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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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%liste d'exercices
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\begin{document}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill Ann\'ee universitaire 1999-2000\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 28/01/2000}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Un corrig\'e de l'examen de Janvier 2000}
\end{center}

\bigskip
\noindent
{\bf I. D\'ecomposition polaire et applications}

\begin{list-of-exercises}
\item
\begin{sublist} 
\item L'application $A \mapsto A\tc$ est un endomorphisme
$\R$-lin\'eaire de $M(n,\C)$. L'ensemble $\gop$ de ses
points fixes est donc un sous-espace vectoriel r\'eel.
On sait qu'une matrice hermitienne est d\'efinie positive
ssi ses mineurs principaux sont strictement positifs.
Comme les mineurs sont des fonctions polynomiales
en les coefficients de la matrice, ce sont des
fonctions continues sur $\gop$. La partie
$\gop^+$ est donc ouverte en tant qu'image
r\'eciproque d'un ouvert par une application
continue.

\item Une matrice diagonale appartient \`a 
$\gop^+$ ssi ses coefficients diagonaux
sont des r\'eels strictement positifs.
Clairement, elle est alors de la forme
$e^A$ pour une matrice diagonale $A$ 
\`a coefficients r\'eels. Si $B\in \gop^+$
est quelconque, il existe une matrice unitaire
$U$ et une matrice diagonale \`a coefficients
diagonaux strictement positifs $D$ telles que
$B=U D U^{-1}$. On a alors $D=e^A$ pour une
matrice diagonale \`a coefficients r\'eels
$A$ et $B=U\, e^A U^{-1} = e^{UAU^{-1}}$.
Comme $UAU^{-1}$ est encore hermitienne,
la matrice $B$ appartient bien \`a l'image
de $\phi$.

\item Pour une matrice $X$, notons
$E(X,\lambda)$ l'espace propre de $X$ pour 
la valeur propre $\lambda$. Soit $A$ une matrice
hermitienne. Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$
les valeurs propres distinctes de $A$. Alors les valeurs 
propres de $e^A$ sont $e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_r}$.
Comme l'exponentielle r\'eelle est injective, elles
sont encore distinctes. En particulier, les espaces
propres $E(e^A, e^{\lambda_i})$ sont en somme directe
et les inclusions
\[
E(A, \lambda_i) \subset E(e^A, e^{\lambda_i})
\]
sont des \'egalit\'es. Ainsi, la matrice $e^A$
d\'etermine les espaces propres de $A$. Dans
l'espace propre $E(e^A, e^{\lambda_i})$, la
matrice $A$ agit par la multiplication par
$\lambda_i$ (par l'injectivit\'e de l'exponentielle
r\'eelle). Donc la matrice $e^A$ d\'etermine $A$.


\item On sait que la diff\'erentielle de l'application exponentielle
\[
\gog\gol(n,\C) \ra GL(n,\C)\ko A\mapsto e^A \ko
\]
au point $A$ est donn\'ee par
\[
X \mapsto \frac{e^{\sad A} -1}{\ad A} \, (X\, e^A) = 
\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)!} (\ad A)^k \,(X\, e^A).
\]
Elle est bijective ssi la matrice
\[
\frac{e^{\sad A}-1}{\ad A}
\]
est inversible. Or les valeurs propres de cette
matrice sont les
\[
\frac{e^z-1}{z}
\]
o\`u $z$ parcours les valeurs propres de $\ad A$.
Ainsi la diff\'erentielle est non inversible ssi
$\ad A$ admet une valeur propre multiple entier
non nul de $2\pi i$. Or les valeurs propres
de $\ad A$ sont les diff\'erences des valeurs
propres de $A$. Ce sont donc des r\'eels.
Ainsi la diff\'erentielle de l'exponentielle
est bijective en tout point $A\in\gop$.
La diff\'erentielle de l'application
$\phi: \gop \ra \gop^+$ au point $A$
est la restriction de la diff\'erentielle
de l'exponentielle. Elle est donc injective.
Comme $\gop$ et $\gop^+$ sont de m\^eme
dimension, elle est en fait bijective.

