Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1999-2000 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 28/01/2000

Un corrigé de l’examen de Janvier 2000

I. Décomposition polaire et applications

1) a) L’application A ↦ A^{∗} est un endomorphisme R-linéaire de M(n, C). L’ensemble 𝔭 de ses points fixes est donc un sous-espace vectoriel réel. On sait qu’une matrice hermitienne est définie positive ssi ses mineurs principaux sont strictement positifs. Comme les mineurs sont des fonctions polynomiales en les coefficients de la matrice, ce sont des fonctions continues sur 𝔭. La partie 𝔭^{+} est donc ouverte en tant qu’image réciproque d’un ouvert par une application continue.

b) Une matrice diagonale appartient à 𝔭^{+} ssi ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs. Clairement, elle est alors de la forme e^{A} pour une matrice diagonale A à coefficients réels. Si B ∈ 𝔭^{+} est quelconque, il existe une matrice unitaire U et une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs D telles que B = UDU^{−1}. On a alors D = e^{A} pour une matrice diagonale à coefficients réels A et B = U e^{A}U^{−1} = e^{UAU^{−1}}. Comme UAU^{−1} est encore hermitienne, la matrice B appartient bien à l’image de φ.

c) Pour une matrice X, notons E(X, λ) l’espace propre de X pour la valeur propre λ. Soit A une matrice hermitienne. Soient λ_{1}, …, λ_{r} les valeurs propres distinctes de A. Alors les valeurs propres de e^{A} sont e^{λ_{1}}, …, e^{λ_{r}}. Comme l’exponentielle réelle est injective, elles sont encore distinctes. En particulier, les espaces propres E(e^{A}, e^{λ_{i}}) sont en somme directe et les inclusions

E(A, λ_{i}) ⊂ E(e^{A}, e^{λ_{i}})

sont des égalités. Ainsi, la matrice e^{A} détermine les espaces propres de A. Dans l’espace propre E(e^{A}, e^{λ_{i}}), la matrice A agit par la multiplication par λ_{i} (par l’injectivité de l’exponentielle réelle). Donc la matrice e^{A} détermine A.

d) On sait que la différentielle de l’application exponentielle

𝔤𝔩(n, C) → GL(n, C) , A ↦ e^{A} ,

au point A est donnée par

X ↦ \frac{e^{adA} − 1}{adA} (X e^{A}) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(k + 1)!}(adA)^{k} (X e^{A}).

Elle est bijective ssi la matrice

\frac{e^{adA} − 1}{adA}

est inversible. Or les valeurs propres de cette matrice sont les

\frac{e^{z} − 1}{z}

où z parcours les valeurs propres de adA. Ainsi la différentielle est non inversible ssi adA admet une valeur propre multiple entier non nul de 2πi. Or les valeurs propres de adA sont les différences des valeurs propres de A. Ce sont donc des réels. Ainsi la différentielle de l’exponentielle est bijective en tout point A ∈ 𝔭. La différentielle de l’application φ : 𝔭 → 𝔭^{+} au point A est la restriction de la différentielle de l’exponentielle. Elle est donc injective. Comme 𝔭 et 𝔭^{+} sont de même dimension, elle est en fait bijective. e) On sait que l’application φ est continue. D’après b) et c), elle est bijective. Grâce à d),

elle est ouverte et son application inverse est différentiable. Donc l’application φ est un difféomorphisme.

2) a) Clairement U est un sous-groupe de GL(n, C). Considérons l’application

GL(n, C) → 𝔭 , X ↦ X^{∗} X.

Elle est polynomiale et donc continue. Le sous-groupe U est l’image réciproque de {1}. Donc U est fermé. D’après le théorème de von Neumann, U est une sous-variété de GL(n, C). Comme U est un sous-groupe fermé, son algèbre de Lie est formée des matrices X ∈ 𝔤𝔩(n, C) telles que exp(tX) appartient à U pour tout t ∈ R. Or si nous avons

1 = exp(tX)^{∗} exp(tX) = exp(tX^{∗}) exp(tX)

pour tout t ∈ R, alors, en prenant la différentielle en t = 0, nous trouvons que X^{∗} + X = 0. Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, alors X^{∗} et X commutent et nous avons

exp(tX^{∗}) exp(tX) = exp(tX^{∗} + tX) = 1.

