\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{isolatin1}
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\prefix#1{\mbox{{\footnotesize $( #1 )$}-}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}

%\renewcommand\contentsname{Table des mati{\`e}res}
%\renewcommand\refname{Bibliographie}
%\setlength{\unitlength}{0.01em}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
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\def\ratio{{
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    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
\newcommand{\OO}{{\cal O}}
\newcommand{\Op}{{{\cal O}_{\proj_3}}}
%%%%%%%
\def\kercoker#1{\!\!\!\stackunder{
    \begin{array}{c}
        \phantom{.}\searrow \phantom{M} \nearrow \phantom{.}\\
         #1 \\
        \phantom{.}\nearrow \hfill \searrow\phantom{.} \\
       ^0\hfill ^0
    \end{array}}{\longrightarrow }\!\!\!}
%\input diagram.tex
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

%  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{definition}[theorem]{D{\'e}finition}
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{1cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{8\baselineskip}
\topmargin=-2\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Extraits du Capes 89 \hspace{1cm}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%macros
\def\L{{\cal L}}
\def\B{{\cal B}}
\def\.{$\bullet$}
\def\v#1{\overrightarrow{#1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo
Soit $d$ un entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 2. On d{\'e}signe par $\max_d$
l'espace vectoriel des matrices carr{\'e}es {\`a} coefficients r{\'e}els, {\`a} $d$
lignes et $d$ colonnes. Si $A$ est un {\'e}l{\'e}ment de $\max_d$ et $i$, $j$
deux entiers de $\{1,...,d\}$, on note $A(i,j)$ le coefficient de la
matrice $A$ situ{\'e} {\`a} la $i$-i{\`e}me ligne et  {\`a} la $j$-i{\`e}me colonne. On
appelle $I_d$ la matrice identit{\'e} de $\max_d$. On pose: $A^0=I_d$,
$A^1=A$, et pour tout entier $k\geq 2$, $A^k=A.A^{k-1}$. Une matrice
$A$ de $\max_d$ est dite nilpotente s'il existe un entier $k\geq 1$
tel que $A^k=0$; le plus petit entier $r\geq 1$ v{\'e}rifiant $A^r=0$ est
alors appel{\'e} l'ordre de nilpotence de $A$.

On suppose d{\'e}sormais que $A$ est une matrice non nulle de $\max_d$
nilpotente d'ordre $r$.
\qu Montrer que z{\'e}ro est la seule valeur propre complexe de la matrice
$A$. Quel est le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $A$? En d{\'e}duire que $r
\leq d$.
\qu On d{\'e}signe par $e(A)$ le sous espace vectoriel de $\max_d$
engendr{\'e} par les matrices $\{A^k,k\geq 0\}$. Montrer que $b=\{ I_d, A,
..., A^{r-1}\}$ est une base de $e(A)$
\qu Soit $s$ un {\'e}l{\'e}ment de $\nat$.
\squ Montrer que la matrice $(I_d-A)^{s+1}$ appartient {\`a} $e(A)$;
donner ses coordonn{\'e}es dans la base $b$.
\squ Montrer que la matrice $(I_d-A)^{s+1}$ est inversible, et que son
inverse, not{\'e}e $(I_d-A)^{-(s+1)}$, est {\'e}gale {\`a} $\sum\limits_{0\leq k
  \leq r-1} C^s_{s+k} A^k$
\qu On appelle $J_d$ la matrice d'ordre $d$ d{\'e}finie par:
$$\forall (i,j) \in \{1,...,d\}^2, J_d(i,j)=
\left\{\begin{array}{l}
    1 \mbox{ si } j-i=1\\
    0 \mbox{ sinon}
  \end{array}\right.$$
\squ Pour $k\geq 2$, calculer la puissance $k$-i{\`e}me de la matrice
$J_d$. En d{\'e}duire que $J_d$ est une matrice nilpotente et pr{\'e}ciser son
ordre de nilpotence.
\squ Pour $s \in \nat$, et $\lambda \in \reel$, expliciter la matrice
$(I_d- \lambda J_d)^{-(s+1)}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo
\def\E{{\cal E}}
Soient $N$ et $M$ deux entiers sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} 1. Soit $p\in
]0,1[$. On consid{\`e}re les sous ensembles de $\nat^2$ suivant:
$R=\{(x,y)\in \nat^2 | 0\leq x\leq N-1, 0\leq y\leq M-1\}$,
$F_1=\{(x,M)| 0\leq x\leq N-1\}$, $F_2=\{(N,y)| 0\leq y\leq M-1\}$, 
$F=F_1\cup F_2\cup \{(N,M)\}$ et $\bar{R}=R\cup F$. On d{\'e}signe par
$\E$ l'ensemble des fonctions d{\'e}finies sur $\bar{R}$ {\`a} valeurs dans
$\reel$ v{\'e}rifiant l'{\'e}quation fonctionnelle $(*)$:
$$ (*) \forall (l,k)\in R, f(l,k)=pf(l+1,k)+(1-p)f(l,k+1)$$
Si $f$ est une fonction sur $\bar{R}$ {\`a} valeurs r{\'e}elles, on note
$M(f)$ la matrice $M(f)=(f(i,j))_{0\leq i\leq N,0\leq j\leq M}$. Pour
$k$ et $l$ v{\'e}rifiant $0\leq k\leq M$ et $0\leq l\leq N$, on pose:
$C_k(f)=\left[
  \begin{array}{c}
    f(0,k)\\
    f(1,k)\\
    \vdots\\
    f(N,k)
  \end{array}\right]$ et $L_l(f)=[f(l,0),f(l,1),\dots,f(l,M)]$

