\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[all]{xy}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\parindent}{1cm}


\newcommand{\ie}{{\em i.e.}\ }

%\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em R\'eponse --- #1}}
%\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de mai 2005}

\newcommand{\solution}[1]{}
\newcommand{\titre}{Examen de mai 2005}
%\newcommand{\`}[1]{\`{#1}}

%subsublist
\newcounter{subpoint}
\newenvironment{subsublist}{
\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.5em}}
}{\end{list}}

%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}



%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newcounter{rayon}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.5em}}
}{\end{list}}

\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}

\newcommand{\bin}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]}


\newcommand{\rad}{\mbox{rad}}
\newcommand{\plus}{\oplus}
\newcommand{\ten}{\otimes}
\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}
\newcommand{\Fun}{\mbox{\rm Fun}}
\newcommand{\mod}{\mbox{\rm mod}}
\newcommand{\End}{\mbox{\rm End}}
\newcommand{\Hom}{\mbox{\rm Hom}}
\renewcommand{\ker}{\mbox{\rm ker}}
\newcommand{\cok}{\mbox{\rm cok}}
\newcommand{\Ext}{\mbox{\rm Ext}}
\newcommand{\rep}{\mbox{\rm rep}}
\newcommand{\ind}{\mbox{\rm ind}}
\newcommand{\sind}{\mbox{\rm\scriptsize ind}}
\newcommand{\ddim}{\underline{\dim}\,}

\newcommand{\ad}{\mbox{\rm ad}}
\newcommand{\Ad}{\mbox{\rm Ad}}
\newcommand{\tr}{\mbox{\rm tr}}

% abbreviations
% Black Board Bold Face
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}


%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}


%Overline, Underline, transposed conjugate
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}
\newcommand{\tc}{^*}


\newcommand{\tg}{\mbox{{\rm tg}}}
\newcommand{\arctg}{\mbox{{\rm arctg}}}


\newcommand{\id}{\mbox{{\bf 1}}}
\newcommand{\sid}{\mbox{{\bf \scriptsize 1}}}
\newcommand{\Lie}{\mbox{{\rm Lie}}}


%Calligraphic letters
\newcommand{\ca}{{\cal A}}
\newcommand{\cb}{{\cal B}}
\newcommand{\cc}{{\cal C}}
\newcommand{\cd}{{\cal D}}
\newcommand{\ce}{{\cal E}}
\newcommand{\cf}{{\cal F}}
\newcommand{\cg}{{\cal G}}
\newcommand{\ch}{{\cal H}}
\newcommand{\ci}{{\cal I}}
\newcommand{\ck}{{\cal K}}
\newcommand{\cl}{{\cal L}}
\newcommand{\cm}{{\cal M}}
\newcommand{\cn}{{\cal N}}
\newcommand{\cp}{{\cal P}}
\newcommand{\cq}{{\cal Q}}
\newcommand{\cR}{{\cal R}}
\newcommand{\cs}{{\cal S}}
\newcommand{\ct}{{\cal T}}
\newcommand{\cu}{{\cal U}}
\newcommand{\cv}{{\cal V}}
\newcommand{\cw}{{\cal W}}
\newcommand{\cx}{{\cal X}}


%Greek letters
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


%Gothic letters
\newcommand{\goth}[1]{{\EuFrak{#1}}}
\newcommand{\gl}{\goth{g}\goth{l}}
\renewcommand{\sl}{\goth{s}\goth{l}}
\newcommand{\goa}{\goth{a}}
\newcommand{\gob}{\goth{b}}
\newcommand{\gog}{\goth{g}}
\newcommand{\goh}{\goth{h}}
\newcommand{\gol}{\goth{l}}
\newcommand{\gon}{\goth{n}}
\newcommand{\gop}{\goth{p}}
\newcommand{\gos}{\goth{s}}
\newcommand{\gou}{\goth{u}}
\newcommand{\goz}{\goth{z}}

%Arrows
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow}}
\newcommand{\iso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\leftarrow}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\leftarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2004--05\\
UFR de Math\'ematiques \hfill  Repr\'esentations de carquois\\
DEA de Math\'ematiques \hfill  19/05/2005\\
B. Keller \hfill \mbox{}}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titre}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } L'utilisation de documents autres que
les notes de cours est interdite. Dans tout l'\'enonc\'e, sauf
mention expresse du contraire, $k$
d\'esigne un corps alg\'ebriquement clos et les modules consid\'er\'es
sont de dimension finie sur $k$.  }

\bigskip
\noindent
{\bf I. Repr\'esentations de $\vec{A}_4$}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ le carquois de graphe sous-jacent $A_4$
\[
\xymatrix{1 \ar[r] & 2  & 3 \ar[l] \ar[r] & 4.}
\]

\bigskip
\noindent

\begin{list-of-exercises}
\item Quelles sont (\`a isomorphisme pr\`es) les
repr\'esentations projectives ind\'ecomposables et les
repr\'esentations injectives ind\'ecomposables de $Q$~?
Quelles sont les repr\'esentations simples ?

