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\newtheorem*{proposition*}{Proposition}
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\newtheorem{theorem}{Theorem}
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\begin{document}

\begin{flushleft}
\textbf{Exemple d'un groupe de Lie non-lin\'eaire}
\end{flushleft}
\bigskip
\noindent
Soit $H$ le groupe de Heisenberg, c'est-\`a-dire le
groupe des matrices
\[
\left( \begin{array}{ccc} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \ko x,y,z\in \R.
\]
Soit $\Ga$ son sous-groupe form\'e des matrices o\`u 
$x=y=0$ et $z\in\Z$.
Alors $\Ga$ est ferm\'e dans $H$ et, muni de la topologie
induite par $H$, il est discret. En outre, il est inclus
dans le centre de $H$, qui est form\'e des matrices
\[
 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \ko z\in \R.
\]
En particulier, il est distingu\'e. Le groupe de Lie quotient 
$G=H/\Ga$
\[
G=  \{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & \overline{z} \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \; | \; x,y\in  \R\ko \overline{z}\in \R/\Z\}
\]
est isomorphe, en tant que vari\'et\'e, au produit $\R\times \R \times
S^1$ et la projection $H \ra H/\Ga$ s'identifie \`a la projection
canonique $\R\times \R\times \R \ra \R \times \R \times S^1$.
Cette projection est donc un diff\'eomorphisme local au voisinage
de tout point de $G$. En particulier, elle induit un isomorphisme
de $\Lie(H)$ sur $\Lie(G)$.


\begin{proposition*} Il n'existe pas de morphisme injectif
du groupe de Lie $G$ dans un groupe $GL(n,\C)$, $n\geq 1$.
\end{proposition*}

\begin{demonstration} Soit $\frakg$ l'alg\`ebre de Lie de $G$.
Supposons que $f: G \ra GL(n,\C)$ est un
morphisme injectif. Alors il induit une application lin\'eaire
$\Lie(f):\frakg \ra \frakgl(n,\C)$. 
Montrons que $\Lie(f)$ est injective\footnote{Nous verrons plus tard
que le noyau $\Ker f$  est un groupe de Lie et que 
$\Lie(\Ker f)=\Ker(\Lie(f))$.}.
En effet, si le noyau de $\Lie(f)$ \'etait
non nul, tout voisinage de $0$ contiendrait un \'el\'ement non nul dont
l'image par $\Lie(f)$ est nulle. Or dans un voisinage
de $e$, l'exponentielle est un diff\'eomorphisme local.
On obiendrait donc des \'el\'ements non triviaux de $G$,
dont l'image par $f$ vaudrait $e$, en vertu de la commutativit\'e
du carr\'e
\[
\xymatrix{G \ar@{^{(}->}[r]^-f & GL(n,\C) \\
\frakg  \ar[u]^\exp \ar[r]_-{\Lie{f}} & \frakgl(n,\C). \ar[u]_\exp
}
\]
Etudions l'image de $\Lie(f)$. Posons
\[
X=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 
\end{array} \right) , \quad
Y=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 
\end{array} \right), \quad
Z=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 
\end{array} \right).
\]
Ces trois \'el\'ements forment une base de $\frakg$ et nous avons
\[
[X,Z]=[Y,Z]=0 \ko [X,Y]=Z.
\]
Notons $A$, $B$ et $C$ les images de ces trois \'el\'ements par $\Lie(f)$.
Ce sont trois matrices $3\times 3$ \`a coefficients complexes qui
v\'erifient les m\^emes relations de commutation que $X$, $Y$ et $Z$.
Gr\^ace au lemme \ref{nilpotent} ci-dessous, la matrice $C$
est nilpotente. Donc la restriction de l'exponentielle
\`a la droite $\R\cdot C$ est bijective, gr\^ace au lemme
\ref{exponilpot}. Il s'ensuit que la composition $\exp\circ \Lie(f)$
restreinte \`a la droite $\R\cdot Z$ est injective. Par le
diagramme
\[
\xymatrix{G \ar@{^{(}->}[r]^-f & GL(n,\C) \\
\frakg \ar[u]^{\exp_G} \ar[r]_-{\Lie{f}} & \frakgl(n,\C), \ar[u]_{\exp}
}
\]
cette composition est \'egale \`a $f\circ \exp_G$. Donc
la restriction de $\exp_H$ \`a la droite $\R \cdot C$
est injective. Mais on calcule que
\[
\exp(tZ)= 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \overline{t} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 
\end{array} \right) .
\]
Donc $tZ\mapsto \exp(tZ)$ envoie tous les multiples entiers de $Z$
sur la matrice  identit\'e. Cette contradiction montre que $f$ ne 
peut \^etre injective.
\end{demonstration}

\begin{lemme}\label{nilpotent}
Soient $A,B,C$ trois matrices $n\times n$ \`a coefficients
dans un corps $k$ de caract\'eristique nulle et telles que
\[
[A,B]= C,\quad [A,C]=0, \quad [B,C]=0.
\]
Alors la matrice $C$ est nilpotente. 
\end{lemme}

\begin{demonstration} On peut supposer que $k$ est alg\'ebriquement
clos. Il suffit de montrer que toutes les valeurs propres de $C$ 
sont nulles. Soit
$\lam$ une valeur propre de $C$ et $V_\lam\subset k^n$ l'espace propre
correspondant. Comme $A$ et $B$ commutent avec $C$, l'espace propre
$V_\lam$ est invariant sous $A$ et $B$. Notons $A'$, $B'$ et $C'$ les
restrictions \`a la source et au but des trois applications
$A$, $B$ et $C$ \`a $V_\lam$.
L'application $[A', B']$  est de trace nulle (puisque c'est un
commutateur). Elle est \'egale \`a $C'$, c'est-\`a-dire \`a la multiplication
par $\lam$ dans $V_\lam$. En prenant la trace des deux
c\^ot\'es de l'\'equation $[A',B']=C'$, nous obtenons
que $0=\lam\, \dim V_\lam$. Comme $V_\lam$ est un espace propre, 
sa dimension est non nulle et on a bien $\lam=0$.
\end{demonstration}

\begin{lemme} \label{exponilpot}
L'exponentielle
$
\exp: \frakgl(n,\C) \ra GL(n,\C)
$
induit une bijection de l'ensemble des matrices nilpotentes sur
celui des matrices unipotentes (\ie des matrices $g$ telles que
$g-1$ est nilpotente). La bijection inverse est donn\'ee par
\[
g \mapsto \log(1+(g-1))= (g-1) -\frac{1}{2} (g-1)^2 + \ldots .
\]
\end{lemme}


\begin{demonstration} Notons d'abord que l'exponentielle d'une matrice
nilpotente est bien unipotente. De l'autre c\^ot\'e,  si $g$ est une 
matrice unipotente quelconque, la s\'erie $\log(1+(g-1))$ se r\'eduit \`a un 
polyn\^ome en $(g-1)$ sans coefficient constant de fa\c{c}on que 
$\log(1+(g-1))$ est une
matrice bien d\'efinie et nilpotente. Le fait que l'exponentielle et la
s\'erie donnent des applications inverses l'une de l'autre
r\'esulte alors des \'egalit\'es de s\'eries formelles
\[
T = \log(1+(e^T-1)) \quad\text{et}\quad T = \exp(\log(1+T))-1.
\]
\end{demonstration}
\end{document}