\item On sait que l'application $\phi$ est
continue. D'apr\`es b) et c), elle est bijective.
Gr\^ace \`a d), elle est ouverte et 
son application inverse est diff\'erentiable. 
Donc l'application $\phi$ est un diff\'eomorphisme.
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item 
Clairement $U$ est un sous-groupe de $GL(n,\C)$.
Consid\'erons l'application
\[
GL(n,\C) \ra \gop \ko X \mapsto X\tc\, X.
\]
Elle est polynomiale et donc continue. Le
sous-groupe $U$ est l'image r\'eciproque
de $\{1\}$. Donc $U$ est ferm\'e. D'apr\`es le
th\'eor\`eme de von Neumann, $U$ est
une sous-vari\'et\'e de $GL(n,\C)$.
Comme $U$ est un sous-groupe ferm\'e, son alg\`ebre de Lie est form\'ee
des matrices $X\in \gog\gol(n,\C)$ telles que
$\exp(tX)$ appartient \`a $U$ pour tout $t\in\R$.
Or si nous avons
\[
1= \exp(tX)\tc\, \exp(tX) = \exp(tX\tc)\,\exp(tX)
\]
pour tout $t\in \R$, alors, en prenant la diff\'erentielle
en $t=0$, nous trouvons que $X^* + X =0$. R\'eciproquement,
si cette \'egalit\'e est v\'erifi\'ee, alors $X\tc$ et $X$
commutent et nous avons
\[
\exp(tX\tc)\exp(tX)=\exp(tX\tc + t X) = 1.
\]
Donc l'alg\`ebre de Lie de $U$ est bien form\'ee des
matrices antihermitiennes.

\item Supposons que $g=k\exp(X)$, $X\in \gop$, $k\in U$.
Alors nous avons
\[
g\tc g = \exp(X)\tc \,k\tc k \exp(X) = \exp(X\tc) \exp(X) =\exp(2X).
\]
Soit maintenant $g\in GL(n,\C)$ quelconque. 
Alors $g\tc g$ est une matrice hermitienne d\'efinie
positive. D'apr\`es 1), il existe donc un unique
$X\in \gop$ tel que $g\tc g= \exp(2X)$. En outre,
d'apr\`es 1) toujours, 
l'application $g \mapsto X$ est diff\'erentiable.
Notons que $\exp(-X)$ commute \`a $g\tc g = \exp(2X)$.
Donc si nous posons $k=g\exp(-X)$, nous avons
\[
k\tc k = \exp(-X) g\tc g \exp(-X) = \exp(-2X) g\tc g = 1.
\]
Donc $k$ est bien unitaire. En outre, l'application
$g\mapsto k$ est clairement diff\'erentiable. 
Finalement, nous obtenons une application
diff\'erentiable
\[
G \ra U\times \gop\ko g \mapsto (k,X).
\]
Par construction, elle est inverse de $\psi$.


\item Soit $K\subset G$ un sous-groupe contenant
$U$ strictement. Alors, d'apr\`es b), $K$ contient
un \'el\'ement $g=k\exp(X)$, o\`u $X$ est non nul.
L'\'el\'ement $\exp(X)=k^{-1} g$ appartient encore
\`a $K$. Donc le sous-groupe $\exp(\Z X)$ engendr\'e
par cet \'el\'ement est contenu $K$. Or l'image
de ce sous-groupe par la composition
\[
G \arr{\psi^{-1}} U\times \gop \arr{p_2} \gop
\]
n'est pas contenue dans un compact (car elle est
non born\'ee). Donc $K$ ne peut \^etre compact.
\end{sublist}

\item
\begin{sublist}
\item L'application $X \mapsto X\tc$ est lin\'eaire
et donc \'egale \`a sa diff\'erentielle. Ainsi,
nous avons $\gog_1\tc= T_e(*)(\gog_1)\subset \gog_1$. 
L'\'egalit\'e en r\'esulte pour des raisons de dimension.

L'application $X \mapsto X\tc$ est un automorphisme
lin\'eaire de $\gog_1$. Il est d'ordre $2$. Donc
$\gog_1$ est la somme directe de ses sous-espaces
propres associ\'es aux valeurs propres $1$ et $-1$.
Ces sous-espaces ne sont autres que $\gop_1$ et $\gou_1$.
D'o\`u la d\'ecomposition $\gog_1=\gou_1\oplus\gop_1$.

