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\begin{document}
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\begin{flushleft}
{\bf Sous-groupes de Lie}
\end{flushleft}


\begin{theoreme*} Soit $G$ un groupe de Lie, $\frakg$ son alg\`ebre
de Lie et $\frakh\subset\frakg$ une sous-alg\`ebre de Lie. Soit
$H\subset G$ le sous-groupe engendr\'e par $\exp(\frakh)$. Il existe
une structure de groupe de Lie connexe sur $H$ et une seule
telle que l'inclusion $H\hookrightarrow G$ soit une immersion
qui induit un isomorphisme de $\Lie(H)$ sur
$\frakh$.
\end{theoreme*}

On peut montrer\footnote{Voir R. Godement, \emph{Introduction \`a
la th\'eorie des groupes de Lie}, Publications de l'universit\'e
Paris VII, Volume II, \S 6, No. 13.}
que la structure de groupe de Lie sur $H$ 
est m\^eme d\'etermin\'ee de fa\c{c}on unique si on
demande seulement que l'inclusion de $H$ dans $G$
soit un morphisme de groupes de Lie; il \emph{s'ensuit} alors
que ce morphisme  est une immersion et qu'il induit un isomorphisme
de $\Lie(H)$ sur $\frakh$.

On appelle \emph{sous-groupe de Lie} un sous-groupe $H$ de $G$
muni d'une structure de groupe de Lie telle que l'inclusion
de $H$ dans $G$ soit une immersion. 


\bigskip

\begin{demonstration} 
Montrons l'unicit\'e. Supposons que $H_1$ et $H_2$ sont deux
structures qui conviennent. Nous avons alors le diagramme commutatif
\[
\xymatrix{H_1 \ar[r] & G  & H_2 \ar[l] \\
\Lie(H_1) \ar[u]^{\exp_{H_1}} \ar[r]^-\sim & \frakh \ar[u]^{\exp_G} & 
                                                                 \Lie(H_2).
\ar[l]_-{\sim} \ar[u]_{\exp_{H_2}}}
\]
Les applications
$\exp_{H_1}$ et $\exp_{H_2}$ sont des diff\'eomorphismes
locaux au voisinage de $0$. L'application identique
de $H_1$ dans $H_2$ est donc un diff\'eomorphisme local
au voisinage de $e$. 
Comme l'identit\'e est un homomorphisme, il s'ensuit qu'elle
est un diff\'eomorphisme local au voisinage de tout
point.


Montrons l'existence. Rappelons
que si $f:M \ra N$ est une immersion, alors la structure
diff\'erentiable de $M$ est d\'etermin\'ee par celle
de $N$, par $f$ et par la topologie de
$M$. Il s'agit donc de construire une topologie
sur $H$ (topologie qui, bien entendu, fera de $H$ un
groupe topologique).


Pour cela, nous allons choisir un voisinage ouvert assez petit $T$
de $0$ dans $\frakg$ et montrer qu'il existe alors
une (unique) topologie $\ct$ de groupe topologique sur $H$ telle que,
comme il se doit, la partie
$\exp(T\cap \frakh)$ soit un ouvert pour $\ct$
et l'application $X\mapsto \exp(X)$ soit
un hom\'eomorphisme de $T\cap\frakh$ sur $\exp(T\cap\frakh)$.
Dans un voisinage de $e$, l'inclusion $H \hookrightarrow G$ s'identifiera
alors \`a l'inclusion de $T\cap \frakh$ dans $T$ 
\[
\xymatrix{H \ar@{^{(}->}[r]^\incl & G \\
T\cap \frakh \ar[u]^\exp \ar[r] & T. \ar[u]_\exp
}
\]
\newpage
\vspace*{4cm}
Au voisinage de $e$, la structure locale de l'inclusion
$H\hookrightarrow G$
est donc celle de l'inclusion d'un sous-espace vectoriel.
Comme l'inclusion est un homomorphisme, sa structure 
locale au voisinage d'un point $h\in H$ quelconque est
la m\^eme que sa structure locale au voisinage de
l'\'el\'ement neutre. Ainsi l'espace $H$ admettra bien
une unique structure diff\'erentiable telle que
l'inclusion devienne une immersion.


Construisons le voisinage $T$~:
soit $V\subset \frakg$ un voisinage ouvert de $0$ dans
$\frakg$ tel que l'exponentielle induit un diff\'eomorphisme de $V$
sur $\exp(V)$. Soit $U\subset V$ un voisinage de $0$ qui
est ouvert, \'etoil\'e et sym\'etrique et tel que
$\exp(U)\exp(U)\subset \exp(V)$. Ces conditions
garantissent que pour $X,Y$ appartenant
\`a $U$, nous avons 
\begin{equation} \label{CampHa}
\exp(X)\exp(Y)=\exp(H(X,Y))
\end{equation}
pour un $H(X,Y)\in V$ donn\'e par la formule
de Campbell-Hausdorff. Comme la formule ne fait intervenir
que des commutateurs, nous aurons alors $H(X,Y)\in V\cap \frakh$ pour
$X,Y\in U\cap \frakh$. Choisissons finalement $T\subset U$ un voisinage
ouvert sym\'etrique de $0$ dans $\frakg$ tel que 
$\exp(T)\exp(T)\subset \exp(U)$.



