RAPPELS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE ÉLÉMENTAIRE

B. KELLER

1. Notions de base

1.1. Suites exactes, foncteurs exacts. Soit A un anneau (associatif et unitaire, non nécessairement commutatif). On note A − Mod la catégorie des A-modules (où 1_{A} agit par l’identité). Une suite de A-modules et de morphismes de A-modules

\xymatrix{M_{n} \ar[r]^{f_{n}} & M_{n−1} \ar[r] & … \ar[r] & M_{1} \ar[r]^{f_{1}} & M_{0}} , n ≥ 2 ,

est exacte si im(f_{i}) = ker(f_{i−1}) pour tout 1 < i ≤ n. Une suite exacte courte est une suite exacte de la forme

\xymatrix{0 \ar[r] & L \ar[r]^{i} & M \ar[r]^{p} & N \ar[r] & 0} (∗).

On dit que M est une extension de N par L. Soit B un autre anneau. Un foncteur

F : A − Mod → B − Mod

est exact (resp. exact à droite, resp. exact à gauche) si, pour toute suite exacte courte (∗), la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & F L \ar[r]^{F i} & F M \ar[r]^{F p} & F N \ar[r] & 0}

est exacte (resp. la suite

\xymatrix{F L \ar[r]^{F i} & F M \ar[r]^{F p} & F N \ar[r] & 0}

est exacte, resp. la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & F L \ar[r]^{F i} & F M \ar[r]^{F p} & F N}

est exacte).

1.2. Complexes. Un complexe de cochaînes est un diagramme de A-modules de la forme

M = ( \xymatrix{… \ar[r] & M^{p} \ar[r]^{d^{p}} & M^{p+1} \ar[r] & …} ) , p ∈ Z ,

tel que d^{p+1}d^{p} = 0 pour tous p ∈ Z. Il est borné si M^{p}=0 pour presque tous p. Son homologie en degré p est

H^{p}(M) = ker(d^{p})/ im(d^{p−1}).

Le complexe M est exact en degré p si H^{p}(M) = 0. Il est acyclique s’il est exact en tout degré. Il est contractile s’il existe des morphismes r^{p} : M^{p} → M^{p−1} tels que

d^{p−1}r^{p} + r^{p+1}d^{p} = 1_{M^{p}}

pour tout p. Tout complexe contractile est acyclique. La caractéristique d’Euler-Poincaré d’un complexe borné V d’espaces vectoriels de dimension finie sur un corps k est la somme alternée

χ(V) = ∑_{p∈Z}(−1)^{p} dim_{k} V^{p}.

Date: 12/02/2004.

Elle s’annule si V est acyclique. Un complexe de chaînes ne se distingue d’un complexe de cochaînes que par la notation : les indices apparaissent en bas et sont décroissants

\xymatrix{… \ar[r] & L_{p} \ar[r]^{d_{p}} & L_{p−1} \ar[r] & …} , p ∈ Z.

On définit l’homologie H_{p}(L) …. Un morphisme de complexes f : L → M est un diagramme commutatif

\xymatrix{… \ar[r] & L^{p} \ar[r]^{d^{p}} \ar[d]_{f^{p}} & L^{p+1} \ar[r] \ar[d]^{f^{p+1}} & … \\ … \ar[r] & M^{p} \ar[r]_{d^{p}} & M^{p+1} \ar[r] & …}

C’est un quasi-isomorphisme si les morphismes induits

H^{p}(f) : H^{p}(L) → H^{p}(M)

sont inversibles pour tous p ∈ Z. Soit M un A-module. Nous l’identifions avec un complexe concentré en degré 0. Une résolution projective de M est un quasiisomorphisme

\xymatrix{… \ar[r] & P_{p} \ar[d] \ar[r]^{d_{p}} & … \ar[r] & P_{1} \ar[d] \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \ar[r] & … \\ … \ar[r] & 0 \ar[r] & … \ar[r] & 0 \ar[r] & M \ar[r] & 0 \ar[r] & …}

où les P_{p} sont projectifs. Soit N un A-module. Le groupe Ext_{A}^{p}(M, N) est l’homologie en degré p du complexe

\xymatrix{… \ar[r] & Hom_{A}(P_{p}, N) \ar[r]^{−d_{p+1}^{∗}} & Hom_{A}(P_{p+1}, N) \ar[r] & …}

où P → M est une résolution projective quelconque de M.

2. Propriétés des groupes Ext

2.1. Bifonctorialité et suites exactes longues. Tout module admet une résolution projective. Elle n’est pas unique mais, à isomorphisme canonique près, le groupe Ext_{A}^{p}(M, N) ne dépend pas du choix de la résolution projective. On a

Ext_{A}^{0}(M, N) = Hom_{A}(M, N) et Ext_{A}^{p}(M, N) = 0 pour tous p < 0.

