% Fichier LaTeX 2.09
% Programme du cours de DEA
% Representations de carquois
% Cours specialise, 2e semestre 2003/2004
% Version du 16/06/2004
%
%
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%physischen oberen Papierrand
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% Additionally, we shall put
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\section*{{\normalsize\bf #2}}
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  {[\arabic{enumi}]}{\settowidth\labelwidth{[#1]}\leftmargin\labelwidth
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\begin{document}

\begin{flushleft}
{\small
UNIVERSIT\'E PARIS 7 -- Denis Diderot \hfill Paris, le 30 avril 2003\\
U.F.R. DE MATH\'EMATIQUES\\
case 7012\\
2, place Jussieu,
75251 Paris Cedex 05\\[0.5cm]
Bernhard Keller\\
{\em e-mail:} keller@math.jussieu.fr\\
{\em t\'el.:} 01 44 27 54 60\\
{\em fax:} 01 44 27 78 18
}
\end{flushleft}
%\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
{\bf
Repr\'esentations de carquois\\[0.3cm]
Cours de DEA au deuxi\`eme semestre 2003/2004
}
\end{center}
%\vspace*{0.5cm}
\begin{flushleft}
{\bf cours sp\'ecialis\'e, niveau 2, deuxi\`eme semestre}\\[0.5cm]
%%{{\bf Horaires :} Ma 10h30 en 45-55-513, Je 16h30 en 45-46-401,
%%                Lu 10h30 en 45-55-511 (TD)}\\[0.5cm]

{\bf Sujet}
\end{flushleft}

Un {\em carquois} est un graphe orient\'e. Une {\em repr\'esentation}
d'un carquois $Q$ sur un corps $k$ est un diagramme de $k$-espaces
vectoriels qui a la forme indiqu\'ee par $Q$. Les repr\'esentations de
carquois interviennent dans de nombreux probl\`emes d'alg\`ebre
lin\'eaire et de th\'eorie des repr\'esentations (voir
\cite{Benson91}, \cite{GabrielRoiter92}).  En particulier, ils ont des
liens \'etroits avec la th\'eorie repr\'esentations des alg\`ebres de
Lie de dimension finie et infinie. Dans ce cours, nous pr\'esenterons
les th\'eor\`emes de Gabriel et de Kac, puis nous \'etudierons
la th\'eorie d'Auslander-Reiten et l'appliquerons \`a l'\'etude
des repr\'esentations des carquois dont le graphe sous-jacent
est un diagramme de Dynkin \'etendu.

\bigskip\noindent
{\bf Programme}

\begin{itemize}
\item[1.] {\bf Rappels et compl\'ements de g\'eom\'etrie alg\'ebrique.}
  Vari\'et\'es affines, groupes alg\'ebriques lin\'eaires, actions
  de groupes r\'eductifs sur des vari\'et\'es affines.
  
\item[2.] {\bf Le th\'eor\`eme de Gabriel.} \cite{Gabriel72} Carquois,
  carquois avec relations, repr\'esentations, groupes d'extensions,
  vari\'et\'es de repr\'esentations, forme de Tits, racines,
  diagrammes de Dynkin et carquois de repr\'esentation finie.

\item[3.] {\bf Le th\'eor\`eme de Kac.} \cite{Kac80} Carquois et
  matrices de Cartan, groupe de Weyl, racines r\'eelles, racines
  imaginaires, d\'emonstration du th\'eor\`eme principal en
  caract\'eristique finie puis en caract\'eristique nulle.

\item[4.] {\bf La th\'eorie d'Auslander-Reiten.} 
\cite{AuslanderReitenSmaloe97}, \cite{GabrielRoiter92}
  Le point de vue fonctoriel, couvertures projectives de foncteurs de
  type fini, le th\'eor\`eme d'Auslander-Reiten, propri\'et\'es des
  suites presque scind\'ees, la translation d'Auslander-Reiten,
  le carquois d'Auslander-Reiten.

\item[5.] {\bf Repr\'esentations des carquois de Dynkin \'etendus}
  \cite{GabrielRoiter92}, \cite{Ringel84} 
  Composantes postprojectives, cas des alg\`ebres de carquois,
  carquois de Dynkin, crit\`ere de finitude, cat\'egories de
  mailles, comparaison avec la cat\'egorie des ind\'ecomposables,
  carquois d'Auslander-Reiten des carquois de Dynkin \'etendus.
\end{itemize}

\noindent
{\bf Connaissances requises :} Connaissances g\'en\'erales de la
ma\^{\i}trise, notions de g\'eom\'etrie alg\'ebrique, 
notions sur les groupes et alg\`ebres de Lie.


\newpage

\begin{thebibl}{00}{Bibliographie}{0}

\bibitem{AuslanderReitenSmaloe97} M.~Auslander, I.~Reiten,
S.~Smal\o, {\em Representation theory of Artin algebras},
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36.
Cambridge University Press, Cambridge, 1997


\bibitem{Benson91} D.~J.~Benson, {\em Representations and Cohomology I: Basic
representation theory of finite groups and associative algebras},
Cambridge Univ.~Press, 1991.

\bibitem{Gabriel72} P.~Gabriel, {\em Unzerlegbare Darstellungen I}, Manuscripta
Mathematica {\bf 6} (1972), 71--103.

\bibitem{GabrielRoiter92} P.~Gabriel, A.~V.~Roiter, {\em
Representations of finite-dimensional algebras}, Enc. of Math.~Sci.,
73, Algebra VIII, Springer 1992.

\bibitem{Kac80} V.~Kac, {\em Infinite root systems, representations of graphs
and invariant theory}, Invent.~Math. {\bf 56} (1980), 57--92.

\bibitem{King94} A.~King, {\em Moduli of representations of finite-dimensional
algebras}, Quart.~J.~Math.~Oxford {\bf 45} (1994), 515--530.

\bibitem{Ringel84} C.~M.~Ringel, {\em Tame algebras and integral 
quadratic forms}, Lecture Notes in Mathematics, 1099.
Springer-Verlag, Berlin, 1984.


\end{thebibl}


\end{document}

