Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Géométrie affine I

Exercice I:

(cours) Démontrer l’associativité du barycentre.

Exercice II:

(cours : sous-espace affine) Soit E un espace affine et F ⊂ E, F ≠ ∅. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

1) F est stable par passage au barycentre.

2) ∃P ∈ E, ∃F sous-espace vectoriel de E t.q. F = P + F.

Exercice III:

Montrer que F = \{( \begin{matrix}1 + 2a − b & 0 \\ 2 − a − b & a − b \end{matrix} ) , (a, b) ∈ ℝ^{2}\} est un sous-espace affine de M_{2}(ℝ). En

déterminer un point et la direction.

Exercice IV:

Montrer que F = {f ∈ ℝ^{ℝ} | ∀x ∈ ℝ, f(x + 1) = f(x) + 1} est un sous-espace affine de ℝ^{ℝ}. En déterminer un point et la direction.

Exercice V:

Soit E un espace affine réel de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O; u^{⟶}, v^{⟶}, w^{⟶}). Soit les points

A ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , B ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , C ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) ,

les droites

d_{1} \{ \begin{matrix}x & = & 3 − λ \\ y & = & 1 + 2λ \\ z & = & −1 + λ \end{matrix} , λ ∈ ℝ, d_{2} \{ \begin{matrix}x & = & 1 + 3μ \\ y & = & −2μ \\ z & = & 3 + 5μ \end{matrix} , μ ∈ ℝ,

les plans

(P_{1}) \{ \begin{matrix}x & = & 1 − 2λ + 3μ \\ y & = & −2 + λ + μ \\ z & = & 4 − λ − 2μ \end{matrix} , (λ, μ) ∈ ℝ^{2}, (P_{2}) 2x − y + 3z − 1 = 0, (P_{3}) x + 2z − 4 = 0.

1) Donner une équation cartésienne de P_{1}.

2) Déterminer une représentation paramétrique de P_{2} ∩ P_{3}.

3) Donner une équation cartésienne du plan contenant A, B et C.

4) Déterminer l’intersection de d_{1} et de P_{2}.

5) Donner une équation cartésienne du plan Q contenant d_{1} et parallèle à d_{2}.

6) Déterminer P_{1} ∩ P_{2} ∩ P_{3}.

7) Déterminer l’intersection de P_{2} avec la droite (AB).

8) Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P_{2} et coupant d_{1}.

9) Donner une équation cartésienne du plan passant par C et contenant d_{1}.

Exercice VI:

(cours) Montrer que l’intersection de deux sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l’intersection des deux directions des espaces considérés.

Exercice VII:

(exercice du cours) Etudier les positions relatives dans un espace affine de dimension 3 de

1) un plan et une droite;

2) deux plans;

3) deux droites.

Exercice VIII:

(cours) Montrer que r points sont affinement liés si et seulement si l’un s’écrit comme barycentre des autres.

Dans tous les exercices qui suivent, on se place dans un plan affine P muni d’un repère affine (A, B, C).

Exercice IX:

On considère le triangle ABC et M un point quelconque. On désigne respectivement par P, Q et R les symétriques de M par rapport aux milieux des côtés [BC], [CA] et [AB]. On note G et K les centres de gravité respectifs des triangles ABC et P QR.

1) Montrer que MK^{⟶}= 2 MG^{⟶}.

2) Montrer que les milieux des segments [AP], [BQ] et [CR] sont confondus en un point L. Montrer que L est le milieu de [GK].

Exercice X:

Soit (α, β, γ) un système de coordonnées barycentriques d’un point M de P. Trouver une condition nécessaire et suffisante liant α, β et γ pour que :

1) le point M appartienne à la droite (AB);

2) le point M appartienne à la médiane issue de B du triangle ABC;

3) le point M soit sur la parallèle à la droite (BC) menée par le milieu du segment [AB].

Exercice XI:

(exercice du cours) Caractériser par des inégalités sur les coordonnées barycentriques les sept régions découpées par les droites (AB), (BC) et (CA).

Exercice XII:

(exercice du cours) Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q}) et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). Démontrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si

| \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | = 0.

En déduire l’équation en coordonnées barycentriques d’une droite (QR) (avec Q ≠ R).