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\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em R\'eponse --- #1}}
\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de juin 2004}

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%\newcommand{\titre}{Examen de juin 2004}


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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}
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\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}


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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2003--04\\
UFR de Math\'ematiques \hfill  Repr\'esentations de carquois\\
DEA de Math\'ematiques \hfill  14/06/2004\\
B. Keller \hfill \mbox{}}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titre}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } L'utilisation de documents autres que
les notes de cours est interdite. Dans tout l'\'enonc\'e, $k$
d\'esigne un corps alg\'ebriquement clos et les modules consid\'er\'es
sont de dimension finie sur $k$.  }

\bigskip
\noindent
{\bf I. Repr\'esentations de $\vec{D}_4$}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ le carquois de graphe sous-jacent $D_4$
\[
\xymatrix{
 & 1 \ar[ld]_\phi \\
0 & 2 \ar[l] \\
  & 3 \ar[ul]
}
\]

\bigskip
\noindent

\begin{list-of-exercises}
\item Quelles sont (\`a isomorphisme pr\`es) les
repr\'esentations projectives ind\'ecomposables et les
repr\'esentations injectives ind\'ecomposables de $Q$~?
Quelles sont les repr\'esentations simples ?

\solution{Le carquois $Q$ n'a pas de cycles orient\'es.
Donc l'id\'eal $0$ de $kQ$ est admissible et l'on sait
que les $kQ$-modules ind\'ecomposables projectifs sont les
$(kQ)e_i$, $i\in Q_0$, les ind\'ecomposables
injectifs les $\Hom_k(e_i(kQ), k)$ et les simples
les $S_i$ tels que $S_i(j)=k$ pour $i=j$ et $S_i(j)=0$
sinon. Ainsi, les repr\'esentations projectives ind\'ecomposables
sont (\`a isomorphisme pr\`es) les repr\'esentations $P_0, \ldots, P_3$
donn\'ees par
\[
\xymatrix{
  & 0 \ar[ld] \\
k & 0 \ar[l] \\
  & 0 \ar[ul]
} \quad
\xymatrix{
  & k \ar[ld]_{1} \\
k & 0 \ar[l] \\
  & 0 \ar[ul]
} \quad
\xymatrix{
  & 0 \ar[ld] \\
k & k \ar[l]_{1} \\
  & 0 \ar[ul]
} \quad
\xymatrix{
  & 0 \ar[ld] \\
k & 0 \ar[l] \\
  & k . \ar[ul]_{1}}
\]
Les repr\'esentations injectives ind\'ecomposables sont
(\`a isomorphisme pr\`es) les repr\'esentations $I_0, \ldots, I_3$
donn\'ees par
\[
\xymatrix{
  & k \ar[ld]_{1} \\
k & k \ar[l]_{1} \\
  & k \ar[ul]_{1}
} \quad
\xymatrix{
  & k \ar[ld] \\
0 & 0 \ar[l] \\
  & 0 \ar[ul]
} \quad
\xymatrix{
  & 0 \ar[ld] \\
0 & k \ar[l] \\
  & 0 \ar[ul]
} \quad
\xymatrix{
  & 0 \ar[ld] \\
0 & 0 \ar[l] \\
  & k\; . \ar[ul]
} \quad
\]
Les repr\'esentations simples sont (\`a isomorphisme pr\`es)
les repr\'esentations $S_0=P_0$, $S_1=I_1$, $S_2=I_2$ et $S_3=I_3$.
}

\item Soit $V$ une repr\'esentation de $Q$. Montrer que les
applications $V_i \to V_0$, $i=1,\ldots, 3$, sont injectives si $V$ n'a pas de
facteur direct simple injectif.
\solution{Soit $V_1'$ le noyau de $V_\phi$ et $V_1''$ un suppl\'ementaire
de $V_1'$ dans $V_1$. Alors les sous-espaces $V_i'=0$, $i\neq 1$, et $V_1'$
d\'efinissent une sous-repr\'esentation de $V$. De m\^eme,
les sous-espaces $V''_i=V_i$, $i\neq 1$, et $V''_1$ d\'efinissent
une sous-repr\'esentation de $V$. Clairement $V$ est la somme
directe de $V'$ et $V''$. Or $V'$ est isomorphe \`a une
somme de copies de $I_1$. Donc $V'=0$ par hypoth\`ese ce
qui montre que $V_\phi: V_1 \to V_0$ est injective. On proc\`ede
de m\^eme pour les applications $V_2 \to V_0$ et $V_3 \to V_0$.}

