Université Paris 7 – Denis Diderot Préparation au CAPES

Test de géométrie du 15/09/2005

Q.C.M. (plusieurs réponses possibles)

1. Trois points A = (x, y), B = (x′, y′) et C = (x′′, y′′) du plan affine sont sur une même droite si et seulement si

□ det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & x′ & x′′ \\ y & y′ & y′′ \end{matrix} ) = 0 □ det ( \begin{matrix}x′ − x & x′′ − x \\ y′ − y & y′′ − y \end{matrix} ) = 0 □ ni l’un ni l’autre

2. Soit (ABC) un triangle, M, N et P des points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB) et différents de A, B et C . Les droites (AM), (BN), (CP) sont concourantes si et seulement si

□ \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \frac{\overline{P A}}{\overline{P B}} = 1 □ \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \frac{\overline{P A}}{\overline{P B}} = −1 □ ni l’un ni l’autre

3. Soit M un point du plan affine euclidien, d une droite et M′ le projeté orthogonal de M sur d. Alors la distance MM′ est, par rapport à toutes les distances MP, P ∈ d,

□ un minimum □ un maximum □ ni l’un ni l’autre

4. Les similitudes du plan complexe sont les applications de la forme z ↦ az + b avec a et b réels, a non nul.

□ V rai □ F aux

5. Deux triangles (ABC) et (A′B′C′) sont semblables si et seulement si

□ \frac{AB}{A′B′} = \frac{BC}{B′C′} = \frac{CA}{C′A′} □ leurs angles sont, au signe près, les mêmes □ ni l’un ni l’autre

6. Dans un triangle, on suppose que l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont distincts et on considère la droite affine qui les contient. Appartien(nen)t aussi à cette droite

□ le centre du cercle inscrit □ les centres des cercles exinscrits □ le centre de gravité

7. Soit A = (x, y), B = (x′, y′) et C = (x′′, y′′) trois points du plan affine euclidien. Le déterminant

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & x′ & x′′ \\ y & y′ & y′′ \end{matrix} ) représente (à une constante multiplicative absolue près)

□ l’aire du triangle (ABC) □ le périmètre du triangle (ABC) □ ni l’un ni l’autre

8. Soit D_{i} (1 ≤ i ≤ 3) des droites du plan euclidien orienté et u_{i} (1 ≤ i ≤ 3) des vecteurs non nuls respectivement de D_{i}. On note { \atop D_{i}, D_{j}} l’angle des droites D_{i} et D_{j} et { \atop u_{i}, u_{j}} l’angle des vecteurs u_{i} et u_{j}. On note A la propriété { \atop D_{1}, D_{2}} = { \atop D_{1}, D_{3}} et B la propriété { \atop u_{1}, u_{2}} = { \atop u_{1}, u_{3}}. On a

□ A ⇒ B □ B ⇒ A □ ni l’un ni l’autre

9. L’ensemble des points M du plan tels que l’angle de droites { \atop MA, MB} soit constant est (à l’exception des

points A et B)

□ Un cercle □ Un arc de cercle □ ni l’un ni l’autre

10. La tangente en un point M d’une ellipse de foyers F et F′ est une bissectrice extérieure du triangle (MF F′)

□ V rai □ F aux

11. L’angle et l’axe d’une rotation dans l’espace la caractérisent complètement.

□ V rai □ F aux

Question de cours

Donner la liste des isométries d’un tétraèdre régulier. Quel est le groupe formé par ces isométries ?

Exercices

Géométrie affine plane Démontrer la réponse donnée à l’exercice 2.

Géométrie euclidienne plane On se place dans le plan R^{2} affine euclidien.

1. Soit h une homothétie de rapport k et C un cercle de centre Ω et de rayon R. Montrer que h(C) est un cercle. Quels sont le centre et le rayon de h(C) ?

2. Donner le sommet et l’axe de la parabole d’équation (3x − y)^{2} = 7x + y + 1.

3. Donner la nature de la conique d’équation 11x^{2} + 6xy + 3y^{2} − 14x − 6y.

Géométrie euclidienne dans l’espace On se place dans l’espace R^{3} affine euclidien.

1. Soit A, B et C les trois points de coordonnées respectives (1, 3, 1), (1, 9, 5) et (3, 2, 0). Trouver les coordonnées de l’intersection du plan médiateur de [AB] et de la droite passant par C et orthogonale à ce plan.

2. Trouver la perpendiculaire commune aux droites d’équations cartésiennes x−z−3 = x+y+2z−4 = 0 et x + y + 1 = x − y + 10z = 0.

3. Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d’un point au plan d’équation cartésienne x − y + z = 1.

4. Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d’un point à la droite d’équation cartésienne x − y + z − 1 = 2x − y + 3z + 2 = 0.