Université de Paris 7 CAPES Ecrit: 2002-2003 • Théorème,Définition: Soit E un espace vectoriel engendré par une famille finie. Alors toutes les bases de E ont même cardinal. On appelle dimension de E ce nombre.

• Définition: On appelle rang d’une application linéaire la dimension de son image. Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie, et f une application linéaire de E dans F.

• Théorème du rang: On a dim E = rang(f) + dim(ker(f))

• Matrice d’une application linéaire: Soient B et B′ des bases de E et F. On appelle matrice de f dans les bases B et B′ la matrice dont la j-ième colone est constituée des coordonnées dans B′ de l’image par f du j-ième vecteur de B.

• Matrice de passage: Extrait du programme: “La matrice de passage de la base B à la base C est la matrice dont la j-ième colonne est formée des coordonées dans B du j-ième vecteur de C”.

• Propriété de la trace: On a trace(AB) = trace(BA) où A ∈ M_{n×p}(k) et B ∈ M_{p×n}(k). …

1.3 Polynômes, fractions rationnelles

1.3.1 Quelques propriétés de k[X]

• Formule de Taylor: Soit P ∈ k[X], alors: ∀a ∈ k : P (X) = ∑_{i=0}^{deg P} \frac{P^{(i)}(a)}{i!}(X − a)^{i}

• Division Euclidienne,PGCD,PPCM,...

• Théorème: Les idéaux de k[X] sont principaux.

• Théorème de Bezout: Soient A et B des éléments de k[X], alors A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe U et V dans k[X] tels que AU + BV = 1

• Polynômes irréductibles: Un polynôme P de k[X] non constant est irréductible s’il ne peut pas se décomposer dans k[X] en un produit de 2 polynômes non constants.

• Propriété: Dans k[X], un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible si et seulement si il n’a pas de racines dans k.

1.3.2 Les cas réel et complexe

• Théorème de d’Alembert: Tout élément de ℂ[X] non constant a une racine.

• Corollaire: Les polynômes irréductibles de ℂ[X] sont les polynômes de degré 1.

• Corollaire: Les polynômes irréductibles de ℝ[X] sont les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 sans racines.

1.3.3 Fractions rationnelles

• Définition: On appelle décomposition en éléments simples d’un élément de k(X) une écriture de la

forme P (X) + ∑_{n=0}^{N} ∑_{j=1}^{i_{n}} \frac{P_{n,j}(X)}{Q_{n}(X)^{j}} où les Q_{n} sont des irréductibles de k[X], où P (X) est un polynôme

appelé partie entière de la fraction et où ∀n ∈ {0, ..., N}, ∀j ∈ {1, ..., n}, P_{n,j} ∈ k[X], deg P_{n,j} < deg Q_{n} .

• Théorème: La famille \{\frac{1}{(X−a)^{i}} |a ∈ ℂ, i ∈ ℕ^{∗}\} ∪ \{X^{i}|i ∈ ℕ\} est une base de ℂ(X)

• Remarque: Décomposer en éléments simples un élément de ℂ(X) revient à l’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base.

• Corollaire: Tout élément de ℝ(X) peut s’écrire de manière unique sous la forme:

P (X)+∑_{n=0}^{N} ∑_{j=1}^{i_{n}} \frac{a_{n,j}}{(X − b_{n})^{j}} +∑_{n=0}^{N′} ∑_{j=1}^{i′_{n}} \frac{c_{n,j}X + d_{n,j}}{(B_{n})^{j}} où les B_{n} sont des polynômes irréductibles de degré

2, où P (X) ∈ ℝ[X], et où les a_{n,j}, b_{n,j}, c_{n,j}, d_{n,j} sont des réels.