\solution{Le carquois $Q$ n'a pas de cycles orient\'es.
Donc l'id\'eal $0$ de $kQ$ est admissible et l'on sait
que les $kQ$-modules ind\'ecomposables projectifs sont les
$(kQ)e_i$, $i\in Q_0$, les ind\'ecomposables
injectifs les $\Hom_k(e_i(kQ), k)$ et les simples
les $S_i$ tels que $S_i(j)=k$ pour $i=j$ et $S_i(j)=0$
sinon. Ainsi, les repr\'esentations projectives ind\'ecomposables
sont (\`a isomorphisme pr\`es) les repr\'esentations $P_1, \ldots, P_4$
donn\'ees par
\begin{eqnarray*}
\xymatrix{ k \ar[r]^{1} & k & 0 \ar[l] \ar[r] & 0}
& \quad &
\xymatrix{ 0 \ar[r] & k & 0 \ar[l] \ar[r] & 0}
\\
\xymatrix{ 0 \ar[r] & k & k \ar[l]_{1} \ar[r]^{1} & k}
& \quad &
\xymatrix{ 0 \ar[r] & 0 & 0 \ar[l] \ar[r] & k.}
\end{eqnarray*}
Les repr\'esentations injectives ind\'ecomposables sont
(\`a isomorphisme pr\`es) les repr\'esen\-tations $I_0, \ldots, I_3$
donn\'ees par
\begin{eqnarray*}
\xymatrix{k \ar[r] & 0 & 0 \ar[l] \ar[r] & 0}
& \quad &
\xymatrix{k \ar[r] & k & k \ar[l] \ar[r] & 0} \\
\xymatrix{0 \ar[r] & 0 & k \ar[l] \ar[r] & 0}
& \quad &
\xymatrix{0 \ar[r] & 0 & k \ar[l] \ar[r] & k.}
\end{eqnarray*}
Les repr\'esentations simples sont (\`a isomorphisme pr\`es)
les repr\'esentations $S_1=I_1$, $S_2=P_2$, $S_3=I_3$ et $S_4=P_4$.
}

\item Soit $V$ une repr\'esentation {\em projective} de $Q$ dont
le vecteur dimension est $v=[4,9,2,3]$. Quelle peut \^etre la
d\'ecomposition de $V$ en ind\'ecomposables ?
\solution{On sait que toute repr\'esentation projective est somme
directe de copies des $P_i$, $1 \leq i \leq 4$. On a donc
\[
V \iso P_1^{n_1}\oplus P_2^{n_2} \oplus P_3^{n_3} \oplus P_4^{n_4}
\]
pour certains entiers positifs $n_i$. Il s'ensuit que
\[
v = \sum_{i=1}^4 n_i p_i \ko
\]
o\`u l'on note $p_i$ le vecteur dimension de $P_i$. Or les $p_i$,
$1\leq i\leq 4$, forment une base de $\Z^4$ (on le v\'erifie
directement ou l'on le d\'eduit du fait que $Q$ n'a pas de cycles
orient\'es). Donc les $n_i$ sont uniques et on calcule ais\'ement que
\[
(n_1, n_2, n_3, n_4) = (4,3,2,1).
\]
}
\item D\'eterminer les vecteurs dimension des repr\'esentations
ind\'ecomposables de $Q$ et son carquois d'Auslander-Reiten.
\solution{Comme $Q$ est un carquois de Dynkin, on sait
que le carquois d'Auslander-Reiten $\Gamma_{kQ}$ est un
sous-carquois plein stable par pr\'ed\'ecesseurs de $\N(Q^{op})$
et que $Q^{op}\subset \N(Q^{op})$ s'identifie au sous-carquois
form\'e des repr\'esentants des ind\'ecomposables projectifs.
On conna\^{\i}t les vecteurs dimension des ind\'ecomposables
projectifs et on obtient les autres par `tricot' jusqu'\`a
ce qu'on arrive aux injectifs. On trouve le carquois
suivant, dont la translation est donn\'ee, pour les sommets
non projectifs, par le d\'ecalage
d'un cran vers la gauche.
\[
\xymatrix{ & [1100] \ar[rd] & & [0011] \ar[rd] & \\
[0100] \ar[ru] \ar[rd] & & [1111] \ar[ru] \ar[rd] & & [0010] \\
 & [0111] \ar[ru] \ar[rd] & & [1110] \ar[ru] \ar[rd] & \\
[0001] \ar[ru] & & [0110] \ar[ru] & & [1000]
}
\]
}

\item
Rappeler la formule d'Auslander-Reiten.
Montrer que $\Ext^1_{kQ}(V,W)$ s'annule si $V$ et $W$ sont
des repr\'esentations ind\'ecomposables dont les vecteurs
dimension sont parmi les suivants~: $[0001]$, $[0111]$, $[1111]$,
$[0011]$.
\solution{La formule d'Auslander-Reiten exprime les espaces
d'extensions en termes de duaux de quotients des espaces de
morphismes~:
\[
D\underline{\Hom}_{kQ}(\tau^{-1}(W),V)=
\Ext^1_{kQ}(V,W) = D\overline{\Hom}_{kQ}(W,\tau(V))
\]
o\`u $D$ d\'esigne le dual sur $k$, $\tau$ la translation
d'Auslander-Reiten, $\ul{\Hom}$ le quotient de $\Hom$ par
l'espace des morphismes qui se factorisent par un projectif
et $\overline{\Hom}$ le quotient de $\Hom$ par l'espace
des morphismes qui se factorisent par un injectif.
Pour montrer l'annulation des $\Ext^1$, il suffit donc
de montrer que $\Hom_{kQ}(W,\tau(V))$ s'annule pour
les ind\'ecomposables en question. Comme $Q$ est un
carquois de Dynkin, $\Gamma_{kQ}$ est standard et les
morphismes entre ind\'ecomposables peuvent se calculer
dans la cat\'egorie des mailles de $\Gamma_{kQ}$.
Comme il n'existe pas de chemin d'un ind\'ecomposable $W$ vers un
ind\'ecomposable $\tau(V)$, les espaces d'extension
s'annulent.
}

