% Fichier LaTeX 2.09
% Projet de cours de DEA de B. Keller 
% version du 28.04.2004
% Cours specialise, 2e semestre 2004/2005
% Representations de carquois
%
%
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%Der logische obere Papierrand liegt 2.5cm unter dem 
%physischen oberen Papierrand
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% Additionally, we shall put
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% after \begin{document}



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\section*{{\normalsize\bf #2}}
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\begin{document}

\begin{flushleft}
{\small
UNIVERSIT\'E PARIS 7 -- Denis Diderot \hfill Paris, le 28 avril 2004\\
U.F.R. DE MATH\'EMATIQUES\\
case 7012\\
2, place Jussieu,
75251 Paris Cedex 05\\[0.5cm]
Bernhard Keller\\
{\em e-mail:} keller@math.jussieu.fr\\
{\em t\'el.:} 01 44 27 54 60\\
{\em fax:} 01 44 27 78 18
}
\end{flushleft}
%\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
{\bf
Repr\'esentations de carquois\\[0.3cm]
Projet de cours de DEA au deuxi\`eme semestre 2004/2005}\\[0.5cm]
%% {{\bf Horaires :} Ma 10h30 en 45-55-513, Je 16h30 en 45-46-401,
%%                   Lu 10h30 en 45-55-511 (TD)}\\[0.5cm]
\end{center}
{\bf Sujet}


Un {\em carquois} est un graphe orient\'e. Une {\em repr\'esentation}
d'un carquois $Q$ sur un corps $k$ est un diagramme de $k$-espaces
vectoriels qui a la forme indiqu\'ee par $Q$. Les repr\'esentations de
carquois interviennent dans de nombreux probl\`emes d'alg\`ebre
lin\'eaire et de th\'eorie des repr\'esentations (voir
\cite{Benson91}, \cite{GabrielRoiter92}).  En particulier, ils ont des
liens \'etroits avec la th\'eorie repr\'esentations des alg\`ebres de
Lie de dimension finie et infinie. 

% Dans ce cours, on \'etudiera ces
% liens \`a travers la g\'eom\'etrie des vari\'et\'es dont les points
% sont les repr\'esentations d'une dimension donn\'ee.


\bigskip\noindent
{\bf Programme}

\begin{itemize}
\item[1.] {\bf Rappels et compl\'ements de g\'eom\'etrie alg\'ebrique.}
  Vari\'et\'es affines, groupes alg\'ebriques lin\'eaires, actions
  de groupes r\'eductifs sur des vari\'et\'es affines.
  
\item[2.] {\bf Le th\'eor\`eme de Gabriel.} \cite{Gabriel72} Carquois,
  carquois avec relations, repr\'esentations, groupes d'extensions,
  vari\'et\'es de repr\'esentations, forme de Tits, racines,
  diagrammes de Dynkin et carquois de repr\'esentation finie.

\item[3.] {\bf Le th\'eor\`eme de Kac.} \cite{Kac80} Carquois et
  matrices de Cartan, groupe de Weyl, racines r\'eelles, racines
  imaginaires, d\'emonstration du th\'eor\`eme principal en
  caract\'eristique finie puis en caract\'eristique nulle.

\item[4.] {\bf Espaces de modules de repr\'esentations.} (d'apr\`es
  A. King \cite{King94}) Points stables et semistables, espaces de
  modules, fibr\'es universels.

\item[5.] {\bf Repr\'esentations g\'en\'erales.} (d'apr\`es Schofield
 \cite{Schofield92}, Crawley-Boevey \cite{CrawleyBoevey96a},
 \cite{CrawleyBoevey96b}) Repr\'e\-sen\-tations g\'ene\'rales,
 existence de sous-repr\'esentations de dimension donn\'ee, morphismes
 entre repr\'e\-sentations g\'en\'erales, caract\'erisation de
 l'existence de sous-repr\'esentations.

\item[6.] {\bf Alg\`ebres pr\'eprojectives.}  R\'eduction
 symplectique, alg\`ebres pr\'eprojectives, application au probl\`eme
 de Horn~: Si $A$, $B$ sont deux matrices hermitiennes, il s'agit de
 donner des estimations pr\'ecises sur les valeurs propres de $A+B$ en
 fonction de celles de $A$ et de $B$ (voir Fulton \cite{Fulton00}). On
 suivra \cite{CrawleyBoeveyGeiss00}.

%\item[7.] {\bf Carquois et alg\`ebres de Kac-Moody.}
%Introduction aux travaux de Lusztig \cite{Lusztig98}, 
%Kashiwara-Saito \cite{KashiwaraSaito97} et Nakajima \cite{Nakajima98}.

\end{itemize}

\noindent
{\bf Connaissances requises :} Connaissances g\'en\'erales de la
ma\^{\i}trise, notions de g\'eom\'etrie alg\'ebrique,
notions sur les groupes alg\'ebriques.


\newpage

\begin{thebibl}{00}{Bibliographie}{0}

\bibitem{Benson91} D.~J.~Benson, {\em Representations and Cohomology I: Basic
representation theory of finite groups and associative algebras},
Cambridge Univ.~Press, 1991.

\bibitem{CrawleyBoevey96a} W.~Crawley-Boevey, {\em On homomorphisms
from a fixed representation to a general representation of a quiver},
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\bibitem{CrawleyBoevey96b} W.~Crawley-Boevey, 
{\em Subrepresentations of general representations of quivers},
Bull.~London Math.~Soc. {\bf 28} (1996), 363--366.

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{\em Summer School : Geometry of quiver representations and preprojective
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{\tt http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quiver/}

\bibitem{CrawleyBoeveyGeiss00} W.~Crawley-Boevey,
C.~Geiss, {\em Horn's problem and semi-stability for quiver representations},
pr\'epublication, avril 2000.

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37} (2000), 209--249.

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% \bibitem{Lusztig91} G.~Lusztig, {\em Quivers, perverse sheaves 
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% algebras}, J.~Amer.~Math.~Soc. {\bf 4} (1991), 365--416.

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% Adv.~Math. {\bf 136}
% (1998), 141--182.

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\end{thebibl}


\end{document}


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         Springer LNM {\bf 1500}, 1992 (25 SER 92).



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%%% End: 



