Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 2004–05 UFR de Mathématiques Représentations de carquois DEA de Mathématiques 05/09/2005 B. Keller

Examen de septembre 2005

Avertissement : L’utilisation de documents autres que les notes de cours est interdite. Dans tout l’énoncé, sauf mention expresse du contraire, k désigne un corps algébriquement clos et les modules considérés sont de dimension finie sur k.

I. Représentations de D⃗_{4}

Soit Q le carquois de graphe sous-jacent D_{4}

\xymatrix{ & 2 \ar[dl] \\ 1 & 3 \ar[l] \\  & 4 \ar[ul]}

1) Quelles sont (à isomorphisme près) les représentations projectives indécomposables et les représentations injectives indécomposables de Q ? Quelles sont les représentations simples ?

2) Soit V une représentation projective de Q dont le vecteur dimension est v = [4, 1, 1, 1]. Quelle peut être la décomposition de V en indécomposables ?

3) Déterminer les vecteurs dimension des représentations indécomposables de Q et son carquois d’Auslander-Reiten.

4) Rappeler la formule d’Auslander-Reiten pour l’espace des extensions Ext_{A}^{1}(L, M) entre deux modules indécomposables L, M de dimension finie sur une k-algèbre A de dimension finie, où L n’est pas projectif.

5) Pour 1 ≤ i ≤ 4, on note P_{i} (respectivement I_{i}) la représentation indécomposable projective (respectivement injective) associée au sommet i. Montrer que Ext_{kQ}^{1}(I_{1}, P_{1}) est un plan (=espace vectoriel de dimension 2) et exhiber trois droites remarquables dans ce plan.

6) Pour 1 ≤ i ≤ 4, notons J_{i} = τI_{i} le translaté d’Auslander-Reiten. Montrer qu’à isomorphie près, les seules modules qui apparaissent au milieu d’une suite exacte

ε : 0 → P_{1} → E → I_{1} → 0

sont P_{1} ⊕ I_{1}, P_{i} ⊕ J_{i}, 2 ≤ i ≤ 4 et J_{1}.

7) Déterminer, pour chaque ε ∈ Ext^{1}(I_{1}, P_{1}) la classe d’isomorphisme du terme du milieu E = E(ε) de la suite exacte associée à ε.

8) En supposant que k est un corps fini à q éléments, déterminer, pour chacun des modules M du numéro précédent, le nombre de classes ε telles que M soit isomorphe à E(ε).

II. Dénominateurs des variables d’amas

Soit Q un carquois sans cycles orientés dont l’ensemble des sommets Q_{0} est {1, …, n}. Rappelons que la forme d’Euler de Q est définie par

⟨e, f⟩ = ∑_{i∈Q_{0}} e_{i}f_{i} − ∑_{α∈Q_{1}} e_{s(α)}f_{t(α)} , e, f ∈ Z^{n}.

On note S_{i}, P_{i}, I_{i} les représentations simple, projective indécomposable et injective indécomposable associées à un sommet i.

1) Calculer ⟨\underline{dim} P_{i}, \underline{dim} S_{j}⟩ et ⟨\underline{dim} S_{j}, \underline{dim} I_{i}⟩, 1 ≤ i, j ≤ n.

2) Montrer que les vecteurs dimension des projectifs indécomposables de Q forment une Z-base de Z^{n} et qu’il en est de même pour les vecteurs dimension des injectifs indécomposables.

3) Soit τ : Z^{n} → Z^{n} l’unique automorphisme tel que

τ(\underline{dim} P_{i}) = −\underline{dim} I_{i} , 1 ≤ i ≤ n.

Montrer que pour e, f ∈ Z^{n}, on a

⟨e, f⟩ = −⟨f, τ(e)⟩.

4) Posons α_{i} = \underline{dim} S_{i}. Soit M une représentation indécomposable et d = \underline{dim} M. Rappelons la formule de Caldero-Chapoton pour la variable d’amas associée à M

CC(M) = ∑_{0≤e≤d} χ(Gr_{e}(M)) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{⟨α_{i},τ(e)+e−d⟩}.

Montrer que

⟨α_{i}, τ(e) + e − d⟩ = −⟨e, α_{i}⟩ − ⟨α_{i}, d − e⟩.

5) Montrer que

⟨α_{i}, τ(e) + e − d⟩ = −d_{i} + ∑_{φ∈Q_{1}}(d_{t(φ)} − e_{t(φ)}) − ∑_{φ∈Q_{1}} e_{s(φ)}.

6) Montrer que dans l’écriture sous forme de fraction réduite de CC(M), le dénominateur est égal à

∏_{i=1}^{n} x_{i}^{d_{i}}.