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%\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em R\'eponse --- #1}}
%\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de juin 2004}

\newcommand{\solution}[1]{}
\newcommand{\titre}{Examen de septembre 2004}


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\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}


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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
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%Overline, Underline, transposed conjugate
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%Calligraphic letters
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%Greek letters
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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2003--04\\
UFR de Math\'ematiques \hfill  Repr\'esentations de carquois\\
DEA de Math\'ematiques \hfill  06/09/2004\\
B. Keller \hfill \mbox{}}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titre}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } L'utilisation de documents autres que
les notes de cours est interdite. Dans tout l'\'enonc\'e, $k$
d\'esigne un corps alg\'ebriquement clos et les modules consid\'er\'es
sont de dimension finie sur $k$.  }






\bigskip
\noindent
{\bf I. Repr\'esentations ind\'ecomposables et repr\'esentations stables de $A_n$}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ un carquois fini. Notons $Q_0$ son ensemble de sommets et
$Q_1$ celui de ses fl\^eches. Soit $\theta$ une application $\Z$-lin\'eaire
du groupe $\Z^{Q_0}$ dans $\Z$. Pour une repr\'esentation $V$ de
$Q$, son vecteur dimension $\ddim V$ est la famille des entiers
$\dim V_i$, $i\in Q_0$. On note $\dim V$ sa dimension total, \'egale
\`a la somme des $\dim V_i$, $i\in Q_0$. On note $\pi_\theta(V)$ le vecteur
$(\dim V, \theta(V))$ et, pour $\dim V\neq 0$, on
note $p_\theta(V)$ sa pente , c'est-\`a-dire que
\[
p_\theta(V)=\frac{\theta(\ddim V')}{\dim V'}.
\]
Une repr\'esentation non nulle $V$ de $Q$ est {\em $\theta$-stable}
si la pente de $V$ est strictement sup\'erieure \`a la pente
de toute sous-repr\'esentation non nulle propre
$V'$ de $V$. Une repr\'esentation $V$ de $Q$ est {\em $\theta$-semistable}
si elle est nulle ou si sa pente est sup\'erieure ou \'egale
\`a la pente de toute  sous-repr\'esentation non nulle
propre $V'$ de $V$. Notons que toute repr\'esentation
stable est semi-stable.

\begin{list-of-exercises}

\item Montrer que toute repr\'esentation simple est stable.

\item Soit
\[
0 \to V' \to V \to V'' \to 0
\]
une suite exacte de repr\'esentations non nulles de $Q$. Montrer que
l'on a
\[
\pi_\theta(V') + \pi_\theta(V'') = \pi_\theta(V).
\]
En d\'eduire que l'on a
\[
p_\theta(V') \leq p_\theta(V) \leq p_\theta(V'') \mbox{ ou }
p_\theta(V'') \leq p_\theta(V) \leq p_\theta(V')
\]
et que $p_\theta(V')=p_\theta(V)$ ssi $p_\theta(V)=p_\theta(V'')$.
Indication~: faire un dessin.


\item Montrer qu'une repr\'esentation non nulle $V$ est stable (resp.
semistable) ssi l'on a $p_\theta(V'')>p_\theta(V)$ (resp. $\geq$) pour tout quotient
$V''$ de $V$.

\item Montrer que la somme de deux repr\'esentations semistables
de m\^eme pente est semistable.

\item Soit $q$ un nombre rationnel. Montrer que la classe des
repr\'esentations semistables de pente $q$ est stable par
passage aux extensions, aux sous-repr\'esentations et aux quotients.

\item Montrer qu'une repr\'esentation est stable de pente $q$ ssi
elle est semistable de pente $q$ et n'admet pas de
sous-repr\'esentations semistables de
pente $q$.

\item Montrer qu'une repr\'esentation non nulle $V$ est stable ssi
l'on a $p_\theta(V')<p_\theta(V)$ pour toute sous-repr\'esentation
ind\'ecomposable $V'$ de $V$. Enoncer et d\'emontrer un crit\`ere
analogue portant sur les quotients ind\'ecomposables de $V$.


