Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 2004–05 UFR de Mathématiques Représentations de carquois DEA de Mathématiques 19/05/2005 B. Keller

Examen de mai 2005

Avertissement : L’utilisation de documents autres que les notes de cours est interdite. Dans tout l’énoncé, sauf mention expresse du contraire, k désigne un corps algébriquement clos et les modules considérés sont de dimension finie sur k.

I. Représentations de A⃗_{4}

Soit Q le carquois de graphe sous-jacent A_{4}

\xymatrix{1 \ar[r] & 2 & 3 \ar[l] \ar[r] & 4.}

1) Quelles sont (à isomorphisme près) les représentations projectives indécomposables et les représentations injectives indécomposables de Q ? Quelles sont les représentations simples ?

2) Soit V une représentation projective de Q dont le vecteur dimension est v = [4, 9, 2, 3]. Quelle peut être la décomposition de V en indécomposables ?

3) Déterminer les vecteurs dimension des représentations indécomposables de Q et son carquois d’Auslander-Reiten.

4) Rappeler la formule d’Auslander-Reiten. Montrer que Ext_{kQ}^{1}(V, W) s’annule si V et W sont des représentations indécomposables dont les vecteurs dimension sont parmi les suivants : [0001], [0111], [1111], [0011].

5) Soit v ∈ N^{4}. Rappeler pourquoi rep(Q, v) contient une unique GL(v)-orbite ouverte dense. On appelle générique la représentation qui correspond aux points de cette orbite.

6) Quelle est la décomposition^{1} en indécomposables de la représentation générique de vecteur dimension [1234] ?

II. Représentations sur les réels

Soit C la catégorie dont les objets sont les triplets (V_{1}, V_{2}, V_{f}), où V_{1} est un espace vectoriel réel de dimension finie, V_{2} un espace vectoriel complexe de dimension finie et

V_{f} : V_{1} → V_{2}|_{R}

une application R-linéaire de V_{1} dans l’espace vectoriel réel V_{2}|_{R} sous-jacent à V_{2}. Un morphisme V → V′ de C est donné par un couple (g_{1}, g_{2}) formé d’une application Rlinéaire g_{1} : V_{1} → V′_{1} et d’une application C-linéaire g_{2} : V_{2} → V′_{2} telles que V_{f′}g_{1} = g_{2}V_{f}.

1L’énoncé original, erroné, demandait la décomposition générique de [1232]. Cette dernière est donnée par la somme des indécommposables de vecteurs dimension [1111], [0110] et [0011].

1) Montrer que C est équivalente à la catégorie des représentations réelles de dimension finie de la R-algèbre associative

A = ( \begin{matrix}R & 0 \\ C & C \end{matrix} ) ,

i.e. la sous-algèbre réelle de M_{2}(C) formée des matrices

[ \begin{matrix}a & 0 \\ b & c \end{matrix} ] ,

telles que a ∈ R, b, c ∈ C. Déduire que C est additive et que tout objet de C est isomorphe à une somme finie d’objets indécomposables uniques à isomorphisme et permutation près.

2) Calculer les anneaux d’endomorphismes des objets suivants de C. Déduire qu’ils sont indécomposables. Lesquels parmi ces objets sont projectifs, resp. injectifs resp. simples ?

U = (R → 0) , V = (0 → C) , W = (R^{2} →^{1} C) , T = (R →^{incl} C).

3) Montrer que les objets de la question précédente forment un système de représentants des classes d’isomorphisme des indécomposables de C.

III. Relations de Serre dans les algèbres de Hall

1) Soit A un anneau. Un A-module fini est un A-module à gauche dont l’ensemble sousjacent est fini. Si X_{1}, …, X_{t} et Z sont des A-modules finis, on définit F_{X_{1},...,X_{t}}^{Z} comme le nombre de chaînes décroissantes

Z = Z_{0} ⊃ Z_{1} ⊃ Z_{2} ⊃ ⋯ ⊃ Z_{t−1} ⊃ Z_{t} = 0

de sous-modules de Z tels que Z_{i−1}/Z_{i} est isomorphe à X_{i}, pour 1 ≤ i ≤ t. On suppose que pour tous A-modules finis X_{1}, X_{2}, il n’existe qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de A-modules finis Z tels que F_{X_{1},X_{2}}^{Z} ≠ 0. Soit H(A) le groupe abélien libre engendré par des symboles u_{X} indexés par les classes d’isomorphisme X de Amodules finis. On définit une loi Z-bilinéaire sur H(A) par

u_{X}u_{Y} = ∑_{Z} F_{XY}^{Z} u_{Z}.

a) Montrer que la loi définie ci-dessus est associative. On appelle H(A) muni de cette loi l’algèbre de Hall associée à A.

b) Soient p un nombre premier, A = Z et M = Z/pZ. Montrer que dans H(A), on a

u_{M}u_{M} = (p + 1) u_{M⊕M} + u_{Z/p^{2}Z}.

c) Soient k un corps à q < ∞ éléments, Q le carquois 1 → 2 et u_{i} = u_{S_{i}}, i = 1, 2.