\item D\'eterminer les vecteurs dimension des repr\'esentations
ind\'ecomposables de $Q$ et son carquois d'Auslander-Reiten.
D\'ecrire la repr\'esentation ind\'ecomposable de vecteur
dimension $[2111]$.
\solution{Comme $Q$ est un carquois de Dynkin, on sait
que le carquois d'Auslander-Reiten $\Gamma_{kQ}$ est un
sous-carquois plein stable par pr\'ed\'ecesseurs de $\N(Q^{op})$
et que $Q^{op}\subset \N(Q^{op})$ s'identifie au sous-carquois
form\'e des repr\'esentants des ind\'ecomposables projectifs.
On conna\^{\i}t les vecteurs dimension des ind\'ecomposables
projectifs et on obtient les autres par `tricotage' jusqu'\`a
ce qu'on arrive aux injectifs. On trouve le carquois
suivant, dont la translation est donn\'ee, pour les sommets
non projectifs, par le d\'ecalage
d'un cran vers la gauche (on a soulign\'e les vecteurs
dimension qui seront utiles \`a la question suivante et
surlign\'e leurs translat\'es)
\[
\xymatrix{
 & \ol{[1100]} \ar[rd] &  &\ul{[1011]} \ar[rd] &  & [0100] \\
[1000] \ar[ru] \ar[r] \ar[rd] & \ul{[1010]} \ar[r] & [2111] \ar[ru] \ar[r]\ar[rd] &
\ol{[1101]} \ar[r] & [1111] \ar[ru] \ar[r] \ar[rd] & \ul{[0010]} \\
 & \ol{[1001]} \ar[ru] &  & \ul{[1110]}  \ar[ru] &  & [0001]
}
\]
La repr\'esentation ind\'ecomposable de vecteur dimension
$[2111]$ est donn\'ee par un espace $V_0$ de dimension $2$
et trois droites $V_1, V_2, V_3$ de $V_0$ distinctes deux \`a deux.
}

\item Rappeler la formule d'Auslander-Reiten.
Montrer que $\Ext^1_{kQ}(V,W)$ s'annule si $V$ et $W$ sont
des repr\'esentations ind\'ecomposables dont les vecteurs
dimension sont parmi les suivants~: $[1010]$, $[1011]$, $[1110]$, $[0010]$.
\solution{La formule d'Auslander-Reiten exprime les espaces
d'extensions en termes de duaux de quotients des espaces de
morphismes~:
\[
D\underline{\Hom}_{kQ}(\tau^{-1}(W),V)=
\Ext^1_{kQ}(V,W) = D\overline{\Hom}_{kQ}(W,\tau(V))
\]
o\`u $D$ d\'esigne le dual sur $k$, $\tau$ la translation
d'Auslander-Reiten, $\ul{\Hom}$ le quotient de $\Hom$ par
l'espace des morphismes qui se factorisent par un projectif
et $\overline{\Hom}$ le quotient de $\Hom$ par l'espace
des morphismes qui se factorisent par un injectif.
Pour montrer l'annulation des $\Ext^1$, il suffit donc
de montrer que $\Hom_{kQ}(W,\tau(V))$ s'annule pour
les ind\'ecomposables en question. Comme $Q$ est un
carquois de Dynkin, $\Gamma_{kQ}$ est standard et les
morphismes entre ind\'ecomposables peuvent se calculer
dans la cat\'egorie des mailles de $\Gamma_{kQ}$.
L'unique chemin d'un ind\'ecomposable $W$ vers un
ind\'ecomposable $\tau(V)$ est celui de longueur $2$
qui m\`ene de $[1010]$ \`a $[1011]$. Or ce chemin
est un relateur de maille. Donc les espaces d'extension
s'annulent.
}

\item Soit $v=[6372]$. Soit $U$ l'ensemble des points de la vari\'et\'e
des repr\'esentations de vecteur dimension $v$
qui correspondent \`a des sommes d'ind\'ecomposables
de vecteurs dimension du point pr\'ec\'edent. Montrer que $U$
est un ouvert non vide.
\solution{On sait que la codimension de l'orbite d'un
module $M$ est \'egale \`a la dimension de $\Ext^1_{kQ}(M,M)$.
Si $M$ est somme de copies d'ind\'ecomposables de la question
pr\'ec\'edente, alors cette codimension s'annule (par
l'additivit\'e de $\Ext^1$). Donc si $U$ est non vide,
alors $U$ est de m\^eme dimension que $\rep(Q,v)$.
Comme $\rep(Q,v)$ est irr\'eductible, il s'ensuit que
$U$ est dense. Comme $U$ est localement ferm\'e (comme toute
orbite), $U$ est alors ouvert. Il reste \`a montrer que
$U$ est non vide. En effet, nous avons
\[
[6372] = [1010] + 2\times [1011] + 3 \times [1110] + [0010].
\]
}
\end{list-of-exercises}