\item Soit $v\in \N^4$. Rappeler pourquoi $\rep(Q,v)$ contient une
unique $GL(v)$-orbite ouverte dense. On appelle {\em g\'en\'erique} la
repr\'esentation qui correspond aux points de cette orbite.
\solution{En tant que vari\'et\'e, $\rep(Q,v)$ est isomorphe
\`a un espace affine. En particulier, $\rep(Q,v)$ est
irr\'eductible. Comme $Q$ est de Dynkin, $Q$ n'admet qu'un nombre
fini de classes d'isomorphismes d'ind\'ecomposables, et donc pour
chaque vecteur dimension donn\'e, il n'existe qu'un nombre fini de
classes d'isomorphisme de repr\'esentations (\'eventuellement
d\'ecomposables). Donc le nombre de $GL(v)$-orbites dans
$\rep(Q,v)$ est fini. Or $rep(Q,v)$ est la r\'eunion des
adh\'erences de ces orbites. Comme $\rep(Q,v)$ est irr\'eductible,
l'une des adh\'erences est \'egale \`a $\rep(Q,v)$, c'est-\`a-dire
que l'une des orbites est dense. Comme toute orbite est localement
ferm\'ee, cette orbite dense est aussi ouverte. Comme $\rep(Q,v)$
est irr\'eductible, deux orbites ouvertes denses (donc non vides)
se rencontrent toujours, donc co\"{\i}ncident.}


\item Quelle est la d\'ecomposition\footnote{L'\'enonc\'e
original, erron\'e,  demandait la d\'ecomposition g\'en\'erique de $[1232]$.
Cette derni\`ere est donn\'ee par la somme des ind\'ecommposables de vecteurs dimension
$[1111]$, $[0110]$ et $[0011]$.} en ind\'ecomposables de la
repr\'esentation g\'en\'erique de vecteur dimension $[1234]$ ?

\solution{On sait que la codimension de l'orbite d'un
module $M$ est \'egale \`a la dimension de $\Ext^1_{kQ}(M,M)$.
Si $M$ est somme de copies d'ind\'ecomposables de la question
pr\'ec\'edente, alors cette codimension s'annule (par
l'additivit\'e de $\Ext^1$). Il s'ensuit que la somme $M$ des quatre
ind\'ecomposables de vecteurs dimensions $[0001]$, $[0111]$,
$[1111]$ et $[0011]$ est g\'en\'erique. En outre, elle a le
vecteur dimension $[1234]$. Donc c'est la repr\'esentation
recherch\'ee.}


\end{list-of-exercises}

\bigskip
\noindent
{\bf II. Repr\'esentations sur les r\'eels}
\bigskip

\noindent
Soit $\cc$ la cat\'egorie dont les objets sont les triplets
$(V_1, V_2, V_f)$, o\`u $V_1$ est un espace vectoriel r\'eel de
dimension finie, $V_2$ un espace vectoriel complexe de dimension
finie et
\[
V_f: V_1 \to V_2|_\R
\]
une application $\R$-lin\'eaire de $V_1$ dans l'espace vectoriel
r\'eel $V_2|_\R$ sous-jacent \`a $V_2$. Un morphisme $V \to V'$ de
$\cc$ est donn\'e par un couple $(g_1, g_2)$ form\'e d'une
application $\R$-lin\'eaire $g_1 : V_1 \to V_1'$ et d'une
application $\C$-lin\'eaire $g_2 : V_2 \to V_2'$ telles que
$V_{f'} g_1 = g_2 V_f$.
\begin{list-of-exercises}
\item Montrer que $\cc$ est \'equivalente \`a la cat\'egorie
des repr\'esentations r\'eelles de dimension finie de la
$\R$-alg\`ebre associative
\[
A=\left( \begin{array}{cc} \R & 0 \\ \C & \C \end{array} \right) \ko
\]
\ie la sous-alg\`ebre r\'eelle de $M_2(\C)$ form\'ee des matrices
\[
\left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & c \end{array} \right] \ko
\]
telles que $a\in\R$, $b,c\in\C$. D\'eduire que $\cc$ est additive
et que tout objet de $\cc$ est isomorphe \`a une somme finie d'objets
ind\'ecomposables uniques \`a isomorphisme et permutation pr\`es.
\solution{Notons $A-\mod$ la cat\'egorie des $A$-modules \`a
gauche. Pour une repr\'esentation $V$, on d\'efinit $FV$ comme
le module d'espace sous-jacent $V_1\oplus V_2$ et muni de l'action
\[
\left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & c \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{c} a v_1 \\ b V_f(v_1) + c v_2 \end{array}
\right].
\]
On v\'erifie que $FV$ est un module bien d\'efini et que $F$ est
un foncteur. Pour un $A$-module $M$, on d\'efinit une
repr\'esentation $GM$ par $(GM)_1 = e_{11} M$, $(GM)_2=e_{22} M$
et $(GM)_f$ comme l'application donn\'ee par la multiplication
par $e_{21}$. On v\'erifie que $G$ est un foncteur et que
$F$ et $G$ sont quasi-inverses l'un de l'autre. On sait que
dans la cat\'egorie des modules de dimension finie sur une alg\`ebre
de dimension finie sur un corps, tout objet est somme finie d'ind\'ecomposables
uniques \`a isomorphisme et \`a permutation pr\`es. Clairement,
cette propri\'et\'e est pr\'eserv\'ee par les \'equivalences
de cat\'egories.}