Montrons qu'il existe 
une unique topologie de groupe topologique $\ct$ sur $H$ telle que
$\exp(T\cap \frakh)$ soit ouvert et que l'application $X\mapsto \exp(X)$ soit
un hom\'eomorphisme de $T\cap\frakh$ sur $\exp(T\cap\frakh)$.

L'unicit\'e est claire: les parties
$h\exp(W)$, o\`u $h\in H$ et $W$ parcourt les ouverts 
de $H$ contenus dans
$T\cap\frakh$, doivent former une base d'ouverts 
d'une telle topologie.

Montrons l'existence. Les ouverts
de la topologie $\ct$ seront les parties $E$
telles que, pour tout $h\in E$, il existe un ouvert $W$ de
$T\cap \frakh$ et un $h'\in H$ tels que 
\[
h\in h'\exp(W) \subset E.
\]
Appelons provisoirement 
\emph{pr\'eouverte}\footnote{Autre possibilit\'e~:
on appelle pr\'eouvertes les parties $E$ telles que pour tout
$h\in E$, il existe un voisinage ouvert $W$ de $0$ dans
$T\cap \frakh$ tel que $h\exp(W)$ soit contenu dans $E$.
Alors il est trivial de v\'erifier que les pr\'eouverts
sont les ouverts d'une topologie $\ct$ mais on doit travailler
plus pour montrer que $\exp(T\cap \frakh)$ est ouvert
pour cette topologie et que $\exp$ induit un hom\'eomorphisme
de $T \cap \frakh$ sur son image.}
une telle partie.
Clairement, toute r\'eunion de pr\'eouverts est pr\'eouverte.
Pour montrer que l'intersection de deux pr\'eouverts est pr\'eouverte,
il suffit de montrer que $h \exp(W)\cap h'\exp(W')$ est pr\'eouvert
si $h,h'\in H$ et $W, W'$ sont des ouverts de $T\cap \frakh$.
Comme tout translat\'e \`a gauche d'un pr\'eouvert est pr\'eouvert,
on peut supposer que $h'=e$. Nous allons montrer que
\begin{equation} \label{Intersection}
h\exp(W)\cap\exp(W')=\exp(W'') 
\end{equation}
pour un ouvert $W''$ de $T\cap \frakh$. Nous pouvons supposer
que l'intersection \`a gauche est non vide. Il existe alors
$A\in W$ et $B\in W'$ tels que $h\exp(A)=\exp(B)$. Nous avons donc
\[
h=\exp(B)\exp(-A) = \exp(C)
\]
pour un $C\in U$, par d\'efinition de $U$. Il s'ensuit que
\[
h\exp(W)= \exp(C)\exp(W) = \exp(H(C,W)).
\]
La partie $H(C,W)$ est est contenue dans $V\cap \frakh$
(voir plus haut) et c'est un ouvert de $V\cap \frakh$ car
l'application $H(C,?): T \ra V$ est un hom\'eomorphisme sur son 
image, comme il r\'esulte du carr\'e commutatif suivant,
avatar de la formule \eqref{CampHa},
\[
\xymatrix{ \exp(T) \ar[r]^{L_{\exp(C)}} & \exp(V) \\
T \ar[u]^\exp \ar[r]_{H(C,?)} & V. \ar[u]_\exp
}
\]
En utilisant \`a nouveau  
la bijectivit\'e de l'exponentielle $\exp:V \ra \exp(V)$, nous
trouvons finalement
\[
h\exp(W)\cap\exp(W')=\exp(H(C,W))\cap\exp(W')=\exp(H(C,W)\cap W').
\]
La partie $W''=H(C,W)\cap W'$ est l'ouvert recherch\'e
dans \eqref{Intersection}.

Munissons $H$ de la topologie $\ct$ dont les ouverts sont les
pr\'eouverts. Il est alors clair que les
translations \`a gauche par les $h\in H$ sont des hom\'eomorphismes,
que $\exp(T\cap\frakh)$ est un ouvert de $H$ et que l'exponentielle
$\exp: T \cap \frakh \ra \exp(T\cap\frakh)$ est ouverte. 

Montrons que l'exponentielle $\exp:T\cap\frakh \ra \exp(T\cap\frakh)$
est continue. Il suffit de montrer que l'image r\'eciproque
de la trace sur $\exp(T\cap\frakh)$ d'un ouvert $h\exp(W)$
est ouverte. Ceci r\'esulte de \eqref{Intersection} appliqu\'e
\`a $W'=T\cap\frakh$.