\noindent
{\bf II. Une proposition d'Auslander}

\bigskip
\noindent
Soit $A$ une alg\`ebre associative de dimension finie.
Soient $L$ et $M$ deux modules. On se propose de montrer
que $L$ et $M$ sont isomorphes si l'on a
\[
\dim \Hom_A(L,X) = \dim \Hom_A(M,X)
\]
pour tout module $X$. Notons que la r\'eciproque est triviale.
Soit $A-\ind$ un syst\`eme de repr\'esentants des classes
d'isomorphisme de $A$-modules ind\'ecomposables. Par le
th\'eor\`eme de Krull-Schmidt, il existe des entiers
$\mu_U(L)$ presque tous nuls, uniques, tels que
\[
L \cong \bigoplus_{U\in A-\sind} U^{\mu_U(L)}.
\]
Pour un $A$-module $X$, on d\'efinit
\[
\lambda_X(L)=\dim \Hom_A(L,X).
\]

\begin{list-of-exercises}
\item Nous consid\'erons la cat\'egorie $\Fun(A)$ des
foncteurs contravariants de type fini de la cat\'egorie $A-\!\mod$ vers
$k-\!\mod$. Rappeler la d\'efinition   du foncteur simple  $S_U$
associ\'e \`a $U$ et v\'erifier que $\mu_U(L) = \dim S_U(L)$.
\solution{Le foncteur simple $S_U$ est le quotient du foncteur
repr\'esentable $\Hom_A(?,U)$ par son unique sous-foncteur maximal.
Nous avons donc une suite exacte
\[
0 \to \cR(?,U) \to \Hom_A(?,U) \to S_U \to 0 \ko
\]
o\`u $\cR(?,U)$ est le radical de $\Hom_A(?,U)$. En outre,
pour un ind\'ecomposable $V$, nous avons $S_U(V)=k$ si
$V$ est isomorphe \`a $U$ et $S_U(V)=0$ sinon. Comme $S_U$
est additif, nous avons bien
\[
\mu_U(L) =\dim S_U(L).
\]
}
\item Supposons que $U$ est un ind\'ecomposable projectif.
Soit $R$ son radical. Montrer que
\[
\mu_U(L) = \lambda_U(L) - \lambda_R(L).
\]
\solution{
Si $U$ est projectif, on sait que $\cR(?,U)$ est isomorphe
\`a $\Hom_A(?,R)$ de fa\c{c}on qu'on a une suite exacte
\[
0 \to \Hom_A(?,R) \to \Hom_A(?,U) \to S_U \to 0.
\]
Il s'ensuit que
\[
\mu_U(L)= \dim \Hom_A(L,U) - \dim \Hom_A(L,R)= \lambda_U(L) - \lambda_R(L).
\]
}

\item Supposons que $U$ est un ind\'ecomposable non projectif.
Soit
\[
0 \to \tau U \to E \to U \to 0
\]
la suite d'Auslander-Reiten qui se termine en $U$. Montrer que
\[
\mu_U(L) = \lambda_U(L) - \lambda_E(L) + \lambda_{\tau U} (L).
\]
\solution{On sait que si $U$ n'est pas projectif, alors la suite
d'Auslander-Reiten qui se termine en $U$ nous donne une r\'esolution
projective minimale
\[
0 \to \Hom_A(?, \tau U) \to \Hom_A(?,E) \to \Hom(?, U ) \to S_U \to 0.
\]
Il s'ensuit que
\[
\mu_U(L) = \dim S_U(L) = \dim \Hom_A(L,U) - \dim \Hom_A(L,E) + \dim\Hom_A(L,\tau U).
\]
}

\item Conclure.
\solution{Par notre hypoth\`ese, nous avons
\[
\lambda_U(L) = \lambda_U(M)
\]
pour tous les ind\'ecomposables $U$. Par (2) et (3), il s'ensuit que
\[
\mu_U(L) = \mu_U(M)
\]
pour tous les ind\'ecomposables $U$. Par la d\'efinition de
$\mu_U$, il s'ensuit que $L$ est isomorphe \`a $M$.
}