\item Calculer les anneaux d'endomorphismes des objets suivants
de $\cc$. D\'eduire qu'ils sont ind\'ecomposables. Lesquels
parmi ces objets sont projectifs, resp. injectifs resp. simples~?
\[
U=(\R \to 0) \ko \quad V=(0 \to \C) \ko \quad W=(\R^2 \arr{\sid} \C) \ko \quad
T=(\R \arr{incl} \C).
\]
\solution{Un calcul simple montre que les anneaux d'endomorphismes
de $U$ et $T$ sont isomorphes \`a $\R$ et ceux de $V$ et $W$
isomorphes \`a $\C$. Si $X$ est une repr\'esentation quelconque,
on a
\begin{eqnarray*}
\Hom(X,U) = \Hom_\R(X_1, \R)\ko \Hom(V,X) = \Hom_\C(\C, X_2)  \ko & &
\\
\Hom(X,W) = \Hom_\C(X_2, \C) \ko \Hom(T,X) = \Hom_\R(\R, X_1). & &
\end{eqnarray*}
Il s'ensuit que $U$ et $W$ sont injectifs et $V$ et $T$
projectifs. On a des suites exactes naturelles
\[
0 \to V \to T\oplus T \to W \to 0 \mbox{ et }
0 \to T \to W  \to U \to 0
\]
qui ne sont pas scindables car $\Hom(T,V)=0$ et $\Hom(U,W)=0$.
Il s'ensuit que $W$ et $U$ ne sont pas projectifs et $V$ et $T$ ne
sont pas injectifs. Les objets $U$ et $V$ sont
simples tandis que $W$ et $T$ admettent $V$ comme
sous-repr\'esentation non triviale.
}


\item Montrer que les objets de la question pr\'ec\'edente
forment un syst\`eme de repr\'esentants des classes d'isomorphisme
des ind\'ecomposables de $\cc$.
\solution{Par la question 1), il suffit de montrer que
tout objet $X$ de $\cc$ est somme directe des repr\'esentations de
la question pr\'ec\'edente. Soit $X_1 = \ker(X_f) \oplus Y_1$ une
d\'ecomposition de $X_1$. Alors $X$ est somme directe de
$(\ker(X_f) \to 0)$ et $Y_1 \to X_2$. Clairement $(\ker(X_f)\to 0)$ est
somme directe de copies de $U$. Donc on peut supposer que
$X_f$ est injectif. Soit $X'_1\subset X_1$ l'image r\'eciproque
de $X_f(X_1) \cap i X_f(X_1)$. Alors $X'_1 \to X_f(X'_1)$ est
une sous-repr\'esentation isomorphe \`a une somme de copies de $W$.
Comme $W$ est injectif, cette sous-repr\'esentation est un facteur
direct et on peut supposer que $X_f(X_1) \cap i X_f(X_1)=0$.
Alors $(X_1 \to X_f(X_1) \oplus i X_f (X_1))$ est
un facteur direct de $X$ isomorphe \`a une somme de copies de $T$
et $X$ est isomorphe \`a la somme de ce facteur et d'une somme de
copies de $V$.}


