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\newcommand{\ea}{\`e}


\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{proposition}{Proposition}[subsection]
\newtheorem*{proposition*}{Proposition}
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}[subsection]
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[subsection]

\newenvironment{demonstration1}{\textsc{Premi\`ere
d\'emonstration.}}{$_\surd$}
\newenvironment{demonstration2}{\textsc{Deuxi\`eme
d\'emonstration.}}{$_\surd$}


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\begin{document}

\begin{flushleft}
\textbf{Sous-groupes \`a un param\`etre continus}
\end{flushleft}
\bigskip
\noindent



\begin{proposition*} \label{SousgroupesContinusDifferentiables}
Soit $G$ un groupe de Lie et $\gamma: \R \ra G$
un homomorphisme continu. Alors $\ga$ est diff\'erentiable
(et il est donc un sous-groupe \`a un param\`etre).
\end{proposition*}

Nous donnons deux d\'emonstrations. La premi\`ere utilise
uniquement les propri\'et\'es \'el\'ementaires de l'exponentielle.
La deuxi\`eme, plus abstraite, utilise les propri\'et\'e \'el\'ementaires
de l'exponentielle et le th\'eor\`eme de von Neumann.

\bigskip

\begin{demonstration1}
Soit $\frakg$ l'alg\`ebre de Lie de $G$ et $U\subset \frakg$ un voisinage
ouvert de $0$ dans $\frakg$ 
tel que l'exponentielle induit un diff\'eomorphisme 
de $U$ sur un voisinage
ouvert $V\subset G$ de $e$. Soit $I\subset \R$ un intervalle ouvert
contenant $0$ et tel que $\ga(I)$ est contenu dans $V$. 
D\'efinissons $\phi: I \ra G$ par l'\'egalit\'e
\[
\exp(\phi(t))= \ga(t).
\]
Nous allons montrer que, dans un voisinage de $0$, l'application
$\phi$ est lin\'eaire. Soit $0<t$ un point de $I$  et  soit $n>0$
un entier. Je dis que
\begin{equation} \label{eq1}
\phi(t/n)=\frac{1}{n}\, \phi(t).
\end{equation}
En effet, nous avons
\[
\exp(n \phi(t/n))= \exp(\phi(t/n))^n = \ga(t/n)^n = \ga(t) = \exp(\phi(t)).
\]
Ici la premi\`ere \'egalit\'e vaut parce que $s\mapsto
\exp(s\phi(t/n))$ est un homomorphisme, la deuxi\`eme r\'esulte 
de la d\'efinition de $\phi$, la
troisi\`eme du fait que $\ga$ est un homomorphisme et la quatri\`eme
de la d\'efinition de $\phi$. Il r\'esulte de \eqref{eq1} que
nous avons aussi
\[
\phi(nt')=n\phi(t')
\]
si $n>0$ est un entier et $0<t'$ un point de $I$ tel
que $nt'$ appartient \`a $I$.
Soit $t_0>0$ un point de $I$.
Nous d\'eduisons des deux \'egalit\'es pr\'ec\'edentes
que nous avons
\[
\phi(st_0)= s\phi(t_0)
\]
pour tous les nombres rationnels $0\leq s \leq 1$.
Par la continu\"{\i}t\'e
de $\phi$, il s'ensuit que la m\^eme \'egalit\'e vaut pour tout
$s$ dans l'intervalle $[0,1]$. Il existe donc un $X\in \frakg$ tel
que $\phi(u)=uX$ pour tout $u\in [0, t_0]$. Ainsi, nous avons
$\ga(u)=\exp(uX)$ pour $u\in [0,t_0]$. Comme $\R$ est engendr\'e
par $[0,t_0]$, nous avons $\ga(u)=\exp(uX)$ pour tout $u\in \R$.
\end{demonstration1}

\bigskip

\begin{demonstration2}
Consid\'erons le graphe $H\subset \R\times G$ de $\ga$.
Comme $\ga$ est un homomorphisme, $H$ est un sous-groupe.
Comme $\ga$ est continu, il est ferm\'e. Donc c'est une
sous-vari\'et\'e, d'apr\`es le th\'eor\`eme de von Neumann.
En particulier, son inclusion $H \ra \R\times G$ est
un morphisme de vari\'et\'es.
En la composant avec la projection $\pr_1: \R\times G \ra \R$
nous obtenons l'application $p:H \ra \R$, $(t,\ga(t))\ra t$, qui est donc
diff\'erentiable. Par ailleurs, elle est bijective.
Le fait que l'exponentielle soit un diff\'eomorphisme
local nous permet de conclure que
$p$ est un isomorphisme. Nous d\'eduisons que $\ga$
est diff\'erentiable en tant que composition des
applications diff\'erentiables
\[
\R \longarr{p^{-1}} H \longarr{ } \R \times G \longarr{\pr_2} G.
\]
\end{demonstration2}




\end{document}