\end{list-of-exercises}


\noindent
{\bf III. Modules tubulaires simples sur $\widetilde{D}_4$}

\bigskip
\noindent
Soit $Q$ un carquois fini connexe sans cycles orient\'es. Pour tout
sommet $i$, notons $S_i$ le module simple associ\'ee \`a $i$,
$P_i$ l'ind\'ecomposable projectif et $I_i$ l'ind\'ecomposable
injectif. Pour un module $M$, notons $\ddim M \in \Z^{Q_0}$
son vecteur dimension. Soit $\langle, \rangle$ la forme d'Euler,
de fa\c{c}on qu'on a
\[
\langle \ddim L, \ddim M\rangle = \dim \Hom_{kQ}(L,M) - \dim \Ext^1_{kQ}(L,M).
\]
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que les $\ddim P_j$, $j\in Q_0$, forment une base de $\Z^{Q_0}$.
Indication~: on pourra consid\'erer les coordonn\'ees de ces vecteurs
dans une base bien choisie de $\Z^{Q_0}$.
\solution{Pour deux sommets $i$ et $j$ de $Q$, on d\'efinit
\[
i\leq j \quad \Leftrightarrow \quad\mbox{il existe un chemin de $i$ \`a $j$}.
\]
Comme $Q$ n'admet pas de cycle orient\'e, on obtient bien un ordre
partiel sur l'ensemble des sommets de $Q$. On le raffine en un ordre
total et on choisit la suite des vecteurs $e_i$, $i\in Q_0$, comme base.
Soit $A=(a_{ij})$ la matrice des coordonn\'ees des vecteurs $\ddim P_j$.
Alors $a_{ij}$ est le nombre de chemins de $j$ \`a $i$ dans $Q$. Donc $a_{ij}=0$
si $i<j$ et $a_{ii}=1$, par construction de l'ordre. Il s'ensuit que les
$\ddim P_j$ forment une base de $\Z^{Q_0}$.}
\item Montrer qu'il existe un automorphisme
\[
c: \Z^{Q_0} \to \Z^{Q_0}
\]
tel que $c(\ddim P_i) = - \ddim I_i$ pour tout sommet $i$ de $Q$.
On appelle $c$ la {\em transformation de Coxeter}.
\solution{Comme les $\ddim P_i$ forment une base de $\Z^{Q_0}$,
il existe une unique application $\Z$-lin\'eaire $c$ de $\Z^{Q_0}$
dans lui-m\^eme telle que $c(\ddim P_i)= - \ddim I_i$, $i\in Q_0$.
Dans la base de (1), les coordonn\'ees des vecteurs $\ddim I_j$ forment une matrice
triangulaire sup\'erieure dont les coefficients diagonaux valent tous $1$.
Donc les  $\ddim I_i$ forment \'egalement une base et $c$ est bien
un automorphisme.}
\item Montrer que si $P$ est projectif, on a $c(\ddim P)= -\ddim \nu(P)$,
o\`u $\nu$ est le foncteur de Nakayama.
\solution{Comme les deux c\^ot\'es de l'\'egalit\'e sont additifs
en $P$, il suffit de la montrer quand $P$ est un projectif
ind\'ecomposable. Or, pour $i\in Q_0$, nous avons
\[
\ddim \nu(P_i) = \ddim I_i = -c(\ddim P_i).
\]
}
\item Montrer que si $M$ est un ind\'ecomposable non projectif,
on a $c(\ddim M) = \ddim \tau(M)$. De m\^eme, si $M$ est un
ind\'ecomposable non injectif, alors on a
$c^{-1}(\ddim M) = \ddim \tau^{-1}(M)$.
\solution{Soit $M$ un ind\'ecomposable non projectif. Soit
\[
0 \to P_1 \to P_0 \to M \to 0
\]
une r\'esolution projective minimale de $M$ (comme $kQ$ est
de dimension finie et h\'er\'editaire, il existe bien une
telle r\'esolution). Le foncteur $\Hom_{kQ}(?,kQ)$ est
exact \`a gauche, donc le foncteur $\nu=D\Hom_{kQ}(?,kQ)$ est
exact \`a droite. Nous avons donc une suite exacte
\[
0 \to \tau(M) \to \nu(P_1) \to \nu(P_0) \to \nu M \to 0
\]
o\`u $\nu$ est le foncteur de Nakayama. Je dis que
$\nu M=0$. En effet, si $f: M \to kQ$ est un morphisme d'image
$I$, alors $I$ projectif (en tant que sous-module de $kQ$) et
donc un facteur direct de $M$. Or $M$ est ind\'ecomposable
non projectif et donc $I=0$. Ainsi, la suite
\[
0 \to \tau(M) \to \nu(P_1) \to \nu(P_0) \to 0
\]
est exacte et nous avons
\[
\ddim \tau(M) = \ddim \nu(P_1) - \ddim \nu(P_0)
= -c(\ddim P_1) + c(\ddim P_0) = c(\ddim M).
\]
Si $M$ est un ind\'ecomposable non injectif, on a une
r\'esolution injective minimale
\[
0 \to M \to I_0 \to I_1 \to 0
\]
et une suite exacte
\[
0 \to \nu^{-1} I_0 \to \nu^{-1} I_1 \to \tau^{-1} M \to 0
\]
ce qui donne la deuxi\`eme affirmation.
}
\item Montrer que pour $v,w\in \Z^{Q_0}$, on a
\[
\langle v,w \rangle = - \langle w, c(v)\rangle = \langle c(v), c(w)\rangle.
\]
\solution{Il suffit de montrer l'affirmation quand $v$ et $w$
parcourent des syst\`emes de g\'en\'erateurs de $\Z^{Q_0}$.
Or pour $i\in Q_0$ et $M\in kQ-\!\mod$, on a
\begin{eqnarray*}
\langle \ddim P_i, \ddim M \rangle
& = &  \dim \Hom_{kQ}(P_i, M) = \dim M(i) = \dim DM(i) = \dim \Hom_{kQ} (M, I_i) \\
& = & \langle \ddim M, \ddim I_i\rangle = \langle \ddim M, -c (\ddim P_i)\rangle.
\end{eqnarray*}
On obtient la deuxi\`eme \'egalit\'e en appliquant deux
fois la premi\`ere.
}