\end{list-of-exercises}



\bigskip
\noindent
{\bf III. Relations de Serre dans les alg\`ebres de Hall}
\bigskip
\noindent
\begin{list-of-exercises}
\item
Soit $A$ un anneau. Un {\em $A$-module fini} est un $A$-module
\`a gauche dont l'ensemble sous-jacent est fini. Si $X_1, \ldots, X_t$
et $Z$ sont des $A$-modules finis, on d\'efinit $F^Z_{X_1, \ldots, X_t}$
comme le nombre de cha\^{\i}nes d\'ecroissantes
\[
Z=Z_0 \supset Z_1\supset Z_2 \supset \cdots \supset Z_{t-1}
\supset Z_t =0
\]
de sous-modules de $Z$ tels que $Z_{i-1}/Z_i$ est isomorphe
\`a $X_i$, pour $1\leq i\leq t$. On suppose que pour tous $A$-modules
finis $X_1, X_2$, il n'existe qu'un nombre fini de classes
d'isomorphisme de $A$-modules finis $Z$ tels que $F_{X_1, X_2}^Z\neq 0$.
Soit $\ch(A)$ le groupe ab\'elien libre
engendr\'e par des symboles $u_X$ index\'es par les classes
d'isomorphisme $X$ de $A$-modules finis. On d\'efinit
une loi $\Z$-bilin\'eaire sur $\ch(A)$ par
\[
u_X  u_Y = \sum_Z F^Z_{XY} u_Z.
\]
\begin{sublist}
\item Montrer que la loi d\'efinie ci-dessus
est associative. On appelle $\ch(A)$
muni de cette loi {\em l'alg\`ebre de Hall} associ\'ee \`a $A$.
\solution{Si $X_1, \ldots, X_t$
et $Z$ sont des $A$-modules finis, notons $\Phi^Z_{X_1, \ldots, X_t}$
l'ensemble des cha\^{\i}nes d\'ecroissantes
\[
Z=Z_0 \supset Z_1\supset Z_2 \supset \cdots \supset Z_{t-1}
\supset Z_t =0
\]
de sous-modules de $Z$ tels que $Z_{i-1}/Z_i$ est isomorphe
\`a $X_i$, pour $1\leq i\leq t$. Fixons un syst\`eme de repr\'esentants
$\cv$ des classes d'isomorphismes de $A$-modules fini, et pour chaque
$A$-module fini $S$, fixons un isomorphisme $\phi_S : S \to T$
avec le repr\'esentant de
sa classe. Soit $W$ un $A$-module fini. Nous obtenons une bijection
\[
\Phi^W_{X,Y,Z} \iso \coprod_{V\in\cv} \Phi^W_{X,V} \times \Phi^V_{Y,Z}
\]
en envoyant une cha\^{\i}ne $(W_i)$ sur le couple form\'e de
$W_0 \supset W_1 \supset 0$ et de
$V=V_0 \supset \phi_{W_1}(W_2) \supset \phi_{W_1}(W_3) \supset 0$
o\`u $V$ est le repr\'esentant de la classe d'isomorphisme de
$W_1$. Cette bijection montre que nous avons
\[
F^W_{X,Y,Z} = \sum_{V} F^W_{X,V} F^V_{Y,Z} .
\]
De m\^eme, on montre que
\[
F^W_{X,Y,Z} = \sum_{U} F^U_{X,Y} F^W_{U,Z}.
\]
Il s'ensuit que l'on a
\[
(u_X u_Y) u_Z = (\sum_U F^U_{X,Y}) u_Z =
\sum_W (\sum_U F^U_{X,Y} F^W_{U,Z}) u_W
= \sum_W F^W_{X,Y,Z} u_W = u_X (u_Y u_Z).
\]
}


\item Soient $p$ un nombre premier, $A=\Z$ et $M=\Z/p\Z$.
Montrer que dans $\ch(A)$, on a
\[
u_M  u_M = (p+1) \, u_{M\oplus M} + u_{\Z/p^2 \Z}.
\]
\solution{Si $F^L_{M,M}$ est non nul, alors $L$ est
extension de $\Z/p\Z$ par lui-m\^eme. Donc $L$ est ou bien
isomorphe \`a $\Z/p^2\Z$ ou bien isomorphe \`a $\Z/p\Z\oplus \Z/p\Z$.
Le module $\Z/p\Z$ admet une unique cha\^{\i}ne aux
sous-quotients $M,M$, car il admet un unique sous-module
isomorphe \`a $\Z/p\Z$. Donc $F^{\Z/p^2\Z}_{M,M}=1$. Le
module $Z=\Z/p\Z\oplus \Z/p\Z$ admet $p+1$ sous-modules
isomorphes \`a $\Z/p\Z$ : c'est un espace vectoriel sur
$\Z/p\Z$ qui contient $p-1$ vecteurs non nuls et chaque
droite contient $p^2-1$ vecteurs non nuls. Nous avons donc
$F^M_{M,M}=p+1$.}


\item Soient $k$ un corps \`a $q<\infty$ \'el\'ements,
$Q$ le carquois $1 \to 2$ et $u_i=u_{S_i}$, $i=1,2$.
Montrer qu'on a
\[
u_1 u_2^2  -(q+1)\, u_2 u_1  u_2 + q \,u_2 ^2 u_1 = 0
\]
dans $\ch(kQ)$. Indication~: on pourra  exprimer
$u_1 u_2^2$, \ldots\ en termes de  $u_{S_1^1\oplus S_2^2}$
et $u_{I_2\oplus S_2}$, o\`u $I_2$ est l'injectif ind\'ecomposable
de socle $S_2$.
\solution{Tout module $M$ admettant une filtration dont
les sous-quotients sont $S_1$, $S_2$, $S_2$ (dans un ordre
quelconque) a pour vecteur dimension $[1,2]$. Les vecteurs dimension des
ind\'ecomposables sont $[1,0]$, $[1,1]$ et $[0,1]$. Donc on
a ou bien $M\iso S_1 \oplus I_2$ ou bien $M\iso S_1 \oplus S_2^2$.
Dans les deux cas, nous avons $F^M_{S_1, S_2, S_2} = q+1$ car
le choix d'une filtration de $M$ \`a sous-quotients $S_1, S_2, S_2$
revient au choix d'une droite dans $S_2^2=k^2$. Donc
\[
u_1 u_2^2 = (q+1) (u_{S_1\oplus S_2^2} + u_{I_2 \oplus S_2}).
\]
Calculons $F^M_{S_2, S_1, S_2}$~: si $M=S_1\oplus S_2^2$, il existe
$q+1$ cha\^{\i}nes, car elles sont en bijection avec les
droites dans $S_2^2$; si $M=I_2\oplus S_2$, alors le cran
$M_1$ d'une cha\^{\i}ne contient un g\'en\'erateur de $I_2$
et est donc \'egal \`a $I_2$. Il s'ensuit que $M_2$ est \'egal
au socle de $I_2$. Donc il existe une unique filtration admissible
et $F^M_{S_2,S_1,S_2}=1$. Donc
\[
u_2 u_1 u_2 = (q+1) u_{S_1\oplus S_2^2} + u_{I_2 \oplus S_2}.
\]
Calculons $F^M_{S_2,S_2, S_1}$~: si $M=S_1\oplus S_2^2$, nous
trouvons \`a nouveau $q+1$ filtrations admissibles, en bijection
avec les droites dans $S_2^2$; si $M=I_2\oplus S_2$, alors
$M$ n'admet aucun sous-module simple isomorphe \`a $S_1$ et
donc il n'existe aucune filtration admissible. Donc
\[
u_2^2 u_1 = (q+1) u_2^2 u_1.
\]
Par combinaison lin\'eaire des trois \'equations on obtient bien
\[
u_1 u_2^2  -(q+1)\, u_2 u_1  u_2 + q \,u_2 ^2 u_1 = 0.
\]
}

