\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} G{\'e}om{\'e}trie affine I\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

\exo {\em (cours)} D{\'e}montrer l'associativit{\'e} du barycentre.

\exo {\em (cours : sous-espace affine)} Soit ${\cal E}$ un espace affine et
${\cal F}\subset{\cal E}$, ${\cal F}\neq\emptyset$. Montrer que les
deux propri{\'e}t{\'e}s suivantes sont {\'e}quivalentes.
\qu ${\cal F}$ est stable par passage au barycentre.
\qu $\exists P\in{\cal E},\ \exists F\mbox{ sous-espace vectoriel de } E
\mbox{ t.q.}\ {\cal F}=P+F$.

\exo Montrer que ${\cal F}=\left\{ \footnotesize \left(\begin{array}{cc} 1+2a-b&0\\ 2-a-b&a-b
  \end{array} \right) \ , \ (a,b) \in \R^2 \right\}$ est un sous-espace affine de ${\cal M}_2(\R)$. En d{\'e}terminer un point et la direction.


\exo Montrer que ${\cal F}=\left\{  f \in \R^{\R} \ | \ \forall x \in \R, \ f(x+1)=f(x)+1 \right\}$ est un sous-espace affine de $\R^{\R}$. En d{\'e}terminer un point et la direction.

\exo Soit ${\cal E}$ un espace affine r{\'e}el de dimension 3, muni d'un rep{\`e}re cart{\'e}sien $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$. Soit les points
$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\quad
B\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right),\quad
C\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right),$$
les droites
$$d_1\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3-\lambda\\ y&=&1+2\lambda\\ z&=&-1+\lambda\end{array}\right.\ ,\lambda\in\R,\quad
d_2\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1+3\mu\\ y&=&-2\mu\\ z&=&3+5\mu\end{array}\right.\ ,\mu\in\R,$$
les plans
$$(P_1)\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&1-2\lambda+3\mu\\
y&=&-2+\lambda+\mu\\
z&=&4-\lambda-2\mu\end{array}\right.\ ,(\lambda,\mu)\in\R^2,\quad
(P_2)\ 2x-y+3z-1=0,\quad (P_3)\ x+2z-4=0.$$
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne de $P_1$.
\qu D{\'e}terminer une repr{\'e}sentation param{\'e}trique de $P_2\cap P_3$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan contenant $A$, $B$ et $C$.
\qu D{\'e}terminer l'intersection de $d_1$ et de $P_2$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan $Q$ contenant $d_1$ et
parall{\`e}le {\`a} $d_2$.
\qu D{\'e}terminer $P_1\cap P_2\cap P_3$.
\qu D{\'e}terminer l'intersection de $P_2$ avec la droite $(AB)$.
\qu Donner une repr{\'e}sentation param{\'e}trique de la droite passant par $A$,
parall{\`e}le {\`a} $P_2$ et coupant $d_1$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan passant par $C$ et contenant $d_1$.


\exo {\em (cours)} Montrer que l'intersection de deux sous-espaces affines est
ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection des
deux directions des espaces consid{\'e}r{\'e}s.

\exo {\em (exercice du cours)} Etudier les positions relatives dans un espace affine de dimension 3 de
\qu un plan et une droite;
\qu deux plans;
\qu deux droites.

\exo {\em (cours)}
Montrer que $r$ points sont affinement li{\'e}s si et seulement si l'un s'{\'e}crit comme barycentre
des autres.
\bigskip

{\em Dans tous les exercices qui suivent, on se place dans un plan affine ${\cal P}$
muni d'un rep{\`e}re affine $(A,B,C)$.}

\exo On consid{\`e}re le triangle $ABC$ et $M$
un point quelconque. On d{\'e}signe respectivement par $P$, $Q$ et $R$ les
sym{\'e}triques de $M$ par rapport aux milieux des c{\^o}t{\'e}s $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$.
On note $G$ et $K$ les centres de gravit{\'e} respectifs des triangles $ABC$ et
$PQR$.
\qu Montrer que $\vec{MK}=2\vec{MG}$.
\qu Montrer que les milieux des segments $[AP]$, $[BQ]$ et $[CR]$ sont confondus en un point $L$. Montrer que $L$ est le milieu de $[GK]$.

\exo Soit
$(\alpha,\beta,\gamma)$ un syst{\`e}me de coordonn{\'e}es barycentriques d'un
point $M$ de $\cal P$. Trouver une condition n{\'e}cessaire et suffisante liant
$\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ pour que~:
\qu le point $M$ appartienne {\`a} la droite $(AB)$;
\qu le point $M$ appartienne {\`a} la m{\'e}diane issue de $B$ du triangle $ABC$;
\qu le point $M$ soit sur la parall{\`e}le {\`a} la droite $(BC)$ men{\'e}e par le
milieu du segment $[AB]$.

%\end{document}

\exo {\em (exercice du cours)} Caract{\'e}riser par des in{\'e}galit{\'e}s sur les coordonn{\'e}es barycentriques
les sept r{\'e}gions d{\'e}coup{\'e}es par les droites $(AB)$, $(BC)$ et $(CA)$.

\exo {\em (exercice du cours)} Soit $P$, $Q$ et $R$ des points de $\cal P$ de coordonn{\'e}es barycentriques
respectives $(\alpha_P,\beta_P,\gamma_P)$, $(\alpha_Q,\beta_Q,\gamma_Q)$ et 
$(\alpha_R,\beta_R,\gamma_R)$. D{\'e}montrer que $P$, $Q$ et $R$ sont align{\'e}s si et seulement si
$\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_P&\beta_P&\gamma_P\\
\alpha_Q&\beta_Q&\gamma_Q\\
\alpha_R&\beta_R&\gamma_R
\end{array}\right|=0.$\\
En d{\'e}duire l'{\'e}quation en coordonn{\'e}es barycentriques d'une droite $(QR)$ (avec $Q\neq R$).
\end{document}
\exo {\em (exercice du cours)}
\newcommand{\aire}{{\rm Aire}\,}
Si $PQR$ est un triangle dans $\cal P$, {\'e}ventuellement d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e},
on d{\'e}finit (avec les notations de l'exercice pr{\'e}c{\'e}dent) {\em l'aire alg{\'e}brique}
de ce triangle par l'{\'e}galit{\'e}
$\aire(PQR):=\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_P&\beta_P&\gamma_P\\
\alpha_Q&\beta_Q&\gamma_Q\\
\alpha_R&\beta_R&\gamma_R
\end{array}\right|.$
\qu Montrer que, pour deux triangles $PQR$ et $P'Q'R'$ {\'e}ventuellement d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}s,
le rapport $\frac{\aire(PQR)}{\aire(P'Q'R')}$ ne d{\'e}pend pas du choix du rep{\`e}re $(A,B,C)$.
\qu Montrer que les coordonn{\'e}es d'un point $S$ dans un rep{\`e}re $(P,Q,R)$ sont donn{\'e}es par les
rapports
$$\frac{\aire(SQR)}{\aire(PQR)},\quad\frac{\aire(PSR)}{\aire(PQR)},\quad
\frac{\aire(PQS)}{\aire(PQR)}.$$
















\end{document}