\item A partir de maintenant, supposons que
$Q$ est un carquois de Dynkin \'etendu. Notons $\delta$ sa plus petite
racine imaginaire. Pour $v,w\in\Z^{Q_0}$,
notons $(v,w)=\langle v,w \rangle + \langle w,v\rangle$
et $q(v)=\langle v,v \rangle$. Rappelons que $q$ est la forme de
Tits associ\'ee \`a $Q$ et $(,)$ sa forme bilin\'eaire associ\'ee.

\begin{sublist}

\item Montrer qu'un vecteur $v \in \Z^{Q_0}$ appartient au
radical de $q$ ssi $c(v)=v$.
\solution{Pour $w\in \Z^{Q_0}$, nous avons
\[
\langle w, v-c(v)\rangle = \langle w,v\rangle + \langle v,w \rangle = (v,w)
\]
ce qui montre que $v$ est $q$-orthogonal sur tous les vecteurs $w$
ssi $c(v)=v$.
}


\item Montrer qu'il existe un entier $h\geq 1$ et une forme
lin\'eaire $\phi: \Z^{Q_0} \to \Z$ tels que, pour tout vecteur
$v\in\Z^{Q_0}$, on ait
\[
c^h(v) = v + \phi(v) \delta
\]
(le plus petit entier $h$ avec cette propr\'et\'e s'appelle
le {\em nombre de Coxeter de $Q$}).
Indication~: On pourra montrer que $c$ induit un automorphisme de
$\Z^{Q_0}/\Z\delta$ qui permute les \'el\'ements d'une partie
finie g\'en\'eratrice.
\solution{D'apr\`es (5), l'automorphisme $c$ pr\'eserve la forme
d'Euler. Donc il pr\'eserve la forme de Tits et son radical,
qui est \'egal \`a $\Z\delta$. Ainsi, $c$ induit un automorphisme
$\ol{c}$ de $\Z^{Q_0}/\Z \delta$ et cet automorphisme pr\'eserve la forme
quadratique $\ol{q}$ induite par $q$ dans le quotient. Soit
$R$ l'ensemble des \'el\'ements $v$ du quotient tels que $\ol{q}(v)=1$.
Comme $\ol{q}$ est positive et non d\'eg\'en\'er\'ee, elle est
d\'efinie positive. Donc $R$ est fini. En outre, $R$ engendre
le quotient car $R$ contient les images des vecteurs de la
base canonique de $\Z^{Q_0}$. Clairement $R$ est stable par $\ol{c}$.
Il s'ensuit que l'ordre de $\ol{c}$ est born\'e par l'ordre
de la permutation qu'il induit dans $R$. Donc $\ol{c}$ est
d'ordre fini $h$. Alors $c^h - \mbox{Id}$ est un endomorphisme
de $\Z^{Q_0}$ dont l'image est contenue dans $\Z\delta$ ce qui
implique clairement l'affirmation.}


\item Rappelons qu'un ind\'ecomposable $V$ sur $kQ$ est postprojectif ssi
$\tau^n(V)$ est projectif pour un $n\geq 0$. Montrer que $V$ est postprojectif
si $\phi(\ddim V)<0$.
\solution{Par r\'ecurrence, il r\'esulte du point pr\'ec\'edent,
que nous avons $c^{hi}(\ddim V) = \ddim(V) + i \phi(\ddim V) \delta$
pour tout $i\geq 0$. Pour $i\gg 0$, ce vecteur a des composantes
n\'egatives. Il s'ensuit que pour un $n\geq 0$, le module
$\tau^n(V)$ est projectif, c'est-\`a-dire que $V$ est postprojectif.
}


\item R\'eciproquement, soit $V$ un ind\'ecomposable postprojectif.
Montrer que l'on a $\phi(\ddim V) <0$.
\solution{Rappelons que la composante postprojective de
$\Gamma_{kQ}$ est isomorphe \`a $\N(Q^{op})$  et qu'un
postprojectif est d\'etermin\'e par son vecteur dimension.
Donc les modules $\tau^{-n} V$, $n\geq 0$, sont
postprojectifs et leurs vecteurs dimension sont positifs et
deux \`a deux distincts. En particulier, pour $i\in \N$, les vecteurs
\[
\ddim \tau^{-ih} V = c^{-ih} \ddim V = \ddim V - i \phi(\ddim V) \delta
\]
sont positifs et deux \`a deux distincts. Comme $\delta$
est strictement positif, on doit avoir $\phi(\ddim V)<0$.
}

\item D\'eduire qu'un ind\'ecomposable $V$ est postprojectif
(resp. pr\'einjectif) ssi \linebreak
$\phi(\ddim V)<0$ (resp. $\phi(\ddim V)>0$).
\solution{L'affirmation r\'esulte des deux points pr\'ec\'edents
et du principe de dualit\'e.}
\end{sublist}