\item Soit $n$ un entier strictement positif. Supposons que
$Q$ est le carquois $\vec{A}_n$ :
\[
1 \to 2 \to \ldots \to n
\]
Quelles sont les repr\'esentations ind\'ecomposables de $Q$ ?

\item Soit $V$ une repr\'esentation ind\'ecomposable de
$Q$. Quelles sont ses sous-repr\'esentations~?

\item Exhiber une fonction $\theta$ telle que les
repr\'esentations stables de $Q$ soient exactement les
repr\'esentations ind\'ecomposables. Indication~: on
pourra commencer par les cas $n=2, 3, \ldots$.

\end{list-of-exercises}

\bigskip
\noindent
{\bf II. Construction de d\'eg\'en\'erations}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ un carquois fini, $A$ son alg\`ebre de chemins et
$L$, $M$, $N$ trois $A$-modules de dimension finie. Supposons
donn\'ee une suite exacte
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & L \ar[r]^-{i} & L\oplus M
\ar[r] & N  \ar[r] & 0} \mbox{ o\`u } i=\left[\begin{array}{c} f \\ g \end{array}\right].
\]

\begin{list-of-exercises}

\item Montrer que si $f$ est inversible, alors $N$ est isomorphe \`a $M$.
Indication : on pourra consid\'erer l'application $[-g f^{-1}, \id]$ de
$L\oplus M$ dans $M$.

\item Soit $\lambda\in k$. On d\'efinit $N_\lambda$ comme le conoyau
de
\[
\left[\begin{array}{cc} f+\lambda \id \\ g \end{array} \right]
\]
de fa\c{c}on qu'on a une suite exacte
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & L \ar[r]^-{i_\lambda} & L\oplus M
\ar[r] & N_\lambda  \ar[r] & 0} \mbox{ o\`u } \left[\begin{array}{c} f+\lambda \id \\ g \end{array}\right].
\]
Montrer qu'il existe un ouvert de Zariski non vide $U\subset k$ tel que $N_\lambda$ est isomorphe
\`a $M$ pour $\lambda\in U$.

\item Soit $d$ le vecteur dimension de $N_\lambda$, $\lambda\in k$. Pourquoi
ce vecteur ne d\'epend-il pas de $\lambda$ ?

\item Soit $R(Q,d)$ l'espace des repr\'esentations de vecteur dimension $d$.
Montrer que dans $R(Q,d)$ l'orbite de $N$ se trouve dans l'adh\'erence
de celle de $M$.

\end{list-of-exercises}

\bigskip
\noindent
{\bf III. Construction de composantes du carquois d'Auslander-Reiten}
\bigskip

\noindent
Soit $A$ l'alg\`ebre donn\'ee par le carquois
\[
\xymatrix{ & & \circ \\
\circ \ar[rd]_\gamma & & \\
 & \circ \ar@/_/[ruu]_\alpha \ar@/^/[ruu]^\beta
}
\]
soumis \`a la relation $\alpha\gamma=0$.

\begin{list-of-exercises}

\item Montrer que $A$ admet une infinit\'e de classes
d'isomorphisme de modules ind\'ecomposables.

\item Exhiber un syst\`eme de repr\'esentants des modules
projectifs ind\'ecomposables et des modules injectifs ind\'ecomposables.
D\'eterminer leurs vecteurs dimension. Montrer que $A$ admet un
unique module projectif simple et un unique module injectif simple
(\`a isomorphisme pr\`es).

\item D\'eterminer les radicaux des projectifs ind\'ecomposables et
les socles des injectifs ind\'e\-composables.

\item Construire la composante du carquois d'Auslander-Reiten
qui contient le module projectif simple. Observer qu'elle contient
tous les projectifs ind\'ecomposables.

\item Construire la composante du carquois d'Auslander-Reiten
qui contient le module injectif simple. Observer qu'elle ne
contient pas tous les ind\'ecomposables injectifs.

\end{list-of-exercises}


\end{document}