\bigskip
A) Etude de $\E$
\qu Montrer que $\E$ est un sous espace vectoriel de l'espace
vectoriel r{\'e}el des fonctions d{\'e}finies sur $\bar{R}$ {\`a} valeurs r{\'e}elles.
\qusqu Soit $k$ un entier tel que $0\leq k\leq M-1$. Si $f\in \E$,
montrer que la matrice colonne $C_k(f)$ est d{\'e}termin{\'e}e par la donn{\'e}e
de la colonne $C_{k+1}(f)$ et du r{\'e}el $f(N,k)$.
\squ En d{\'e}duire que tout {\'e}l{\'e}ment $f$ de $\E$ est d{\'e}termin{\'e} de fa{\c c}on
unique par la donn{\'e}e des valeurs $\{f(l,M)|0\leq l\leq N\}$ et
$\{f(N,k)| 0 \leq k \leq M-1\}$. Autrement dit, tout {\'e}l{\'e}ment $f$ de
$\E$ est d{\'e}termin{\'e} par sa restriction {\`a} $F$.

Pour tout entier $i$ v{\'e}rifiant $0\leq i <N$, on d{\'e}signe par $\phi_i$
l'unique {\'e}l{\'e}ment de $\E$ tel que: $$\forall (k,l)\in F,
\phi_i(l,k)=\left\{
  \begin{array}{l}
    1\mbox{ si } (l,k)=(i,M)\\
    0\mbox{ sinon}
  \end{array}\right.$$ Pour tout entier $j$ v{\'e}rifiant $0\leq j<M$, on
d{\'e}signe par $\psi_j$ l'unique {\'e}l{\'e}ment de $\E$ tel que:
$$\forall (k,l)\in F,
\psi_j(l,k)=\left\{
  \begin{array}{l}
    1\mbox{ si } (l,k)=(N,j)\\
    0\mbox{ sinon}
  \end{array}\right.$$ enfin on note $\xi$ l'unique {\'e}l{\'e}ment de $\E$
tel que:
$$\forall (k,l)\in F,
\xi(l,k)=\left\{
  \begin{array}{l}
    1\mbox{ si } (l,k)=(N,M)\\
    0\mbox{ sinon}
  \end{array}\right.$$
\qu Montrer que $(\phi_0,\dots,\phi_{N-1},\xi,\psi_0,\dots,\psi_{M-1})$
est une base de $\E$
\qu D{\'e}terminer l'{\'e}l{\'e}ment $\xi$ de $\E$ en explicitant la matrice
$M(\xi)$

\bigskip
B) {\it Calcul des fonctions $\phi_i$ et $\psi_j$}\\
Soient $i$ et $j$ deux entiers v{\'e}rifiant $0\leq i<N$ et $0\leq j<M$
\qusqu En conservant les notations $I_d$ et $J_d$ de l'exercice I,
pour $d=N+1$ (resp. $d=M+1$), montrer que pour tout entier $k$
v{\'e}rifiant $µ0\leq k< M$ et pour tout entier $l$ v{\'e}rifiant $0\leq l<N$,
on a:\\
\centerline{$ (1-p)C_{k+1}(\phi_i)=(I_{N+1}-pJ_{N+1})C_k(\phi_i)$  et
$pL_{l+1}(\psi_j)= L_l(\psi_j)(I_{M+1}-(1-p) ^t\!J_{M+1})$}\\ o{\`u}
$^t\!J_{M+1}$ d{\'e}signe la transpos{\'e}e de la matrice $J_{M+1}$
\squ Expliciter pour tout {\'e}l{\'e}ment $(l,k)$ de $R$ les valeurs de
$\phi_i(l,k)$ et $\psi_j(l,k)$
\end{document}