\item
On appelle {\em tubulaire} un module qui n'a aucun facteur
direct postprojectif et aucun facteur direct pr\'einjectif.
Rappelons que sur une alg\`ebre h\'er\'editaire de dimension
finie $A$, l'\'equivalence
$\tau : A-\ul{\mod} \to A-\ol{\mod}$ se rel\`eve en un
foncteur {\em exact \`a gauche} not\'e encore $\tau : A-\mod\to A-\mod$.

\begin{sublist}
\item Montrer que pour un module $U$, on a \'equivalence
entre
\begin{itemize}
\item[(i)] $U$ est tubulaire;
\item[(ii)] on a $\phi(\ddim U)=0$ et $\phi(\ddim V)\leq 0$ pour tout sous-module
$V$ de $U$;
\item[(iii)] on a $\phi(\ddim U)=0$ et $\phi(\ddim W)\geq 0$ pour
tout quotient $W$ de $U$.
\end{itemize}
\solution{Supposons que $U$ est tubulaire. Il suffit de montrer (ii)
pour les sous-modules ind\'ecomposables de $U$. Soit donc $V$
un sous-module ind\'ecomposable. Supposons que $\phi(\ddim V)>0$.
Comme $\tau$ est exact \`a gauche, $\tau^{ih} V$ est un sous-module
de $\tau^{ih} U$ pour tout $i\in \N$.
Donc $\ddim \tau^{ih} V \leq \ddim \tau^{ih} U$
pour tout $n$. Mais la suite des vecteurs dimension
\[
\ddim \tau^{ih} V = \ddim V + i\, \phi(\ddim V) \delta
\]
tend vers l'infini alors que la suite
\[
\ddim \tau^{ih} U = \ddim U
\]
est constante. L'implication de (ii) vers (i) r\'esulte
du point pr\'ec\'edent. L'\'equivalence
entre (i) et (iii) r\'esulte de celle entre (i) et (ii) et du
principe de dualit\'e.
}

\item Soit $f: V \to V'$ un morphisme entre modules tubulaires.
Montrer que le noyau, l'image et le conoyau de $f$ sont encore
tubulaires.
\solution{Soit $I$ l'image de $f$. Comme $I$ est un sous-module
de $V'$, on a $\phi(\ddim I)\leq 0$. Comme $I$ est un quotient
de $V$, on a $\phi(\ddim I)\geq 0$. Donc $\phi(\ddim I)=0$.
Par les suites exactes,
\[
0 \to \ker f \to V \to I \to 0 \quad\mbox{et}\quad
0 \to I \to V' \to \cok f \to 0 \ko
\]
il en r\'esulte que $\phi(\ddim \ker f)=0$ et $\phi(\ddim \cok f)=0$.
Tout sous-module de $I$ est un sous-module de $V'$, tout
quotient de $\cok f$ un quotient de $V'$ et tout sous-module
de $\ker f$ un sous-module de $V$. Il en r\'esulte que
$I$, $\ker f$ et $\cok f$ sont bien tubulaires.
}
\end{sublist}

\item On appelle {\em tubulaire simple} un module tubulaire
non nul qui n'admet pas de sous-module tubulaire autre que
$0$ et lui-m\^eme.
On se propose de classifier les modules tubulaires simples
pour le carquois $Q$ donn\'e par
\[
\xymatrix@R=0.1cm{
 & 1 \ar[ldd] \\
 & 2 \ar[ld] \\
0 & \\
 & 3 \ar[lu] \\
 & 4 \ar[luu]
}
\]
On note $Q'$ le sous-carquois plein de sommets $0, \ldots, 3$.
\begin{sublist}
\item Calculer les vecteurs dimension de
$\tau^i I_j$ pour $0\leq j\leq 4$ et $0\leq i\leq 2$.
\solution{Il s'agit de calculer une partie finale de la
composante pr\'einjective de $Q$. On obtient
\[
\xymatrix{
 & [22111] \ar[rd] & & [10111] \ar[rd] & & [01000] \\
 [53333] \ar[ru]\ar[r]\ar[rd]\ar[rdd] & [21211] \ar[r] & [32222] \ar[ru]\ar[r]\ar[rd]\ar[rdd] &
 [11011] \ar[r] & [11111] \ar[ru]\ar[r]\ar[rd]\ar[rdd] & [00100] \\
 & [21121] \ar[ru] & & [11101] \ar[ru] & & [00010] \\
 & [21112] \ar[ruu] & & [11110] \ar[ruu] & & [00001]
 }
 \]
 }


\item D\'eduire du calcul pr\'ec\'edent que l'on a
$c^2(v)=v+\phi(v) \delta$ o\`u $\phi(v)=-2 v_0 + v_1 + v_2 + v_3$.
\solution{Il suffit de v\'erifier la formule indiqu\'ee sur les
vecteurs dimension des ind\'ecomposables injectifs car ceux-ci forment
une base de $\Z^{Q_0}$. Il s'agit des vecteurs dimension
$[11111]$, $[01000]$, $[00100]$, $[00010]$ et $[00001]$ 
et nous avons $\delta=[21111]$. Le calcul
est imm\'ediat \`a partir du point pr\'ec\'edent.
}