\end{sublist}

\item Soient $Q$ un carquois fini sans cycle orient\'e et
$k$ un corps \`a $q<\infty$ \'el\'ements. Pour tout entier positif
$n$, on d\'efinit le nombre quantique $[n]$ et le factoriel
quantique $[n]!$ par
\[
[n] = 1 + q + \cdots + q^{n-1} = \frac{q^n-1}{q-1}
\quad\mbox{ et }\quad
[n]! = [1][2] \cdots [n] \, .
\]
Pour tous entiers positifs $n,t$, on d\'efinit le coefficient
binomial quantique
\[
\bin{n}{t} = \frac{[n]!}{[t]! \,[n-t]!}\,.
\]
Pour tout sommet $i$ de $Q$, notons $u_i=u_{S_i}$.
Soient $i,j$ deux sommets de $Q$ tels qu'il n'existe
pas de fl\`eche de $i$ \`a $j$. Soient $n'$ le nombre de fl\`eches
de $j$ \`a $i$ et $n=n'+1$. On se propose de
montrer\footnote{suivant C.~M.~Ringel, Inv.~Math. 101 (1990), 583-592}
que dans $\ch(kQ)$, on a la {\em relation de Serre}
\[
\sum_{t=0}^n (-1)^t
\bin{n}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}}  u_i^t u_j u_i^{n-t} =0 \,.
\]
\begin{sublist}
\item Soient $t\leq d$ des entiers positifs et $V$ un $k$-espace
vectoriel de dimension $d$. Quel est le nombre de droites dans $V$ ?
Soit $U\subset V$ un sous-espace de dimension $d'$. Quel est le
nombre de droites dans $V/U$ ? Montrer que le nombre de suites
\[
0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_t \subset V
\]
de sous-espaces vectoriels telles que $\dim V_i=i$, $1\leq i\leq t$,
est \'egal \`a
\[
[d][d-1] \cdots [d-t+1] = \frac{[d]!}{[d-t]!}\,.
\]
Montrer que c'est \'egalement le nombre de suites de sous-espaces
\[
V\supset V_1 \supset V_2 \supset \cdots \supset V_t
\]
tels que $\dim V_i = \dim V -i$, $1\leq i\leq t$.
\solution{Chaque droite de $V$ contient $q-1$ vecteurs non nuls
et le nombre total de vecteurs non nuls dans $V$ est $q^d-1$. Le
nombre de droites est donc
\[
\frac{q^d-1}{q-1} = [d].
\]
Comme $V/U$ est de dimension $d-d'$, le nombre de droites
dans $V/U$ est $[d-d']$. Pour obtenir une suite comme dans
l'\'enonc\'e, on choisit successivement une droite $V_1$ dans $V$,
puis une droite $V_2/V_1$ dans $V/V_1$, \ldots. Le nombre
de ces suites est donc bien \'egal \`a
\[
[d][d-1] \cdots [d-t+1].
\]
Comme les sous-espaces de codimension $i$ de $V$ sont en bijection
avec les sous-espaces de dimension $i$ de $V^*$, qui est encore
de dimension $d$, on obtient la derni\`ere affirmation.}

\item Soit $R$ le sous-carquois plein de $Q$ dont les sommets sont $i$
et $j$. Le carquois $R$ comporte donc $n-1$ fl\`eches $\alpha_1$,
\ldots, $\alpha_{n-1}$ de $j$ \`a $i$ et aucune autre fl\`eche. Soit
$M$ une repr\'esentation de $R$ telle que $\dim M_i=n$ et $\dim
M_j=1$. Soit $d$ la codimension de la somme des images des
$M_{\alpha_l}$ dans $M_i$.  Montrer que
\[
\dim \Hom(M,S_i)= d.
\]
Montrer que l'on a $M=N\oplus S_i^d$, o\`u
$N$ est une repr\'esentation ind\'ecomposable telle que $\dim N_j=1$.
Calculer les espaces de morphismes
\[
\Hom(N,S_i) \ko \Hom(S_i, N) \ko \Hom(N,S_j) \ko \Hom(S_j, N).
\]
D\'eduire du r\'esultat que le plus grand quotient semi-simple
de $N$ est $S_j$ et que le radical de $N$ est
isomorphe \`a $S_i^{n-d}$.
\solution{Soit $I$ la somme des images des $M_{\alpha_l}$.
Un couple $(f_j, f_i)$ d'applications lin\'eaires d\'efinit
un morphisme de $M$ vers $S_i$ ssi $f_j=0$ et $f_i$ s'annule
sur $I$. Donc $\Hom(M,S_i) = \Hom_k(M_j/I,k)$ est bien de dimension $d$.
Soit $N$ la sous-repr\'esentation avec $N_i=M_i$ et $N_j=I$. Soit
$I'\subset M_i$ un suppl\'ementaire de $I$. Alors $I'$ d\'efinit
une sous-repr\'esentation isomorphe \`a $S_i^d$ et $M = I\oplus N$.
Si $f: N \to N$ est un endomorphisme de composantes $f_i, f_j$, alors
$f_i$ est un multiple de l'identit\'e et, comme $N_j$ est engendr\'e
par les $M_{\alpha_l}(N_i)$, $f_j$ est le m\^eme multiple de
l'identit\'e. Donc l'anneau des endomorphismes de $N$ est
r\'eduit \`a $k$ et $N$ est ind\'ecomposable.

