\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{10\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        



\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Alg{\`e}bre lin{\'e}aire II\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}


\exo Soit $A \in {\cal M}_3(\K)$. Rappeler la base canonique de ${\cal
  M}_3(\K)$.\\ Quelles sont les matrices de $L_A:B \longmapsto AB$ et
  $R_A:B \longmapsto BA$ dans cette base~? M{\^e}me question pour une
  matrice de ${\cal M}_n(\K)$ (on se contentera de d{\'e}crire le r{\'e}sultat).



\exo Soit $F=\{P \in \R_3[X] \ | \ P(1)=P'(1)=0\}$ et $G=\{P \in
\R_3[X] \ | \ \deg P \leq 1 \}$. 
\qu Montrer que $\R_3[X]=F \oplus G$.
\qu Donner une m{\'e}thode pour trouver la d{\'e}composition de tout
polyn{\^o}me $P \in \R_3[X]$ suivant cette somme directe.

\exo On consid{\`e}re les sous espaces vectoriels de $\R^{\N}$:\\
$E_1=\{(x_n)_{n\in\N} \in \R^{\N} \ | \  \forall n\in\N,
x_{n+3}-6x_n=2x_{n+2}+x_{n+1}\}$,\\  $E_2=\{ (x_n)_{n\in\N} \in
\R^{\N} \ | \ \forall n\in\N, x_{n+1}-3x_n=0\}$,\\ $E_3=\{ (x_n)_{n\in\N} \in
\R^{\N} \ | \ \forall n\in\N, x_{n+2}+x_{n+1}+2x_n=0\}$.
\qu Quelles sont leurs dimensions?
\qu Montrer que $E_1=E_2\oplus E_3$.

\exo Soit ${\cal F}(\R,\R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\R$
dans $\R$.
\qu On consid{\`e}re les sous-espaces vectoriels suivants de ${\cal
  F}(\R,\R)$ : $U=Vect(1,\cos 2x,\cos 4x)$, $V= Vect(1,\cos ^2x)$ et
$W=Vect(\cos ^4x)$. Montrer que $U=V \oplus W$.
\qu Soit $P=\{ f \in {\cal F}(\R,\R) \ | \ f \ {\rm paire} \}$ et $I=\{
f \in {\cal F}(\R,\R) \ | \ f \ {\rm impaire} \}$. Montrer que ${\cal
  F}(\R,\R)=P \oplus I$.

\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et $A$ et $B$ des sous-espaces
vectoriels de $E$.\\ On d{\'e}finit $H=\{f \in L(E) \ | \ \ker f=A \ {\rm
  et} \ Im f=B \}$. Montrer que $(H, \circ)$ est un groupe si et
seulement si $E=A \oplus B$.

\exo Soit $E=\{ (x,y,z) \in \R^3 \ | \ x+y+z=0\}$ et $F=Vect
(1,1,2)$. 
\qu Donner une base de $E$.
\qu Montrer que $\R^3=E \oplus F$.
\qu Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur $E$
parall{\`e}lement {\`a} $F$.
\qu Donner la matrice dans la base canonique de la sym{\'e}trie par
rapport {\`a} $E$
parall{\`e}lement {\`a} $F$.
\newpage
\exo Soit $f:\R^3 \longrightarrow \R$ une forme lin{\'e}aire et $v$ un
vecteur de $\R^3$ tel que $f(v)\neq 0$. Soit $P=\ker f$ et
$D=Vect(v)$.
\qu Montrer que l'application $\displaystyle x \longmapsto x-\frac{f(x)}{f(v)}v$ est
  la projection sur $P$ parall{\`e}lement {\`a} $D$.
\qu Montrer que l'application $\displaystyle x \longmapsto x-2\frac{f(x)}{f(v)}v$ est
  la sym{\'e}trie par rapport {\`a} $P$ parall{\`e}lement {\`a} $D$. 

\exo (Exercices du cours)
Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. 
\qu Soit $s \in L(E)$ tel que $s^2=id$. Montrer que $s$ est la
sym{\'e}trie par rapport {\`a} $\ker (s-id)$ parall{\`e}lement {\`a}  $\ker
(s+id)$.
\qu Soit $p \in L(E)$ un projecteur et $L_p:L(E)\longrightarrow L(E)$
l'application d{\'e}finie par $L_p(g)=p \circ g$. 
\squ Montrer que $L_p$ est un projecteur.
\squ D{\'e}crire son image et son noyau.
%\myspace{1}

\exo Soit $s:\R_n[X] \longrightarrow \R_n[X]$ l'application d{\'e}finie
par $s(P)=P(1-X)$. 
\qu Montrer que $s$ est une sym{\'e}trie.
\qu D{\'e}terminer les espaces $\ker (s-id)$ et $\ker (s+id)$. 
\qu Donner la matrice de $s$ dans la base canonique.
\qu Donner une base de $\R_n[X]$ adapt{\'e}e {\`a} la d{\'e}composition de
$\R_n[X]$ en somme directe de $\ker (s-id)$ et $\ker (s+id)$.


\exo Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et $p$ et $q$ des projecteurs
de $L(E)$ tels que $p \circ q=0$. Montrer que $r=p+q-q \circ p$ est un
projecteur et que $\ker r=\ker p \cap \ker q$ et $Im r=Im p \oplus
Im q$.





\end{document}