f(A)=0\iff \det(A)=0.$$
\qu D{\'e}terminer $f(I_n)$ et $f(0_n)$.
\qu Montrer que $f$ est non nulle sur les matrices inversibles.
\qu Soit $r\in\{0,\ldots,n-1\}$. On consid{\`e}re le produit de toutes les matrices diagonales ayant chacune $r$
fois le nombre $1$ et $n-r$ fois le nombre 0 sur la diagonale. Que vaut ce produit ? En d{\'e}duire que $f$ s'annule
sur toutes les matrices de rang $r$. Conclure.









\end{document}