Comme $N$ est engendr\'e par $N_j$, on a $\Hom(N,S_i)=0$.
Il est clair que $\Hom(S_i,N)=k^{n-d}$.
Comme $N_j$ est de dimension $1$, on a
$\Hom(N,S_j)=k$. Si certains $M_{\alpha_l}$ sont non nuls, on a
$\Hom(S_j,N)=0$ et sinon, on a $\Hom(S_j,N)=k$.

Le morphisme de $N$ vers son plus grand quotient semisimple
est universel parmi les morphismes de $N$ vers un module
semisimple $S_i^{n_i} \oplus S_j^{n_j}$. Le calcul qui
pr\'ec\`ede montre donc que le plus grand quotient de
$N$ est $S_j$. Le noyau de l'\'epimorphisme $N \to S_j$
est clairement la sous-repr\'esentation $(0,N_i)$, qui
est isomorphe \`a $S_i^{n-d}$ (notons que $n=d$ si tous
les $M_{\alpha_l}$ s'annulent).}

\item Soit $M$ une repr\'esentation de $Q$.
Notons $a_t(M)$ le coefficient de $u_M$ dans $u_i^t u_j
u_i^{n-t}$. Supposons que $a_t(M)>0$.

Montrer que $M_l=0$
pour $l\not\in\{i,j\}$ de fa\c{c}on qu'on peut consid\'erer
$M$ comme une repr\'esentation de $R$. Montrer que
$\dim M_i=1$ et $\dim M_j=n$. Montrer que dans
les notations de la question pr\'ec\'edente, on a  $d\geq 1$ et
$t\leq d$.
\solution{Si $a_t(M)$ est non nul, alors $M$ admet une
s\'erie de composition avec $n$ facteurs $S_i$ et un
facteur $S_j$. Donc le vecteur dimension de $M$ s'annule
sauf en $i$ et $j$ et on a $\dim M_i=n$ et $\dim M_j=1$.
Comme les images des $M_{\alpha_l}$ sont au plus de dimension
$1$ et comme il y a $n-1$ fl\`eches $\alpha_l$, la
dimension de la somme des images est $\leq n-1$ et
sa codimension $d$ est $\geq 1$. Comme $N$ n'admet
pas de quotient isomorphe \`a $S_i$, mais $M= N\oplus S_i^d$ admet
un quotient isomorphe \`a $S_i^t$, on doit avoir $t\leq d$.
}

\item Sous les m\^emes hypoth\`eses sur $M$, soit
\[
M=M_0 \supset M_1 \supset \cdots \supset M_t \supset M_{t+1} \supset \cdots
\supset M_n \supset M_{n+1} =0
\]
une cha\^{\i}ne d\'ecroissante de sous-repr\'esentations telle que les
sous-quotients $M_{s-1}/M_s$ sont simples pour $1\leq s \leq n+1$.
Montrer qu'on a $M_{s-1}/M_{s} \iso S_i$ pour $s\neq t+1$ et
$M_t/M_{t+1}\iso S_j$ ssi $M_t$ contient $N$ et que $M_{t+1}$ est
contenu dans $(\rad N)\oplus S_i^d$.
\solution{Clairement $M_{t+1}$ est contenu dans $\rad N \oplus S_i^d\iso S_i^n$
ssi on a $M_{s-1}/M_s \iso S_i$ pour tous $s>t+1$. De l'autre
c\^ot\'e, $M_t$ contient $N$ ssi $M/M_t$ n'a pas de facteur de composition
isomorphe \`a $S_j$ ssi $M_{s-1}/M_s \iso S_i$ pour tous
$s\leq t$.}


\item Sous les m\^emes hypoth\`eses sur $M$, montrer qu'on a
\[
a_t(M)= \frac{[d]!\, [n-t]!}{[d-t]!}\,.
\]
\solution{D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, pour obtenir une
cha\^{\i}ne
\[
M=M_0 \supset M_1 \supset \cdots \supset M_t \supset M_{t+1} \supset \cdots
\supset M_n \supset M_{n+1} =0
\]
avec des quotients successifs $S_i$ ($t$ fois), $S_j$ (une fois),
$S_i$ ($n-t$ fois), on doit
\begin{itemize}
\item[(1)] choisir une cha\^{\i}ne de $n-t$  sous-espaces
\[
M_{t+1} \supset \cdots \supset M_n \supset M_{n+1} =0 \ko
\]
chacun de codimension $1$ dans le suivant,
dans $(\rad N)\oplus S_i^d\iso S_i^n$;
\item[(2)] poser $M_t = M_{t+1}+N$;
\item[(3)] choisir une cha\^{\i}ne de $t$ sous-espaces
\[
M=M_0 \supset M_1 \supset \cdots \supset M_{t-1}\supset M_t
\]
chacun de codimension $1$ dans le suivant.
\end{itemize}
D'apr\`es la question a), le nombre de cha\^{\i}nes obtenues est de
\[
[n-t]! \times 1 \times \frac{[d]!}{[d-t]!}\, .
\]
}

