UNIVERSITÉ PARIS 7 – Denis Diderot Paris, le 28 avril 2004 U.F.R. DE MATHÉMATIQUES case 7012 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05

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Représentations de carquois

Projet de cours de DEA au deuxième semestre 2004/2005

Sujet

Un carquois est un graphe orienté. Une représentation d’un carquois Q sur un corps k est un diagramme de k-espaces vectoriels qui a la forme indiquée par Q. Les représentations de carquois interviennent dans de nombreux problèmes d’algèbre linéaire et de théorie des représentations (voir [1], [8]). En particulier, ils ont des liens étroits avec la théorie représentations des algèbres de Lie de dimension finie et infinie.

Programme

1. Rappels et compléments de géométrie algébrique. Variétés affines, groupes algébriques linéaires, actions de groupes réductifs sur des variétés affines.

2. Le théorème de Gabriel. [7] Carquois, carquois avec relations, représentations, groupes d’extensions, variétés de représentations, forme de Tits, racines, diagrammes de Dynkin et carquois de représentation finie.

3. Le théorème de Kac. [9] Carquois et matrices de Cartan, groupe de Weyl, racines réelles, racines imaginaires, démonstration du théorème principal en caractéristique finie puis en caractéristique nulle.

4. Espaces de modules de représentations. (d’après A. King [10]) Points stables et semistables, espaces de modules, fibrés universels.

5. Représentations générales. (d’après Schofield [11], Crawley-Boevey [2], [3]) Représentations géneŕales, existence de sous-représentations de dimension donnée, morphismes entre représentations générales, caractérisation de l’existence de sous-représentations.

6. Algèbres préprojectives. Réduction symplectique, algèbres préprojectives, application au problème de Horn : Si A, B sont deux matrices hermitiennes, il s’agit de donner des estimations précises sur les valeurs propres de A + B en fonction de celles de A et de B (voir Fulton [6]). On suivra [5].

Connaissances requises : Connaissances générales de la maîtrise, notions de géométrie algébrique, notions sur les groupes algébriques.

Bibliographie

[1] D. J. Benson, Representations and Cohomology I: Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Cambridge Univ. Press, 1991.

[2] W. Crawley-Boevey, On homomorphisms from a fixed representation to a general representation of a quiver, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), 1909–1919.

[3] W. Crawley-Boevey, Subrepresentations of general representations of quivers, Bull. London Math. Soc. 28 (1996), 363–366.

[4] K. Erdmann, W. Crawley-Boevey, C. Geiss, Summer School : Geometry of quiver representations and preprojective algebras, Isle of Thorn, September 2000,

http://www.amsta.leeds.ac.uk/ pmtwc/quiver/

[5] W. Crawley-Boevey, C. Geiss, Horn’s problem and semi-stability for quiver representations, prépublication, avril 2000.

[6] W. Fulton, Eigenvalues, invariant factors, highest weights and Schubert calculus, Bull. Amer. Math. Soc. 37 (2000), 209–249.

[7] P. Gabriel, Unzerlegbare Darstellungen I, Manuscripta Mathematica 6 (1972), 71–103.

[8] P. Gabriel, A. V. Roiter, Representations of finite-dimensional algebras, Enc. of Math. Sci., 73, Algebra VIII, Springer 1992.

[9] V. Kac, Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory, Invent. Math. 56 (1980), 57–92.

[10] A. King, Moduli of representations of finite-dimensional algebras, Quart. J. Math. Oxford 45 (1994), 515–530.

[11] A. Schofield, General representations of quivers, Proc. London Math. Soc. 65 (1992), 46–64.