\item Pour une partie $I$ de $\{1,\ldots, 4\}$ form\'ee de deux \'el\'ements,
soit $V=V(I)$ la repr\'esen\-tation de $Q$ donn\'ee par un espace
vectoriel $V_0$ de dimension $1$ et quatre sous-espaces $V_i$, $1\leq i\leq 4$, tels que
$V_i=V_0$ si $i\in I$ et $V_i=0$ sinon. Montrer que $V$ est tubulaire simple.
\solution{Supposons que $I=\{1,2\}$. Alors $\ddim V=[11100]$ et nous avons
bien $\phi(\ddim V)=0$. Les vecteurs dimension $v$ des sous-modules non nuls de
$V$ sont $[11000]$ et $[10100]$. Il v\'erifient $\phi(v)=-1$. Cela montre
que $V$ est tubulaire et n'admet aucun sous-module tubulaire non trivial.
Donc $V$ est tubulaire simple. De m\^eme pour les autres choix de $I$.}


\item Soit $V$ la repr\'esentation de $Q$ donn\'ee par un espace vectoriel
$V_0$ de dimension $2$ et quatre droites $V_1$, \ldots, $V_4$ distinctes
deux \`a deux dans $V_0$. Montrer que $V$ est tubulaire simple. Etablir
une bijection naturelle entre les classes d'isomorphisme de ces repr\'esentations
et les points de la droite projective sur $k$ priv\'ee
des trois points $0$, $1$, $\infty$.
On note $V(x)$ la repr\'esentation qui correspond \`a un point $x$.
\solution{Le vecteur dimension de $V$ est $[21111]$ et on a bien
$\phi(\ddim V)=0$. Soit $U\subset V$ une sous-representation non
triviale. Si $\dim U_0=2$ on doit avoir $\dim U_i=0$ pour un $1\leq i\leq 4$
et $\phi(\dim U)<0$. Si $\dim U_0=1$, alors $U_i=U_0$ pour un unique
$1\leq i\leq 4$ et on a $\phi(\dim U)=-1$. Cela montre que $V$ est
tubulaire et n'admet aucun sous-module tubulaire non trivial.
Clairement les classes d'isomorphisme de ces repr\'esentations
sont en bijection avec les orbites de $GL(V_0)$ dans son
action naturelle sur les quadruplets de droites distinctes
de $V_0$. On sait que le birapport
\[
(V_1, V_2, V_3, V_4) \mapsto b(V_1, V_2, V_3, V_4)
\]
\'etablit une bijection naturelle entre les orbites de tels quadruplets
et la droite projective $\boldmath{P}^1(k)$ priv\'ee de $0$, $1$ et $\infty$.
Concr\`etement, si on choisit une base $v_1, v_2$ de $V_0$ telle
que $v_1$ engendre $V_1$, $v_2$ engendre $V_2$ et $v_1+v_2$ engendre
$V_3$, alors $b(V_1, V_2, V_3, V_4)$ est le point $(x_1: x_2)$
d\'efini par le fait que $x_1 v_1 + x_2 v_2$ appartienne \`a $V_4$.}

\item Pour une repr\'esentation $U$ de $Q'$, notons $U^0$ son
{\em extension par $0$ \`a $Q$}, c'est-\`a-dire que $U^0_4=0$
et que la restriction de $U^0$ \`a $Q'$ est $U$. Calculer
(\`a l'aide de l'exercice~I), pour chaque repr\'esentation
ind\'ecomposable $U$ de $Q'$, les nombres $\phi(\ddim U^0)$ et $\dim U_0$.
Les indiquer aux sommets du carquois d'Auslander-Reiten de $Q'$.
\solution{On trouve
\[
\xymatrix{
        & {-1,1} \ar[rd] & & {0,1} \ar[rd] & & {1,0} \\
 {-2,1} \ar[ru]\ar[r]\ar[rd] &
 {-1,1} \ar[r] &
 {-1,2} \ar[ru]\ar[r]\ar[rd] &
 {0,1}  \ar[r] &
 {1,1}  \ar[ru]\ar[r]\ar[rd] &
 {1,0} \\
       & {-1,1} \ar[ru] & & {0,1} \ar[ru] & & {1,0}
}
\]
}

\item Montrer que toute repr\'e\-sentation tubulaire simple est isomorphe
\`a l'une des repr\'e\-sentations $V(x)$ ou $V(I)$ d\'ecrites ci-dessus.

