Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Espaces vectoriels euclidiens

Exercice I:

Soit R une rotation de ℝ^{3} d’axe ℝu et d’angle θ ∈ ℝ. Soit r une rotation quelconque de ℝ^{3}. Déterminer r ∘ R ∘ r^{−1}. En déduire le centre de SO_{3}(ℝ).

Exercice II:

Déterminer la matrice dans la base canonique de ℝ^{3} du retournement d’axe ℝ(1, 2, 1).

Exercice III:

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, u un vecteur unitaire de E et θ ∈ ℝ. On pose, pour tout v ∈ E

f(v) = (cos θ)v + (1 − cos θ) < u, v > u + sin θ(u ∧ v).

1) Montrer que f est un endomorphisme de E qui admet dans une certaine base la matrice

1 0  0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ

2) Interpréter géométriquement la formule définissant f.

Exercice IV:

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On considère les transformations géométriques f, g et h de E dont les matrices respectives dans la base canonique sont

A = \frac{1}{3}( \begin{matrix}−1 & 2 & 2 \\ 2 & −1 & 2 \\ 2 & 2 & −1 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) C = \frac{1}{4}( \begin{matrix}3 & 1 & \sqrt{6} \\ 1 & 3 & −\sqrt{6} \\ −\sqrt{6} & \sqrt{6} & 2 \end{matrix} ).

Reconnaître f, g et h et donner leurs éléments caractéristiques.

Exercice V:

Soit G un sous-groupe distingué du groupe spécial orthogonal SO_{3}(ℝ). On suppose que G n’est pas trivial.

1) Soit f ∈ G − {id_{E}}.

a) Pour tout n ∈ ℕ, on note θ_{n} la mesure dans [−π, π] de l’angle de la rotation f^{2^{n}}. Montrer que si cos θ_{n} ≥ 0 pour tout n ∈ ℕ, alors θ_{0} = 0.

b) Déduire qu’il existe une rotation g ∈ G d’angle θ telle que cos θ < 0.

c) Montrer qu’il existe \overrightarrow{x} ∈ E \ \{0\} tel que \overrightarrow{x} et g(\overrightarrow{x}) soient orthogonaux.

d) On note ρ le retournement autour de ℝ\overrightarrow{x} et r = ρ ∘ g ∘ ρ ∘ g^{−1}. Etablir que r est un retournement et que r ∈ G.

On a ainsi prouvé que G contient au moins un retournement.

2) Soit s un retournement de E autre que r. On note \overrightarrow{u} (resp. \overrightarrow{v}) un vecteur directeur normé de l’axe du retournement r (resp. s).

a) Montrer qu’il existe un retournement σ tel que σ(\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{v} et σ(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}. b) Etablir s = σ ∘ r ∘ σ^{−1}.

c) En déduire que G contient tous les retournements de E, puis que G = SO_{3}(ℝ). On a ainsi prouvé que SO_{3}(ℝ) est un groupe simple.

Exercice VI:

Pour toute partie F d’un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 on note I(F) l’ensemble des isométries f de E qui vérifient f(F) = F. Vérifier que I(F) est un sous-groupe de O(E) et le déterminer dans les cas suivants (décrire ses éléments et si possible montrer que le groupe est isomorphe à un groupe connu) :

1) F est un polygône régulier à n côtés contenu dans un plan vectoriel de E et centré en 0.

2) F est un tétraèdre régulier centré en 0.

3) F est un cube centré en 0.

Exercice VII:

Dans l’espace euclidien ℝ^{n} muni de sa base canonique (e_{i}) on considère l’ensemble H des hyperplans H_{i,j} d’équations x_{i} = x_{j} pour 1 ≤ i < j ≤ n.

1) Quel est le cardinal de H ?

2) Montrer que si σ ∈ S_{n}, alors l’application H_{i,j} ⟼ H_{σ(i),σ(j)} définit une bijection sur H.

3) Soit r_{i,j} la réflexion d’hyperplan H_{i,j}. Montrer que pour tout x ∈ ℝ^{n}, r_{i,j}(x) = x − (x_{i} − x_{j})(e_{i} − e_{j}).

4) Pour σ ∈ S_{n}, soit f_{σ} l’unique endomorphisme de ℝ^{n} qui envoie chaque e_{i} sur e_{σ(i)}. Déterminer f_{σ} lorsque σ est une transposition.

5) En déduire que l’application σ ⟼ f_{σ} réalise le groupe S_{n} comme le groupe engendré par les n − 1 réflexions hyperplanes r_{i,i+1}.