Bernard Leclerc (Caen)

Base canonique duale de U_q(n)

Soit g une algèbre de Lie simple complexe, et soit n une sous-algèbre nilpotente maximale.
En 1985, Gelfand et Zelevinsky ont introduit la notion de bonne base d'une représentation irréductible V(l) de g, et ont montré son existence pour g de type A_r. En 1990 Mathieu a prouvé l'existence de bonnes bases en général, mais il manquait une construction explicite. Les bases canoniques de Lusztig et les bases globales de Kashiwara fournissent des solutions à cette question.
On expliquera dans ces exposés la construction algébrique de Lusztig de la base canonique B de l'algèbre quantique U_q(n). La base canonique duale B^* donne une bonne base dans chaque représentation V(l).
Lorsque g est de type A, les éléments de degré m de B^* peuvent s'interpréter comme les caractères irréductibles d'une certaine catégorie de représentations de l'algèbre de Hecke affine H_m de type GL_m. Le produit de U_q(n) correspond à l'induction H_m ×H_n ® H_m+n.
Ceci est l'une des motivations pour l'étude des propriétés multiplicatives de B^*, commencée dès 1993 par Berenstein et Zelevinsky. On fera le point sur les résultats récents dans ce domaine et sur les nouveaux problèmes qu'ils suscitent.