Donc l’algèbre de Lie de U est bien formée des matrices antihermitiennes.

b) Supposons que g = k exp(X), X ∈ 𝔭, k ∈ U. Alors nous avons

g^{∗}g = exp(X)^{∗} k^{∗}k exp(X) = exp(X^{∗}) exp(X) = exp(2X).

Soit maintenant g ∈ GL(n, C) quelconque. Alors g^{∗}g est une matrice hermitienne définie positive. D’après 1), il existe donc un unique X ∈ 𝔭 tel que g^{∗}g = exp(2X). En outre, d’après 1) toujours, l’application g ↦ X est différentiable. Notons que exp(−X) commute à g^{∗}g = exp(2X). Donc si nous posons k = g exp(−X), nous avons

k^{∗}k = exp(−X)g^{∗}g exp(−X) = exp(−2X)g^{∗}g = 1.

Donc k est bien unitaire. En outre, l’application g ↦ k est clairement différentiable. Finalement, nous obtenons une application différentiable

G → U × 𝔭 , g ↦ (k, X).

Par construction, elle est inverse de ψ.

c) Soit K ⊂ G un sous-groupe contenant U strictement. Alors, d’après b), K contient un élément g = k exp(X), où X est non nul. L’élément exp(X) = k^{−1}g appartient encore à K. Donc le sous-groupe exp(ZX) engendré par cet élément est contenu K. Or l’image de ce sous-groupe par la composition

G →^{ψ^{−1}} U × 𝔭 →^{p_{2}} 𝔭

n’est pas contenue dans un compact (car elle est non bornée). Donc K ne peut être compact.

3) a) L’application X ↦ X^{∗} est linéaire et donc égale à sa différentielle. Ainsi, nous avons 𝔤_{1}^{∗} = T_{e}(∗)(𝔤_{1}) ⊂ 𝔤_{1}. L’égalité en résulte pour des raisons de dimension. L’application X ↦ X^{∗} est un automorphisme linéaire de 𝔤_{1}. Il est d’ordre 2. Donc 𝔤_{1} est la somme directe de ses sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et −1. Ces sous-espaces ne sont autres que 𝔭_{1} et 𝔲_{1}. D’où la décomposition 𝔤_{1} = 𝔲_{1} ⊕ 𝔭_{1}.

b) Le sous-groupe U ∩ G_{1} est compact en tant que partie fermée du compact U. Son algèbre de Lie est formée des X ∈ 𝔤𝔩(n, C) tels que exp(tX) appartient à U ∩G_{1} pour tout t ∈ R. C’est le cas ssi exp(tX) appartient à U et à G_{1} pour tout t ∈ R. Cette condition est équivalente au fait que X appartienne à 𝔲 ∩ 𝔤_{1} = 𝔲_{1}.

c) La composante neutre de U ∩ G_{1} a la même algèbre de Lie que U ∩ G_{1}, à savoir 𝔲_{1}. En outre elle est connexe. Par la correspondance bijective entre sous-groupes de Lie connexes et sous-algèbres de Lie, la composante neutre de U ∩ G_{1} est égale à K_{1}^{0}. Elle est compacte car c’est une partie fermée du groupe compact U ∩ G_{1}. d) La partie 𝔭_{1} ⊂ 𝔭 est fermée en tant que sous-espace. En outre, la partie K_{1}^{0} ⊂ U est fermée.