\item Montrer que
\[
\bin{n}{t} a_t(M) = [n]! \bin{d}{t}
\]
\solution{On a
\[
\bin{n}{t} a_t(M) = \frac{[n]!}{[t]!\,[n-t]!} \frac{[n-t]!\,[d]!}{[d-t]!}
= [n]!\,\bin{d}{t}.
\]
}

\item Montrer que dans $\Z[X]$, on a
\[
\sum_{t=0}^d \bin{d}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}} X^t =
\prod_{i=0}^{d-1} (1+q^i X).
\]
D\'eduire que pour $d\geq 1$, on a
\[
\sum_{t=0}^d (-1)^t \bin{d}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}}  = 0.
\]
\solution{On proc\`ede par r\'ecurrence sur $d\geq 1$. Pour $d=1$,
l'affirmation est tautologique. Passons de $d$ \`a $d+1$. Nous
avons
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=0}^{d}(1+q^i X) & = & (1+q^d X) \sum_{t=0}^d \bin{d}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}}
X^t \\
& = & 1 + q^{\frac{d(d-1)}{2}+d}+\sum_{t=1}^d\left(\bin{d}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}} + \bin{d}{t-1}
q^{\frac{(t-1)(t-2)}{2}+d}\right) X^t \ko
\end{eqnarray*}
o\`u nous avons utilis\'e l'hypoth\`ese de r\'ecurrence pour la
premi\`ere \'egalit\'e. Ici, le coefficient de $X^t$ se r\'ecrit
\begin{eqnarray*}
\bin{d}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}} & + & \bin{d}{t-1}
q^{\frac{(t-1)(t-2)}{2}+d}  =
q^\frac{(t-1)(t-2)}{2} \left( \frac{ q^{t-1}\, [d]!}{[t]!\,[d-t]!} +
\frac{q^d \,[d]!}{[t-1]!\,[d-t+1]!} \right) \\
&=& q^\frac{(t-1)(t-2)}{2} \frac{[d]!}{[t-1]!\,[d-t]!} \left(
\frac{q^{t-1}}{[t]} + \frac{q^d}{[d-t+1]} \right) \\
&=& q^\frac{(t-1)(t-2)}{2} \frac{[d]!}{[t]!\,[d-t+1]!}
(q^{t-1}\,[d-t+1] + q^d\,[t]) \\
&=& q^\frac{(t-1)(t-2)}{2} \frac{[d]!}{[t]!\,[d-t+1]!}
\frac{q^{t-1}(q^{d-t+1}-1) + q^d(q^t-1)}{q-1} \\
&=& q^\frac{(t-1)(t-2)}{2} \frac{[d]!}{[t]!\,[d-t+1]!}
\frac{q^{t-1}\,(q^{d+1}-1)}{q-1} \\
&=& q^{\frac{t(t-1)}{2}} \frac{[d+1]!}{[t]!\,[d-t+1]!}
= q^\frac{t(t-1)}{2}\bin{d+1}{t}
\end{eqnarray*}
Nous obtenons donc
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=0}^{d}(1+q^i X) & = & 1 + q^{\frac{d(d-1)}{2}+d}+\sum_{t=1}^d
q^\frac{t(t-1)}{2}\bin{d+1}{t} X^t\\
&=& 1+ q^{\frac{(d+1)d}{2}} + \sum_{t=1}^d q^\frac{t(t-1)}{2}\bin{d+1}{t} X^t \\
&=& \sum_{t=0}^{d+1} q^\frac{t(t-1)}{2}\bin{d+1}{t} X^t .
\end{eqnarray*}
Cela ach\`eve la d\'emonstration de la premi\`ere \'egalit\'e.
Nous obtenons la deuxi\`eme en sp\'ecialisant la
premi\`ere \`a $X=-1$.
}

\item Montrer que
\[
\sum_{t=0}^d (-1)^t\bin{n}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}} a_t(M)=0
\]
et conclure.
\solution{Nous avons
\begin{eqnarray*}
\sum_{t=0}^d (-1)^t\bin{n}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}} a_t(M) &=&
\sum_{t=0}^d (-1)^t q^{\frac{t(t-1)}{2}} [n]!\,\bin{d}{t} \\
& = & [n]!\, \sum_{t=0}^d (-1)^t q^{\frac{t(t-1)}{2}} \bin{d}{t}
\\
& = & 0 \ko
\end{eqnarray*}
o\`u nous avons utilis\'e d'abord f) puis g). On obtient
l'affirmation car l'expression que nous venons de calculer est
le coefficient de $u_M$ dans le d\'eveloppement
du relateur de Serre
\[
\sum_{t=0}^n (-1)^t
\bin{n}{t} q^{\frac{t(t-1)}{2}}  u_i^t u_j u_i^{n-t} \,.
\]
}

\end{sublist}


\end{list-of-exercises}


\end{document}
