\documentclass[11pt]{article}
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\newcommand{\ie}{{\em i.e.}\ }

%\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em R\'eponse --- #1}}
%\newcommand{\titre}{Un corrig\'e de l'examen de mai 2005}

\newcommand{\solution}[1]{}
\newcommand{\titre}{Examen de septembre 2005}
%\newcommand{\`}[1]{\`{#1}}

%subsublist
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\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
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}{\end{list}}

%sublist
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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}



%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newcounter{rayon}
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}
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}{\end{list}}

\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}

\newcommand{\bin}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]}


\newcommand{\rad}{\mbox{rad}}
\newcommand{\plus}{\oplus}
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\newcommand{\pgcd}{\mbox{PGCD}\,}
\newcommand{\Fun}{\mbox{\rm Fun}}
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\newcommand{\End}{\mbox{\rm End}}
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\renewcommand{\ker}{\mbox{\rm ker}}
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\newcommand{\ddim}{\underline{\dim}\,}

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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
\newcommand{\ko}{\: , \;}
\newcommand{\fa}{\forall \,}


%Overline, Underline, transposed conjugate
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\ul}{\underline}
\newcommand{\tc}{^*}


\newcommand{\tg}{\mbox{{\rm tg}}}
\newcommand{\arctg}{\mbox{{\rm arctg}}}


\newcommand{\id}{\mbox{{\bf 1}}}
\newcommand{\sid}{\mbox{{\bf \scriptsize 1}}}
\newcommand{\Lie}{\mbox{{\rm Lie}}}


%Calligraphic letters
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%Greek letters
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%Gothic letters
\newcommand{\goth}[1]{{\EuFrak{#1}}}
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%Arrows
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\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2004--05\\
UFR de Math\'ematiques \hfill  Repr\'esentations de carquois\\
DEA de Math\'ematiques \hfill  05/09/2005\\
B. Keller \hfill \mbox{}}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titre}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } L'utilisation de documents autres que
les notes de cours est interdite. Dans tout l'\'enonc\'e, sauf
mention expresse du contraire, $k$
d\'esigne un corps alg\'ebriquement clos et les modules consid\'er\'es
sont de dimension finie sur $k$.  }

\bigskip
\noindent
{\bf I. Repr\'esentations de $\vec{D}_4$}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ le carquois de graphe sous-jacent $D_4$
\[
\xymatrix{ & 2 \ar[ld] \\ 1 & 3 \ar[l] \\  & 4 \ar[lu] }
\]

\bigskip
\noindent

\begin{list-of-exercises}
\item Quelles sont (\`a isomorphisme pr\`es) les
repr\'esentations projectives ind\'ecomposables et les
repr\'esentations injectives ind\'ecomposables de $Q$~?
Quelles sont les repr\'esentations simples ?

\item Soit $V$ une repr\'esentation {\em projective} de $Q$ dont
le vecteur dimension est $v=[4,1,1,1]$. Quelle peut \^etre la
d\'ecomposition de $V$ en ind\'ecomposables ?

\item D\'eterminer les vecteurs dimension des repr\'esentations
ind\'ecomposables de $Q$ et son carquois d'Auslander-Reiten.

\item
Rappeler la formule d'Auslander-Reiten pour l'espace des
extensions $\Ext^1_A(L,M)$ entre deux modules ind\'ecomposables
$L,M$ de dimension finie sur une $k$-alg\`ebre $A$ de dimension
finie, o\`u $L$ n'est pas projectif.

\item 
Pour $1\leq i\leq 4$, on note $P_i$ (respectivement $I_i$) la repr\'esentation
ind\'ecomposable projective (respectivement injective) associ\'ee au
sommet $i$. Montrer que $\Ext^1_{kQ}(I_1, P_1)$ est un plan
(=espace vectoriel de dimension $2$) et exhiber trois droites
remarquables dans ce plan.

\item 
Pour $1\leq i\leq 4$, notons $J_i = \tau I_i$ le translat\'e
d'Auslander-Reiten. Montrer qu'\`a isomorphie pr\`es,
les seules modules qui apparaissent au milieu d'une suite 
exacte
\[
\eps : 0 \to P_1 \to E \to I_1 \to 0
\]
sont $P_1\oplus I_1$, $P_i \oplus J_i$, $2\leq i \leq 4$ et $J_1$.

\item D\'eterminer, pour chaque $\eps\in \Ext^1(I_1,P_1)$ la
classe d'isomorphisme du terme du milieu $E=E(\eps)$ de la suite
exacte associ\'ee \`a $\eps$.

\item En supposant que $k$ est un corps fini \`a $q$ \'el\'ements,
d\'eterminer, pour chacun des modules $M$ du num\'ero pr\'ec\'edent,
le nombre de classes $\eps$ telles que $M$ soit isomorphe \`a
$E(\eps)$.

\end{list-of-exercises}

\bigskip
\noindent
{\bf II. D\'enominateurs des variables d'amas}
\bigskip

\noindent
Soit $Q$ un carquois sans cycles orient\'es dont l'ensemble
des sommets $Q_0$ est $\{1, \ldots, n\}$. Rappelons que la
forme d'Euler de $Q$ est d\'efinie par
\[
\langle e, f \rangle = \sum_{i\in Q_0} e_i f_i - \sum_{\alpha \in Q_1} 
e_{s(\alpha)} f_{t(\alpha)} \ko e,f \in \Z^n.
\]
On note $S_i$, $P_i$, $I_i$ les repr\'esentations simple, projective
ind\'ecomposable et injective ind\'ecomposable associ\'ees \`a un
sommet $i$.

\begin{list-of-exercises}
\item Calculer $\langle \ddim P_i, \ddim S_j\rangle$ et
$\langle \ddim S_j, \ddim I_i\rangle$, $1\leq i,j\leq n$.

\item Montrer que les vecteurs dimension des projectifs
ind\'ecomposables de $Q$ forment une $\Z$-base de $\Z^n$ et
qu'il en est de m\^eme pour les vecteurs dimension des
injectifs ind\'ecomposables.

\item Soit $\tau: \Z^n \to \Z^n$ l'unique automorphisme
tel que 
\[
\tau(\ddim P_i) = -\ddim I_i \ko 1\leq i\leq n.
\]
Montrer que pour $e,f\in \Z^n$, on a
\[
\langle e,f \rangle= -\langle f, \tau(e)\rangle.
\]

\item Posons $\alpha_i=\ddim S_i$. Soit $M$ une repr\'esentation
ind\'ecomposable et $d=\ddim M$. Rappelons la formule de Caldero-Chapoton pour
la variable d'amas associ\'ee \`a $M$
\[
CC(M) = \sum_{0\leq e\leq d} \chi(Gr_e(M)) \prod_{i=1}^n x_i^{\langle
\alpha_i, \tau(e) + e - d\rangle}.
\]
Montrer que
\[
\langle \alpha_i, \tau(e)+e-d\rangle = - \langle e, \alpha_i\rangle
- \langle \alpha_i, d-e\rangle.
\]

\item Montrer que
\[
\langle \alpha_i, \tau(e)+e-d\rangle = 
-d_i + \sum_{\phi\in Q_1} (d_{t(\phi)} - e_{t(\phi)}) - 
\sum_{\phi\in Q_1} e_{s(\phi)}.
\]

\item Montrer que dans l'\'ecriture sous forme de fraction
r\'eduite de $CC(M)$, le d\'enominateur est \'egal \`a
\[
\prod_{i=1}^n x_i^{d_i}.
\]

\end{list-of-exercises}



\end{document}