Donc le produit K_{1}^{0} × 𝔭_{1} est fermé dans K_{1} × 𝔭. Ainsi son image par le difféomorphisme ψ : U × 𝔭 → G est fermée. Donc ψ_{1}(K_{1}^{0} × 𝔭_{1}) est fermé dans G et dans sa partie fermée G_{1}.

e) L’application ψ_{1} est une restriction à la source et au but de l’application ψ de 2 b). Par 2 b), sa différentielle est donc injective en tout point. Or d’après a), les espaces tangents à K_{1}^{0} × 𝔭_{1} et G_{1} ont même dimension (en tout point). Donc la différentielle de ψ_{1} est bijective partout. Il s’ensuit que ψ_{1} est un difféomorphisme local. En particulier, ψ_{1} est une application ouverte.

f) L’application ψ_{1} est injective en tant que restriction de l’application bijective ψ. Son image est fermée (d’après d) et ouverte (d’après e) dans l’espace connexe G_{1}^{0}. Donc ψ_{1} est bijective. D’après e), son inverse est différentiable. Donc ψ_{1} est un difféomorphisme.

g) Soit L ⊂ G_{1}^{0} un sous-groupe qui contient strictement K_{1}^{0}. Alors par f), il contient un élément k exp(X), où k ∈ K_{1}^{0} et X ∈ 𝔭_{1}. Donc il contient exp(X) et exp(ZX). L’image de exp(ZX) par la composition

G_{1}^{0} ⟶^{ψ_{1}^{−1}} K_{1}^{0} × 𝔭_{1} ⟶^{p_{1}} 𝔭_{1}

n’est pas contenue dans un compact. Donc L n’est pas compact. Il s’ensuit que K_{1}^{0} ⊂ G_{1} est un sous-groupe compact maximal. Il est contenu dans le sous-groupe compact U ∩ G_{1}^{0}. Donc il lui est égal.

4) a) Clairement, si X appartient à 𝔭_{1} ⊂ 𝔤_{1}, alors exp(2X) appartient à G_{1}. Supposons réciproquement que exp(2X) appartient à G_{1}. Il existe une matrice unitaire A telle que AXA^{∗} est diagonale. Le groupe G_{2} = AG_{1}A^{−1} est encore algébrique et stable par X ↦ X^{∗}. La matrice AXA^{∗} appartient à 𝔭 et exp(AXA^{∗}) à G_{2}. Si on montre que AXA^{∗} appartient à 𝔭_{2} = A𝔤_{1}A^{∗} ∩ 𝔭 = A𝔭_{1}A^{∗}, il s’ensuivra que X appartient à 𝔭_{1}. Quitte à remplacer G_{1} par G_{2}, on peut donc supposer que X est diagonale. Notons (x_{1}, …, x_{n}) ses coefficients diagonaux. Le fait que exp(2X)^{k}, k ∈ Z, appartienne à G_{1} s’exprime alors par des conditions P_{λ}(e^{2kx_{1}}, …, e^{2kx_{n}}) = 0 pour une famille de polynômes à coefficients réels P_{λ}, λ ∈ Λ. Soit P l’un des polynômes de la famille. Pour t ∈ R, on a

P (e^{2tx_{1}}, …, e^{2tx_{n}}) = ∑ a_{i} e^{t ∑ b_{ij}x_{j}}

pour certains coefficients réels a_{i} et b_{ij}. Ici, on peut supposer les d_{i} = ∑ b_{ij}x_{j} distincts deux à deux (quitte à regrouper des termes). Or on sait que les fonctions

Z → R , k ↦ e^{kd_{i}}

sont alors linéairement indépendantes (Van der Monde). Donc les coefficients a_{i} s’annulent et l’on a

P (e^{2tx_{1}}, …, e^{2tx_{n}}) = 0

pour tout t ∈ R. On conclut que exp(tX) appartient à G_{1} pour tout t ∈ R et donc que X appartient à 𝔭_{1}.

b) L’application ψ_{2} : K_{1} × 𝔭_{1} → G_{1} se restreint en ψ_{1} : K_{1}^{0} × 𝔭_{1} → G_{1}^{0}. Pour k_{1} ∈ K_{1}, on a

ψ_{2}(k_{1}k, X) = k_{1}ψ_{2}(k, X)

pour tous les k ∈ K_{1}, X ∈ 𝔭_{1}. Il s’ensuit que ψ_{2} induit un difféomorphisme de chaque composante connexe de K_{1} × 𝔭_{1} sur son image. Il reste à voir que ψ_{2} est surjective. Or si g appartient à G_{1}, il s’écrit g = k exp(X) pour un k ∈ U et un X ∈ 𝔭. En outre, on a exp(2X) = g^{∗} g ∈ G_{1}. D’après a), il s’ensuit que X appartient à 𝔭_{1} et donc k = g exp(−X) à G_{1} ∩ U = K_{1}. Ainsi, ψ_{2} est bien surjective.