\solution{Soit $S$ une repr\'esentation tubulaire
simple. Consid\'erons la restriction de $S$ \`a $Q'$. Cette
restriction se d\'ecompose en une somme de modules ind\'ecomposables
$V(i)$, $1\leq i\leq s$. Clairement, $V(i)^0$ est une
sous-repr\'esentation de $S$ pour tout $1\leq i\leq s$.  Il s'ensuit
que $\phi(\ddim V(i)^0)\leq 0$. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente,
aucun $V(i)$ n'est donc injectif. En outre, si $V(i)$ est le
translat\'e d'un injectif simple, alors $V(i)^0$ est tubulaire (de la
forme $V(I)$) et donc $S=V(i)^0$. On peut donc supposer que $\phi(\ddim
V(i)^0)<0$ pour tous $i$. Soit $W(i)$ une sous-repr\'esentation
maximale de $S$ telle que $W(i)\cap V(i)^0=0$ et $W(i)$ contient
$V(j)^0$ pour $j\neq i$.  Alors la restriction \`a $Q'$ du quotient
$\ol{V}(i)=S/W(i)$ est isomorphe \`a $V(i)$, on a
\[
\dim \ol{V}(i)_4 \leq \dim \ol{V}(i)_0 = \dim V(i)_0 \ko
\]
et
\[
0\leq \phi(\dim \ol{V}(i)) = \phi(\ddim V(i)^0) + \ddim \ol{V}(i)_4 \leq
\phi(\ddim V(i)^0) + \dim V(i)_0.
\]
Si $\phi(\ddim V(i)^0) + \dim V(i)_0=0$, alors $\ol{V}(i)$ est tubulaire
et $S=\ol{V}(i)$. Ce cas se pr\'esente si $V(i)$ est l'un des
trois projectifs non simples. On obtient alors les repr\'esentations
$S=V(I)$, o\`u $I$ est une partie \`a deux \'el\'ements de $\{1,2,3,4\}$
qui contient $4$. Il reste le cas o\`u tous les $V(i)$ v\'erifient
\[
\phi(\ddim V(i)^0)<0 \mbox{ et } 0 < \phi(\ddim V(i)^0) + \dim V(i)_0.
\]
D'apr\`es le point pr\'ec\'edent, cela n'est possible que si
tous les $V(i)$ sont isomorphes \`a l'ind\'ecomposable de
vecteur dimension $[2111]$. Comme $\phi(\ddim V)=0$,
on a $\dim S_4=s$. Si on choisit des bases adapt\'ees
\`a la d\'ecomposition de la restriction de $S$ \`a $Q'$,
la repr\'esentation $S$ est donc donn\'ee par quatre
matrices du format $2s\times s$ de la forme
\[
\left[ \begin{array}{c} I \\ 0 \end{array} \right] \ko
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ I \end{array} \right] \ko
\left[ \begin{array}{c} I \\ I \end{array} \right] \ko
\left[ \begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right]
\]
qui d\'ecrivent respectivement les inclusions de $S_1$,
$S_2$, $S_3$ et $S_4$ dans $S_0$. Nous pouvons consid\'erer
la donn\'ee du couple $(A,B)$ comme celle d'une repr\'esentation
de vecteur dimension $[s,s]$ du carquois de Kronecker.
Une d\'ecomposition de $(A,B)$ donnerait une d\'ecomposition
de $S$. Donc $(A,B)$ est ind\'ecomposable.
Toute sous-repr\'esentation de $(A,B)$ de vecteur
dimension $[s',s']$ nous donne un sous-module tubulaire
de $S$. Il s'ensuit que $(A,B)$ ne peut admettre de
telle sous-repr\'esentation. L'inspection de la liste
des repr\'esentations ind\'ecomposables du carquois
de Kronecker montre que l'on doit avoir a $s=1$.
Finalement, si on avait $S_4=S_1$
alors $S$ admettrait une sous-repr\'esentation tubulaire
de vecteur dimension $[21001]$ et serait \'egale
\`a cette sous-repr\'esentation. De m\^eme, $S_4$
doit \^etre distincte de $S_2$ et $S_3$. Finalement,
on trouve que $S$ est isomorphe \`a $V(x)$ pour un
point $x\neq 0,1,\infty$ de la droite projective.

}

\end{sublist}


\item Question facultative~: calculer les groupes d'extensions entre repr\'esentations
tubulaires simples.

\solution{On trouve
\[
\Ext^1_{kQ}(V(x), V(x))=k \mbox{ et } \Ext^1_{kQ}(V(I),V(J))=k
\]
pour tous $x$ et pour $I$ et $J$ des parties compl\'ementaires de $\{1,\ldots,4\}$.
Tous les autres groupes d'extensions s'annulent.
}

\bigskip
\noindent
{\bf Remarque :} La connaissance des repr\'esentations tubulaires simples et
de leurs groupes d'extensions permet de montrer qu'on a une \'equivalence
de cat\'egories
\[
k[x,x^{-1},(1-x)^{-1}]-\mod \times T_2 \times T_2 \times T_2 \to \ct
\]
o\`u $\ct$ est la sous-cat\'egorie des repr\'esentations tubulaires et
$T_2$ est la cat\'egorie des mailles d'un tube de circonf\'erence $2$.
Les modules $V(I)$ correspondent aux points de la bouche des tubes
de circonf\'erence $2$ et les modules $V(x)$ aux modules simples
sur $k[x,x^{-1},(1-x)^{-1}]$.


\end{list-of-exercises}



\end{document}