Montrons que $H$ est un groupe topologique pour $\ct$. 
Nous nous servons du lemme ci-dessous. 
Nous savons d\'ej\`a que la condition 2) est v\'erifi\'ee.
Soit $S\subset T$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\frakg$
tel que $\exp(S)\exp(S)\subset \exp(T)$.
Consid\'erons la multiplication
\[
\exp(S\cap\frakh)\times \exp(S\cap \frakh) \ra \exp(T\cap \frakh).
\]
La topologie de $G$ et la topologie $\ct$ induisent la
m\^eme topologie sur $\exp(S\cap\frakh)$ et $\exp(T\cap\frakh)$
puisque nous avons le diagramme
\[
\xymatrix{ T \ar[r]_-*\txt{{\scriptsize hom\'{e}o}}^-\exp &\exp(T) \\
T\cap \frakh \ar@{^{(}->}[u]^*\txt{{\scriptsize sous-esp.~top.}} 
\ar[r]^-*\txt{{\scriptsize hom\'{e}o}}_-\exp 
& (\exp(T\cap\frakh),\ct) \ar[u]
}
\]
La condition 1) en d\'ecoule. Un argument analogue donne
la condition 3). V\'erifions la condition 4). 
Consid\'erons d'abord $h=\exp(X)$, o\`u $X\in \frakh$.
Nous avons alors
\[
h\exp(Y)h^{-1}=\exp(\Ad(h)Y)=\exp(e^{\ad X} Y).
\]
pour tout $Y\in T\cap \frakh$. La continuit\'e de
la conjugaison par $h$ en $e$ r\'esulte donc de celle de $e^{\ad X}$
et du fait que l'exponentielle est un hom\'eomorphisme au voisinage
de $0\in T\cap\frakh$. 
La continuit\'e pour $h\in H$ quelconque en d\'ecoule car
$H$ est engendr\'e par  $\exp(\frakh)$ par hypoth\`ese.

Par construction de la topologie $\ct$, le groupe topologique
$H$ admet bien une structure diff\'erentiable telle que
l'inclusion $H\hookrightarrow G$ soit une immersion.
Montrons que pour cette structure, le groupe
topologique $H$ est un groupe de Lie. 
En effet, le carr\'e commutatif
\[
\xymatrix{ H\times H \ar[r] \ar[d] & H \ar[d] \\
G\times G \ar[r] & G}
\]
montre que la composition de la multiplication
de $H$ avec l'immersion
$H\hookrightarrow G$ est un morphisme de 
vari\'et\'es. La multiplication de $H$ est
donc un morphisme de vari\'et\'es.
De m\^eme,
l'inversion de $H$ est un morphisme de vari\'et\'es
car sa composition avec l'inclusion $H\subset G$ en est un.
\end{demonstration}

\begin{lemme*} \label{GroupeTopologique}
Soit $H$ un groupe muni d'une topologie. Alors $H$ est un groupe
topologique si les propri\'et\'es suivantes sont v\'erifi\'ees
\begin{itemize}
\item[1)] l'application $(h,h') \mapsto h\,h'$ est continue en  $(e,e)$,
\item[2)] pour tout $h\in H$, la translation \`a gauche par $h$
est continue,
\item[3)] l'application $h\mapsto h^{-1}$ est continue en $e$,
\item[4)] pour tout $h\in H$, la conjugaison par $h$ qui
\`a $x$ associe $hxh^{-1}$ est continue en~$e$.
\end{itemize}
\end{lemme*}

\begin{demonstration}
Pour montrer que la multiplication $(h,h')\mapsto h\,h'$ est continue
en $(h_1,h_2)$, nous \'ecrivons la multiplication
comme composition~:
\begin{align*}
hh' = h_1                  (h_1^{-1} h)\, h_2 (h_2^{-1} h') 
   =  h_1 h_2 \, (h_2^{-1} (h_1^{-1} h)\, h_2) (h_2^{-1} h') 
\end{align*}
De m\^eme pour l'inversion 
\begin{align*}
h^{-1} = (h_1 h_1^{-1} h)^{-1} 
       = (h_1^{-1} h)^{-1} h_1^{-1} 
       = h_1^{-1} (h_1 (h_1^{-1} h)^{-1} h_1^{-1}).
\end{align*}
\end{demonstration}


\end{document}

\begin{corollaire*} Soit $G$ un groupe de Lie, $\frakg$ son alg\`ebre
de Lie et $\frakh\subset\frakg$ une sous-alg\`ebre. Supposons
que $G$ est engendr\'e par $\exp(\frakh)$. Alors 
nous avons $\frakh=\frakg$
\end{corollaire*}

\begin{demonstration} Soit $i: H \ra G$ l'inclusion du sous-groupe
$H$ engendr\'e par $\exp(\frakh)$. D'apr\`es le th\'eor\`eme,
le groupe $H$ porte une structure de groupe de Lie telle que
$i$ est un morphisme de groupes de Lie qui induit
une bijection de $\Lie(H)$ sur $\frakh$. Par hypoth\`ese,
$i$ est bijectif. Or on sait qu'un morphisme de groupes
de Lie est bijectif seulement s'il est un isomorphisme.
Donc $i$ est un isomorphisme et, par cons\'equent,
on a $\frakh=\frakg$.
\end{demonstration}