II. Représentations de 𝔰𝔩(n, C)

1) a) Pour 1 ≤ i ≤ n, soit ε_{i} : 𝔥 → C la forme linéaire qui envoie une matrice diagonale de coefficients diagonaux λ_{1}, …, λ_{n} sur λ_{i}. Le système de racines est formée des

α_{ij} = ε_{i} − ε_{j} , i ≠ j.

L’espace 𝔤_{α_{ij}} a pour base la matrice E_{ij}.

b) Pour α = α_{ij}, on a H_{α} = E_{ii} − E_{jj} et on pose X_{α} = E_{ij} et Y_{α} = E_{ji}.

2) Pour v ∈ V_{χ} et H ∈ 𝔥, on a

HX_{α}v = [H, X_{α}]v + X_{α}Hv = α(H)X_{α}v + X_{α}χ(H)v = (α + χ)(H) X_{α}v

ce qui montre que X_{α}v appartient bien à l’espace V_{χ+α}.

3) Il est à noter qu’on peut montrer l’affirmation principale plus rapidement en utilisant le fait que la représentation ρ : 𝔤 → End (V) préserve la décomposition de Jordan : la sous-algèbre de Cartan 𝔥 est abélienne et formée d’éléments semisimples, donc ρ(𝔥) est abélienne et formée d’éléments semisimples. Donc les opérateurs de ρ(𝔥) sont simultanément diagonalisables. Ceci est équivalent au fait que V soit la somme directe des espaces de poids.

a) Soit {χ_{1}, …, χ_{M}} l’ensemble des formes χ telles que V_{χ} ≠ 0. Pour i ≠ j, l’espace des H ∈ 𝔥 tels que χ_{i}(H) = χ_{j}(H) est un hyperplan de 𝔥. Ces hyperplans sont en nombre fini et il existe donc H_{0} ∈ 𝔥 en dehors de leur réunion. Alors pour chaque χ_{i}, l’espace V_{χ_{i}} coïncide avec l’espace propre de l’opérateur V′ → V′, v ↦ H_{0}v pour la valeur propre χ_{i}(H_{0}). Comme les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, la somme V′ = ∑_{χ∈𝔥^{∗}} V_{χ} est bien directe.

b) Par définition, chaque espace V_{χ} est stable sous 𝔥. Grâce à 2), la somme des V_{χ} est stable sous 𝔤_{α} pour tout α ∈ R. Comme 𝔤 est la somme de 𝔥 et des 𝔤_{α}, α ∈ R, il s’ensuit que la somme des V_{χ} est un 𝔤-sous-module de V.

c) Comme l’algèbre 𝔤 est semisimple et V est un 𝔤-module de dimension finie, le théorème de Weyl nous fournit l’existence d’un sous-module V′′ supplémentaire de V′.

d) L’algèbre de Lie 𝔥 est abélienne donc en particulier résoluble. Par le théorème de Lie, il existe donc une droite 𝔥-stable dans V′′, si V′′ est non nul. Cette droite est engendrée par un vecteur propre pour 𝔥. Or, par définition de V′, tout vecteur propre pour 𝔥 appartient à V′. Cette contradiction montre que V′′ s’annule. Donc V = V′ est la somme directe des espaces V_{χ}, d’après a).

4) Si V = C^{n}, les poids sont les formes

ε_{1}, …, ε_{n}

de 1 a). On a V_{ε_{i}} = Ce_{i} et tous les poids sont de multiplicité un. Si V = 𝔤 est la représentation adjointe, la décomposition

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤

montre que les poids non nuls sont les racines. Ils sont tous de multiplicité un. Le poids 0 est de multiplicité égale à la dimension de 𝔥, c’est-à-dire n − 1.

