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\begin{document}
\title{Rappels d'alg\`ebre homologique \'el\'ementaire}
\author{B. Keller}
\date{12/02/2004}
\maketitle
\section{Notions de base}

\subsection{Suites exactes, foncteurs exacts}
Soit  $A$ un anneau (associatif et unitaire, non n\'ecessairement
commutatif). On note $A-\Mod$ la cat\'egorie des $A$-modules
(o\`u $1_A$ agit par l'identit\'e). 
Une suite de $A$-modules et de morphismes de
$A$-modules
\[
\xymatrix{ M_n \ar[r]^{f_n} & M_{n-1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & 
M_1 \ar[r]^{f_1} & M_0} \ko n\geq 2\ko
\]
est {\em exacte} si $\im(f_i)=\ker(f_{i-1})$ pour tout $1<i\leq n$.
Une {\em suite exacte courte} est une suite exacte de la forme
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & L \ar[r]^{i} & M \ar[r]^{p} & N \ar[r] & 0} 
\quad\quad (*).
\]
On dit que $M$ est une {\em extension de $N$ par $L$}.
Soit $B$ un autre anneau. Un foncteur
\[
F: A-\Mod \to B-\Mod
\]
est {\em exact} (resp. {\em exact \`a droite}, resp. {\em exact \`a gauche})
si, pour toute suite exacte courte $(*)$, la suite
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & FL \ar[r]^{Fi} & FM \ar[r]^{Fp} & FN \ar[r] & 0}
\]
est exacte (resp. la suite
\[
\xymatrix{FL \ar[r]^{Fi} & FM \ar[r]^{Fp} & FN \ar[r] & 0}
\]
est exacte, resp. la suite
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & FL \ar[r]^{Fi} & FM \ar[r]^{Fp} & FN}
\]
est exacte).

\subsection{Complexes}
Un {\em complexe de
cocha\^{\i}nes} est un diagramme de $A$-modules de la forme
\[
M=(\xymatrix{\ldots \ar[r] & M^p \ar[r]^{d^p} & M^{p+1} \ar[r] &
\ldots}) \ko p\in\Z \ko
\]
tel que $d^{p+1} d^p=0$ pour tous $p\in\Z$. Il est
{\em born\'e} si $M^p$=0 pour presque tous $p$.
Son {\em homologie en degr\'e $p$} est
\[
H^p(M) = \ker(d^p)/\im(d^{p-1}).
\]
Le complexe $M$ est {\em exact en degr\'e $p$} si $H^p(M)=0$. Il
est {\em acyclique} s'il est exact en tout degr\'e. Il est {\em
contractile} s'il existe des morphismes $r^p : M^p \to M^{p-1}$
tels que
\[
d^{p-1} r^p + r^{p+1} d^p = \id_{M^p}
\]
pour tout $p$. Tout complexe contractile est acyclique. La
{\em caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e} d'un complexe
born\'e $V$ d'espaces vectoriels de dimension finie sur un corps $k$ 
est la somme altern\'ee
\[
\chi(V)= \sum_{p\in\Z} (-1)^p \dim_k V^p.
\]
Elle s'annule si $V$ est acyclique. Un {\em complexe de cha\^{\i}nes}
ne se distingue d'un complexe de cocha\^{\i}nes que par la notation~:
les indices apparaissent en bas et sont d\'ecroissants
\[
\xymatrix{\ldots \ar[r] & L_p \ar[r]^{d_p} & L_{p-1} \ar[r] &
\ldots} \ko p\in\Z.
\]
On d\'efinit l'homologie $H_p(L)$ \ldots . Un {\em morphisme de
complexes} $f: L \to M$ est un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{  \ldots \ar[r] & L^p \ar[r]^{d^p} \ar[d]_{f^p} &
L^{p+1} \ar[r] \ar[d]^{f^{p+1}} & \ldots \\
\ldots \ar[r] & M^p \ar[r]_{d^p} & M^{p+1} \ar[r] & \ldots }
\]
C'est un {\em quasi-isomorphisme} si les morphismes induits
\[
H^p(f) : H^p(L) \to H^p(M)
\]
sont inversibles pour tous $p\in\Z$. Soit $M$ un $A$-module. Nous
l'identifions avec un complexe concentr\'e en degr\'e $0$. Une
{\em r\'esolution projective de $M$} est un quasi-isomorphisme
\[
\xymatrix{ \ldots \ar[r] & P_p \ar[d] \ar[r]^{d_p} & \ldots \ar[r]
& P_1\ar[d] \ar[r]^{d_1} & P_0 \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \ar[r] & \ldots \\
           \ldots \ar[r]  & 0   \ar[r]   & \ldots \ar[r]
& 0 \ar[r]         & M \ar[r] & 0 \ar[r] & \ldots}
\]
o\`u les $P_p$ sont projectifs. Soit $N$ un $A$-module. Le {\em
groupe} $\Ext^p_A(M,N)$ est l'homologie en degr\'e $p$ du complexe
\[
\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \Hom_A(P_p, N) \ar[r]^-{-d_{p+1}^*} &
\Hom_A(P_{p+1}, N) \ar[r] & \ldots }
\]
o\`u $P \to M$ est une r\'esolution projective quelconque de $M$.