Montrer qu’on a

u_{1}u_{2}^{2} − (q + 1) u_{2}u_{1}u_{2} + q u_{2}^{2}u_{1} = 0

dans H(kQ). Indication : on pourra exprimer u_{1}u_{2}^{2}, … en termes de u_{S_{1}^{1}⊕S_{2}^{2}} et u_{I_{2}⊕S_{2}}, où I_{2} est l’injectif indécomposable de socle S_{2}.

2) Soient Q un carquois fini sans cycle orienté et k un corps à q < ∞ éléments. Pour tout entier positif n, on définit le nombre quantique [n] et le factoriel quantique [n]! par

[n] = 1 + q + ⋯ + q^{n−1} = \frac{q^{n} − 1}{q − 1} et [n]! = [1][2] ⋯ [n] .

Pour tous entiers positifs n, t, on définit le coefficient binomial quantique

[ \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ] = \frac{[n]!}{[t]! [n − t]!} .

Pour tout sommet i de Q, notons u_{i} = u_{S_{i}}. Soient i, j deux sommets de Q tels qu’il n’existe pas de flèche de i à j. Soient n′ le nombre de flèches de j à i et n = n′ + 1. On se propose de montrer^{2} que dans H(kQ), on a la relation de Serre

∑_{t=0}^{n}(−1)^{t} [ \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ] q^{\frac{t(t−1)}{2}} u_{i}^{t}u_{j}u_{i}^{n−t} = 0 .

a) Soient t ≤ d des entiers positifs et V un k-espace vectoriel de dimension d. Quel est le nombre de droites dans V ? Soit U ⊂ V un sous-espace de dimension d′. Quel est le nombre de droites dans V/U ? Montrer que le nombre de suites

0 ⊂ V_{1} ⊂ V_{2} ⊂ ⋯ ⊂ V_{t} ⊂ V

de sous-espaces vectoriels telles que dim V_{i} = i, 1 ≤ i ≤ t, est égal à

[d][d − 1] ⋯ [d − t + 1] = \frac{[d]!}{[d − t]!} .

Montrer que c’est également le nombre de suites de sous-espaces

V ⊃ V_{1} ⊃ V_{2} ⊃ ⋯ ⊃ V_{t}

tels que dim V_{i} = dim V − i, 1 ≤ i ≤ t.

b) Soit R le sous-carquois plein de Q dont les sommets sont i et j. Le carquois R comporte donc n − 1 flèches α_{1}, …, α_{n−1} de j à i et aucune autre flèche. Soit M une représentation de R telle que dim M_{i} = n et dim M_{j} = 1. Soit d la codimension de la somme des images des M_{α_{l}} dans M_{i}. Montrer que

dim Hom(M, S_{i}) = d.

Montrer que l’on a M = N ⊕ S_{i}^{d}, où N est une représentation indécomposable telle que dim N_{j} = 1. Calculer les espaces de morphismes

Hom(N, S_{i}) , Hom(S_{i}, N) , Hom(N, S_{j}) , Hom(S_{j}, N).

Déduire du résultat que le plus grand quotient semi-simple de N est S_{j} et que le radical de N est isomorphe à S_{i}^{n−d}.

c) Soit M une représentation de Q. Notons a_{t}(M) le coefficient de u_{M} dans u_{i}^{t}u_{j}u_{i}^{n−t}. Supposons que a_{t}(M) > 0. Montrer que M_{l} = 0 pour l ∉ {i, j} de façon qu’on peut considérer M comme une représentation de R. Montrer que dim M_{i} = 1 et dim M_{j} = n. Montrer que dans les notations de la question précédente, on a d ≥ 1 et t ≤ d. d) Sous les mêmes hypothèses sur M, soit

2suivant C. M. Ringel, Inv. Math. 101 (1990), 583-592

M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ ⋯ ⊃ M_{t} ⊃ M_{t+1} ⊃ ⋯ ⊃ M_{n} ⊃ M_{n+1} = 0

une chaîne décroissante de sous-représentations telle que les sous-quotients M_{s−1}/M_{s} sont simples pour 1 ≤ s ≤ n + 1. Montrer qu’on a M_{s−1}/M_{s} →^{∼} S_{i} pour s ≠ t + 1 et M_{t}/M_{t+1} →^{∼} S_{j} ssi M_{t} contient N et que M_{t+1} est contenu dans (radN) ⊕ S_{i}^{d}.

e) Sous les mêmes hypothèses sur M, montrer qu’on a

a_{t}(M) = \frac{[d]! [n − t]!}{[d − t]!} .

f) Montrer que

[ \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ] a_{t}(M) = [n]! [ \begin{matrix}d \\ t \end{matrix} ]

g) Montrer que dans Z[X], on a

∑_{t=0}^{d} [ \begin{matrix}d \\ t \end{matrix} ] q^{\frac{t(t−1)}{2}} X^{t} = ∏_{i=0}^{d−1}(1 + q^{i}X).

Déduire que pour d ≥ 1, on a

∑_{t=0}^{d}(−1)^{t} [ \begin{matrix}d \\ t \end{matrix} ] q^{\frac{t(t−1)}{2}} = 0.

h) Montrer que

∑_{t=0}^{d}(−1)^{t} [ \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ] q^{\frac{t(t−1)}{2}} a_{t}(M) = 0

et conclure.