5) a) Il est clair que (ii) implique (i) car 𝔟 = 𝔥 ⊕ 𝔫_{+}. Réciproquement, supposons la droite Cv stable par 𝔟. Alors Cv est un 𝔟-module de dimension 1 et tout commutateur de 𝔟 y agit par 0. Comme nous avons 𝔫_{+} = [𝔟, 𝔟], les X_{α}, α ∈ R^{+}, agissent par 0 dans Cv. Il est clair que v est un vecteur propre pour 𝔥.

b) Soit W un 𝔤-module non nul. Par restriction, W devient un 𝔟-module non nul de dimension finie. Comme 𝔟 est résoluble, le théorème de Lie fournit alors une droite 𝔟-stable dans W, et donc un vecteur primitif, d’après a).

6) a) Supposons que Z = X + Y où X ∈ 𝔟 et Y ∈ 𝔫_{−}. On procède par récurrence sur k. Si u ∈ Cv, on a bien Zu = Xu + Y u ∈ Cv + V^{1} ⊂ V^{1}. Supposons que u ∈ V^{k}, k > 0. Alors u est somme d’un vecteur dans V^{k−1} et d’un vecteur Y′w, où Y′ ∈ 𝔫_{−} et w ∈ V^{k−1}. Par l’hypothèse de récurrence, on peut supposer que u = Y′w. Nous avons

Zu = (X + Y)Y′w = Y Y′w + XY′w.

Comme w ∈ V^{k−1}, nous avons Y Y′w ∈ V^{k+1} et il suffit de montrer que XY′w ∈ V^{k+1}. Or nous avons

XY′w = [X, Y′]w + Y′Xw.

Par l’hypothèse de récurrence, les vecteurs [X, Y′]w et Xw appartiennent à V^{k}. Donc XY′w appartient bien à V^{k+1}. Il s’ensuit que la réunion des V^{k} est stable par 𝔤. Comme elle contient v, elle contient V′. Mais réciproquement, par récurrence sur k, chaque V^{k} appartient à V′. Donc V′ est égal à la réunion des V^{k}.

b) Il s’ensuit de a) que pour k ≥ 1, V^{k} est engendré sur C par les vecteurs de V^{k−1} et les vecteurs Y_{1} … Y_{k}v, Y_{i} ∈ 𝔫_{−}. Comme 𝔫_{−} est engendré sur C par les Y_{α}, α ∈ R^{+}, il s’ensuit que tout vecteur Y_{1} … Y_{k}v est combinaison linéaire de vecteurs Y_{α_{1}} … Y_{α_{k}}v. L’affirmation en découle par récurrence sur k.

c) Les vecteurs non nuls parmi les

u = Y_{α_{1}} … Y_{α_{k}}v ,

où α_{1}, …, α_{k} est une suite de racines positives, sont des vecteurs propres pour 𝔥 et forment une famille génératrice de V′. Nous en extrayons une base pour obtenir une base de vecteurs propres pour 𝔥. Les poids de V′ sont alors les poids des vecteurs de la base. D’après 2), ces poids sont bien de la forme

χ − ∑_{i=1}^{k} α_{i}.

d) D’après 3 a), le vecteur v n’appartient pas au sous-espace engendré par les V′_{χ′}, où χ′ ≠ χ. Il appartient donc à la base construite dans c) et c’est le seul vecteur propre de poids χ appartenant à la base. Ainsi V′_{χ} est bien de dimension un.

e) Soit U un sous-module de V′. Comme 𝔤 est semi-simple et V′ de dimension finie, le théorème de Weyl nous fournit un sous-module W ⊂ V′ supplémentaire de U. Nous avons V′_{χ} = U_{χ} ⊕ W_{χ}. Or l’espace V′_{χ} est de dimension un. Donc il est contenu dans U_{χ} ou W_{χ}. Comme il engendre V′, on a V′ = U ou V′ = W.

7) Comme V est irréductible, il est engendré par tout vecteur non nul. Donc v′ appartient au sous-module engendré par v et , d’après 6 c), nous avons

χ′ = χ − ∑_{i=1}^{k} α_{i}

pour une suite de racines positives α_{i}. De même, nous avons

χ = χ′ − ∑_{j=1}^{l} α_{j}

pour une suite de racines positives α_{j}. Donc

χ = χ − (∑_{i=1}^{k} α_{i} + ∑_{j=1}^{l} α_{j})

ce qui montre que k = l = 0 et que χ = χ′. Par 6 d), il s’ensuit que v et v′ sont proportionnels.