Tout morphisme f : N_{1} → N_{2} induit un morphisme

f_{∗} : Ext_{A}^{p}(M, N_{1}) → Ext_{A}^{p}(M, N_{2})

et tout morphisme g : M_{1} → M_{2} induit un morphisme

g^{∗} : Ext_{A}^{p}(M_{2}, N) → Ext_{A}^{p}(M_{1}, N).

Si

\xymatrix{0 \ar[r] & L \ar[r]^{i} & M \ar[r]^{p} \ar[r] & N \ar[r] & 0}

est une suite exacte courte et U un module, on a des suites exactes longues (=complexes acycliques)

… → Ext_{A}^{p−1}(U, N) → Ext_{A}^{p}(U, L) → Ext_{A}^{p}(U, M) → Ext_{A}^{p}(U, N) → Ext_{A}^{p+1}(U, L) → …

et

… → Ext_{A}^{p−1}(L, U) → Ext_{A}^{p}(N, U) → Ext_{A}^{p}(M, U) → Ext_{A}^{p}(L, U) → Ext_{A}^{p+1}(N, U) → ….

2.2. Description en termes d’extensions (Yoneda). Le groupe Ext_{A}^{1}(L, M) est en bijection fonctorielle avec l’ensemble des classes d’équivalence de suites exactes courtes

\xymatrix{ε : & 0 \ar[r] & M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0} ,

où ε ∼ ε′ s’il existe un morphisme de complexes

\xymatrix{ε : & 0 \ar[r] & M \ar[r]^{i} \ar[d]_{1} & E \ar[r]^{p} \ar[d]^{∼} & L \ar[r] \ar[d]^{1} & 0 \\ ε′ : & 0 \ar[r] & M \ar[r]_{i′} & E′ \ar[r]_{p′} & L \ar[r] & 0.}

Une suite

\xymatrix{ε : & 0 \ar[r] & M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0}

correspond à l’élément nul de Ext_{A}^{1}(L, M) ssi p admet une section, i.e. un morphisme s : L → E tel que ps = 1, ssi i admet une rétraction, i.e. un morphisme r : E → L tel que ri = 1. On dit alors que ε est scindable (ou scindée).

Si f : M_{1} → M_{2} est un morphisme, on construit l’image d’une suite exacte courte

\xymatrix{ε : & 0 \ar[r] & M_{1} \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0}

par

f_{∗} : Ext_{A}^{1}(L, M_{1}) → Ext_{A}^{1}(L, M_{2})

ainsi :

[figure: ε :; 0; M_{1}; f; i; P O; E; i; L; 1; 0; f_{∗}(ε) :; 0; M_{2}; i′; E′; p′; L; 0]

où E′ est la somme amalgamée (“pushout”) de (i, f), i.e.

E′ = cok( \xymatrix{M \ar[r]^{[i,−f]^{t}} & E ⊕ M_{2}} ).

On a f_{∗}(ε) = 0 ssi f = f̃i pour un f̃: E → M_{2}. Dualement, si g : L_{1} → L_{2} est un morphisme, on construit l’image d’une suite exacte courte

\xymatrix{ε : & 0 \ar[r] & M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L_{2} \ar[r] & 0}

par

g^{∗} : Ext_{A}^{1}(L_{2}, M) → Ext_{A}^{1}(L_{1}, M)

ainsi

[figure: g^{∗}(ε) :; 0; M; 1; i′; E′; p′; P B; L_{1}; g; 0; ε :; 0; M; i; E; p; L_{2}; 0]

où E′ est le produit fibré (“pullback”) de (g, p), i.e.

E′ = ker( \xymatrix{E ⊕ L_{1} \ar[r]^{[g,−p]} & L_{2}} ).

On a g^{∗}(ε) = 0 ssi g = p ∘ g̃ pour un g̃ : L_{1} → E.

3. Litérature

Le livre [1] est toujours d’actualité. La présentation de [3] est très pédagogique. Pour aller plus loin, on pourra consulter [4] et [2]. Il existe bien sûr un grand nombre d’autres livres excellents sur le sujet.

Références

1. Henri Cartan and Samuel Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956.

2. Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin, Methods of homological algebra, Springer-Verlag, Berlin, 1996, Translated from the 1988 Russian original.

3. P. J. Hilton and U. Stammbach, A course in homological algebra, second ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 4, Springer-Verlag, New York, 1997.

4. Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, 1994.