\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\newcommand{\1}[1]{\`{#1}}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\reel}{\R}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\nat}{\N}
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\newcommand{\ra}{\rightarrow}

\def\.{\par\noindent$\bullet$}
\def\im{{\rm Im}}
\def\mat{{M}}
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
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\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
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\def\Tor{{\cal T}or }
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\def\hom{\mbox{Hom}}
\def\prefix#1{\mbox{{\footnotesize $( #1 )$}-}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}

%\renewcommand\contentsname{Table des mati{\`e}res}
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%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\OO}{{\cal O}}
\newcommand{\Op}{{{\cal O}_{\proj_3}}}
%%%%%%%
\def\kercoker#1{\!\!\!\stackunder{
    \begin{array}{c}
        \phantom{.}\searrow \phantom{M} \nearrow \phantom{.}\\
         #1 \\
        \phantom{.}\nearrow \hfill \searrow\phantom{.} \\
       ^0\hfill ^0
    \end{array}}{\longrightarrow }\!\!\!}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\begin{document}
\def\D{{\bf D{\'e}finition: }}
\def\Lem{{\bf Lemme: }}
\def\P{{\bf Propri{\'e}t{\'e}: }}
\def\Prop{{\bf Proposition: }}
\def\Th{{\bf Th{\'e}or{\`e}me: }}
\def\Im{{\rm Im }}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill CAPES
  Ecrit:  2001-2002\smallskip} \hrule
\setcounter{section}{1}\setcounter{subsection}{3}\setcounter{page}{3}
\subsection{R{\'e}duction des endomorphismes}
{\it Dans toute cette partie, on consid{\`e}re un corps commutatif $k$, un
  $k$-espace   vectoriel $E$ de dimension  finie $n$, et un endomorphime
  $u$ de $E$.}
\subsubsection{Valeurs propres, propri{\'e}t{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires}
\. \D Un {\'e}l{\'e}ment $\lambda\in k$ est une \textsf{valeur propre} de $u$
 si l'espace $E_\lambda=\ker (u-\lambda Id)$ n'est pas r{\'e}duit {\`a}
 $\{0\}$. Dans ce cas, $E_\lambda$ est \textsf{l'espace propre associ\'e \`a $\lambda$}
et vecteurs non nuls de $E_\lambda$ sont des \textsf{vecteurs propres}.
Le \textsf{polyn{\^o}me caract{\'e}ristique} de $u$ 
 est le polyn\^ome $P_u(X)=\det(u-X.id)$.
\. \P Si $\lambda$ est distinct de $\mu_1, \ldots, \mu_s$ 
 alors $E_\lambda\cap (E_{\mu_1} + \ldots + E_{\mu_s})=\{0\}$.
\. \D $u$ est \textsf{diagonalisable} sur $k$ si 
 $E=\displaystyle\bigoplus_{j=1}^i  E_{\lambda_j}$, o{\`u} 
 $\lambda_1,\dots,\lambda_i$ sont les valeurs propres
 distinctes deux \`a deux de $u$ dans $k$.

{\it Remarque:} $u$ est donc diagonalisable si et seulement si
$\displaystyle\sum_{j=1}^i \dim E_{\lambda_j}=\dim E$.
\. \Prop $\dim E_\lambda$ est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} la multiplicit{\'e} de
$\lambda$ en tant que racine du polyn{\^o}me caract{\'e}ristique $P_u$.

\. \Th $u$ est diagonalisable si et seulement si toutes les racines de $P_u$ 
appartiennent \`a $k$ et pour toute racine $\lambda$ de $P_u$, la dimension
$\dim E_\lambda$ est \'egale \`a la multiplicit\'e de $\lambda$ en tant que racine de $P_u$.

%\subsubsection{Th{\'e}or{\`e}me de Cayley-Hamilton}
%\. \Prop Soit $R$ un anneau commutatif et $A\in\mat_n(R)$. 
%  Alors on a $^t\!Com(A).A=\det A.id$.
%
%{\it Exercice:} $A\in\mat_n(\Z)$ est inversible  dans
%$\mat_n(\Z)$ si et seulement si $\det A=\pm 1$
%\. 

\subsubsection{Th{\'e}or{\`e}me des noyaux}
\. \Lem $u,v\in\LL(E)$, si $u\circ v=v\circ u$ alors $\ker u$ et $\im u$
sont stables par $v$.

{\it Exercice:} 1) Prouver le lemme. 2) Si $u$ a $n$ valeur propres
distinctes et $uv=vu$, alors $u$ et $v$ sont simultan{\'e}ment diagonalisables.
\. {\bf Th\'eor\`eme de noyaux:} Soient $P,Q\in k[X]$ tels que $P\wedge Q=1$. Alors
$\ker(PQ(u))=\ker P(u) \oplus \ker Q(u)$.

\. {\it Ex: Diagonalisation par blocs:} Si $P_u(X)=(X^2+1)(X^2+2)$
montrer qu'il existe une base de $E$ telle que $u$ ait pour matrice
dans cette base une matrice diagonale par blocs de format $2\times 2$.


\subsubsection{Cas o{\`u} le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique est scind{\'e}}
\. \Th $u$ est trigonalisable sur $k$ si et seulement si $P_u$ est
scind{\'e} sur $k$. 
\. {\bf NB:} Rappelons que lorsque $k=\complex$, le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique
est toujours scind{\'e}.
%
\. \D {\it(Espace caract{\'e}ristique)} Soit $\lambda$ une valeur propre
de $u$ et $\alpha$ sa multiplicit{\'e} en tant que racine du polyn{\^o}me
caract{\'e}ristique  $P_u$. \textsf{L'espace caract{\'e}ristique} de
$u$ associ{\'e} {\`a} la valeur propre $\lambda$ est l'espace $\ker(u-\lambda
id)^\alpha$.
\. \Prop Avec les notations pr{\'e}c{\'e}dentes, la suite $(\ker(u-\lambda id)^j)_{j\in\nat}$ 
est croissante, et stationnaire {\`a} partir d'un rang $j_0$ tel que $j_0\leq
\alpha$. On a $\dim \ker(u-\lambda id)^\alpha=\alpha$.
\. \Prop Si $P_u$ est scind{\'e}, alors $E$ est somme directe de ses sous
espaces caract{\'e}ristiques.
\. \Th {\it (D{\'e}composition de Dunford)} Si $P_u$ est scind{\'e}, alors
$\exists!(n,d)\in \LL(E)\times\LL(E)$ tels que $u=n+d$, $nd=dn$, $n$
est nilpotent et $d$ diagonalisable.

\subsubsection{Polyn{\^o}mes annulateurs}
\. {\bf Proposition/D{\'e}finition:} L'ensemble des polyn{\^o}mes annulant $u$
est un id{\'e}al de $k[X]$, il est donc engendr{\'e} par un {\'e}l{\'e}ment. Le
\textsf{polyn{\^o}me minimal} (not{\'e} $\mu_u$) de $u$ est le g{\'e}n{\'e}rateur 
unitaire de cet id{\'e}al.

{\it Exemple d'application:} Calcul de $u^k$ pour $k\in \nat$.
\. \Th {\it (Cayley-Hamilton)} On a $P_u(u)=0$ et donc $\mu_u|P_u$.
\. \Th $u$ est diagonalisable sur $k$ si et seulement si il existe $P\in
k[X]$ tel que $P(u)=0$ et $P$ est scind{\'e} sur $k$ {\`a} racines simples.
\end{document}