8) a) Clairement le vecteur (v, w) est stable par 𝔥 et annulé par tous les X_{α}, α ∈ R^{+}. C’est donc

un vecteur primitif et le sous-module U qu’il engendre est irréductible d’après 6 e).

b) La restriction de la projection V ⊕ W → V à U envoie (v, w) sur v. Elle est donc non nulle. Comme U et V sont irréductibles, cette restriction est un isomorphisme. Le même argument montre que la restriction de la projection sur W induit un isomorphisme de U sur W. On obtient donc des isomorphismes

V ←^{∼} U →^{∼} W

et V est bien isomorphe à W.

9) a) On a un isomorphisme canonique de 𝔰𝔩(2, C) sur 𝔰_{α} qui envoie X sur X_{α}, H sur H_{α} et Y sur Y_{α}. Ainsi, on peut considérer V comme un 𝔰𝔩(2, C)-module. Si v est un vecteur primitif du 𝔤-module V, il est encore un vecteur primitif du 𝔰𝔩(2, C)-module V, car il est vecteur propre de H_{α} et annulé par X_{α}. Or on sait que le poids d’un vecteur primitif d’un 𝔰𝔩(2, C)-module est un entier positif. Ainsi χ(H_{α}) est un entier positif.

b) Supposons que

χ = u_{1}ε_{1} + ⋯ + u_{n}ε_{n}.

Nous avons alors χ(H_{α_{ij}}) = u_{i} − u_{j}. La racine α_{ij} est positive ssi i < j. Il s’ensuit que χ est dominant ssi les différences u_{i} − u_{j}, i < j, sont des entiers positifs. Comme nous avons

u_{i} − u_{j} = (u_{i} − u_{i+1}) + (u_{i+1} − u_{i+2}) + ⋯ + (u_{j−1} − u_{j}) ,

il revient au même de demander que les différences u_{i} − u_{i+1} soient des entiers positifs.

c) Clairement les π_{i} sont dominants. Donc toute combinaison linéaire à coefficients entiers positifs des π_{i} est dominante. Réciproquement, si

χ = u_{1}ε_{1} + ⋯ + u_{n}ε_{n} ,

est dominant, alors

χ = (u_{1} − u_{2})π_{1} + (u_{2} − u_{3})π_{2} + ⋯ + (u_{n−1} − u_{n})π_{n−1}

est bien une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs des π_{i}.

d) Soit v = e_{1} ∧ … ∧ e_{k}. Si i < j, alors X_{α_{ij}} = E_{ij} envoie v sur 0 si j > k et sur

e_{1} ∧ … ∧ e_{j−1} ∧ e_{i} ∧ e_{j+1} ∧ … e_{k}

si j ≤ k. Ce vecteur s’annule puisque e_{i} figure parmi e_{1}, … e_{j−1}. Donc X_{α}v = 0 pour toute racine positive α. Clairement v est un vecteur propre pour 𝔥 de poids ε_{1} + … + ε_{k} = π_{k}. D’après 6 e), pour conclure que Λ^{k}V est irréductible, il suffit de montrer qu’il est engendré par v. Or si 1 ≤ m_{1} < m_{2} < … < m_{k} ≤ n, nous avons

e_{m_{1}} ∧ e_{m_{2}} ∧ … ∧ e_{m_{k}} = E_{m_{1},1}E_{m_{2},2}E_{m_{k−1},k−1}E_{m_{k},k} v.

e) Le vecteur v ⊗ v′ de V ⊗ V′ est primitif de poids χ + χ′. D’après 6 e), il engendre un sous-module irréductible de plus haut poids χ + χ′ de V ⊗ V′.

f) Soit P ⊂ 𝔥 l’ensemble des formes qui apparaissent comme le plus haut poids d’une représentation irréductible. Alors P contient les π_{i} d’après d) et il est stable par sommes grâce à e). D’après c), la forme χ appartient à P.