\section{Propri\'et\'es des groupes $\Ext$}

\subsection{Bifonctorialit\'e et suites exactes longues}
Tout module admet une r\'esolution projective. Elle n'est pas unique
mais, \`a isomorphisme canonique pr\`es, le groupe $\Ext_A^p(M,N)$ ne
d\'epend pas du choix de la r\'esolution projective. On a
\[
\Ext^0_A(M,N)=\Hom_A(M,N) \mbox{ et } \Ext^p_A(M,N)=0 \mbox{ pour tous }
p<0.
\]
Tout morphisme $f: N_1 \to N_2$ induit un morphisme
\[
f_* : \Ext^p_A(M,N_1) \to \Ext^p_A(M,N_2) 
\]
et tout morphisme $g: M_1 \to M_2$ induit un morphisme
\[
g^* : \Ext^p_A(M_2,N) \to \Ext^p_A(M_1, N).
\]
Si
\[
\xymatrix{ 0 \ar[r] & L \ar[r]^{i} & M \ar[r]^{p} \ar[r] & N \ar[r]  & 0 }
\]
est une suite exacte courte et $U$ un module, on a des suites exactes
longues (=complexes acycliques)
\[
\ldots\to \Ext^{p-1}_A(U,N) \to 
\Ext^p_A(U,L) \to \Ext^p_A(U,M) \to \Ext^p_A(U,N)  \to
\Ext^{p+1}_A(U,L) \to \ldots
\]
et
\[
\ldots\to \Ext^{p-1}_A(L,U) \to \Ext^p_A(N,U) \to \Ext^p_A(M,U) \to
\Ext^p_A(L,U) \to \Ext^{p+1}_A(N,U) \to \ldots \quad .
\]

\subsection{Description en termes d'extensions (Yoneda)}
Le groupe $\Ext^1_A(L,M)$ est en bijection fonctorielle avec l'ensemble
des classes d'\'equivalence de suites exactes courtes
\[
\xymatrix{ \eps : & 0 \ar[r] &  M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0} \ko
\]
o\`u $\eps \sim \eps'$ s'il existe un morphisme de complexes
\[
\xymatrix{ \eps : & 0 \ar[r] & M \ar[r]^i \ar[d]_{\id} & E \ar[r]^{p} 
  \ar[d]^{\sim} & L \ar[r] \ar[d]^{\id} & 0 \\
\eps' : & 0 \ar[r] & M \ar[r]_{i'} & E' \ar[r]_{p'} & L \ar[r] & 0 .
}
\]
Une suite
\[
\xymatrix{ \eps : & 0 \ar[r] &  M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0}
\]
correspond \`a l'\'el\'ement nul de $\Ext^1_A(L,M)$ ssi $p$ admet une
section, \ie un morphisme $s: L\to E$ tel que $ps=\id$, ssi
$i$ admet une r\'etraction, \ie un morphisme $r: E\to L$ tel que
$ri=\id$. On dit alors que $\eps$ est {\em scindable} (ou
{\em scind\'ee}).


Si $f:M_1 \to M_2$ est un morphisme, on construit l'image d'une
suite exacte courte
\[
\xymatrix{ \eps : & 0 \ar[r] &  M_1 \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L \ar[r] & 0}
\]
par 
\[
f_* : \Ext^1_A(L,M_1) \to \Ext^1_A(L,M_2)
\]
ainsi :
\[
\xymatrix{
\eps : & 0 \ar[r] 
       & M_1 \ar[d]_{f} \ar[r]^{i}  \ar@{} [dr] |*+[o][F-]{PO}
       & E \ar[d] \ar[r]^{i} 
       & L \ar[r] \ar[d]^{\id} 
       & 0 \\
f_*(\eps) : 
       & 0 \ar[r]
       & M_2 \ar[r]_{i'} 
       & E' \ar[r]_{p'}
       & L \ar[r]
       & 0}
\]
o\`u $E'$ est la somme amalgam\'ee (``pushout'') de $(i,f)$, \ie
\[
E'= \cok(\xymatrix{M \ar[r]^-{[i,-f]^t} & E\oplus M_2}).
\]
On a $f_*(\eps)=0$ ssi $f=\tilde{f} i$ pour un $\tilde{f}: E \to M_2$.
Dualement, si $g: L_1 \to L_2$ est un morphisme, on construit
l'image d'une suite exacte courte
\[
\xymatrix{ \eps : & 0 \ar[r] &  M \ar[r]^{i} & E \ar[r]^{p} & L_2 \ar[r] & 0}
\]
par
\[
g^* : \Ext^1_A(L_2,M) \to \Ext^1_A(L_1, M) 
\]
ainsi
\[
\xymatrix{
g^*(\eps) : & 0   \ar[r]
            & M   \ar[d]_{\id} \ar[r]^{i'} 
            & E'  \ar[d] \ar[r]^{p'}  \ar@{}[dr]|*+[o][F-]{PB}
            & L_1 \ar[r] \ar[d]^g
            & 0 \\
\eps      : & 0 \ar[r] 
            & M \ar[r]_{i} 
            & E \ar[r]_p
            & L_2 \ar[r]
            & 0 
}
\]
o\`u $E'$ est le produit fibr\'e (``pullback'') de $(g,p)$, \ie
\[
E'=\ker(\xymatrix{ E\oplus L_1 \ar[r]^-{[g,-p]} & L_2}).
\]
On a $g^*(\eps)=0$ ssi $g=p\circ \tilde{g}$ pour un 
$\tilde{g} : L_1 \to E$.


\section{Lit\'erature}

Le livre \cite{CartanEilenberg56} est toujours d'actualit\'e.
La pr\'esentation de \cite{HiltonStammbach97} est
tr\`es p\'edagogique.
Pour aller plus loin, on pourra consulter \cite{Weibel94} et
\cite{GelfandManin96}. Il existe bien s\^ur un grand nombre
d'autres livres excellents sur le sujet.

\bibliographystyle{amsplain}
\bibliography{stanKeller}



\end{document}