\item Le sous-groupe $U\cap G_1$ est compact en tant
que partie ferm\'ee du compact $U$. Son alg\`ebre de 
Lie est form\'ee des $X\in \gog\gol(n,\C)$ tels
que $\exp(tX)$ appartient \`a $U\cap G_1$ pour tout
$t\in \R$. C'est le cas ssi $\exp(tX)$ appartient \`a
$U$ et \`a $G_1$ pour tout $t\in \R$. 
Cette condition est \'equivalente au fait que
$X$ appartienne \`a $\gou\cap\gog_1=\gou_1$.

\item La composante neutre de $U\cap G_1$ a 
la m\^eme alg\`ebre de Lie que $U\cap G_1$, \`a savoir
$\gou_1$. En outre elle est connexe. Par la correspondance
bijective entre sous-groupes de Lie connexes et sous-alg\`ebres
de Lie, la composante neutre de $U\cap G_1$ est
\'egale \`a $K_1^0$. Elle est compacte car c'est
une partie ferm\'ee du groupe compact $U\cap G_1$.

\item La partie $\gop_1\subset \gop$ est ferm\'ee
en tant que sous-espace. En outre, la partie
$K_1^0\subset U$ est ferm\'ee. Donc le produit
$K_1^0\times \gop_1$ est ferm\'e dans $K_1 \times \gop$.
Ainsi son image par le diff\'eomorphisme 
$\psi: U \times \gop \ra G$ est ferm\'ee. 
Donc $\psi_1(K_1^0\times \gop_1)$ est ferm\'e dans
$G$ et dans sa partie ferm\'ee $G_1$.

\item L'application  $\psi_1$ est une restriction
\`a la source et au but de l'application $\psi$
de 2 b). Par 2 b), sa diff\'erentielle est donc
injective en tout point. Or d'apr\`es a), les
espaces tangents \`a $K_1^0\times \gop_1$ et
$G_1$ ont m\^eme dimension (en tout point). 
Donc la diff\'erentielle de $\psi_1$ est
bijective partout. Il s'ensuit que $\psi_1$
est un diff\'eomorphisme local. En particulier,
$\psi_1$ est une application ouverte.

\item L'application $\psi_1$ est injective
en tant que restriction de l'application bijective
$\psi$. Son image est ferm\'ee (d'apr\`es d) et
ouverte (d'apr\`es e) dans l'espace connexe
$G_1^0$. Donc $\psi_1$ est bijective. 
D'apr\`es e), son inverse est diff\'erentiable.
Donc $\psi_1$ est un diff\'eomorphisme.

\item Soit $L\subset G_1^0$ un sous-groupe
qui contient strictement $K_1^0$. Alors par
f), il contient un \'el\'ement $k\exp(X)$,
o\`u $k\in K_1^0$ et $X\in \gop_1$. Donc
il contient $\exp(X)$ et $\exp(\Z X)$.
L'image de $\exp(\Z X)$ par la composition
\[
G_1^0 \longarr{\psi_1^{-1}} K_1^0\times \gop_1 \longarr{p_1} \gop_1
\]
n'est pas contenue dans un compact. Donc $L$
n'est pas compact. Il s'ensuit que 
$K_1^0\subset G_1$ est un sous-groupe compact maximal.
Il est contenu dans le sous-groupe compact $U\cap G_1^0$.
Donc il lui est \'egal.
\end{sublist}

\item
\begin{sublist}
\item Clairement, si $X$ appartient \`a $\gop_1\subset\gog_1$, alors
$\exp(2X)$ appartient \`a $G_1$. Supposons r\'ecipro\-quement que
$\exp(2X)$ appartient \`a $G_1$. Il existe une matrice unitaire $A$
telle que $A X A\tc$ est diagonale. Le groupe $G_2=A G_1 A^{-1}$ est
encore alg\'ebrique et stable par $X\mapsto X\tc$.  La matrice
$AXA\tc$ appartient \`a $\gop$ et $\exp(AXA\tc)$ \`a $G_2$. Si on
montre que $AXA\tc$ appartient \`a $\gop_2=A\gog_1 A\tc \cap \gop=
A\gop_1A\tc$, il s'ensuivra que $X$ appartient \`a $\gop_1$.  Quitte
\`a remplacer $G_1$ par $G_2$, on peut donc supposer que $X$ est
diagonale. Notons $(x_1, \ldots, x_n)$ ses coefficients diagonaux.  Le
fait que $\exp(2X)^k$, $k\in\Z$, appartienne \`a $G_1$ s'exprime alors
par des conditions $P_\lambda(e^{2kx_1}, \ldots, e^{2kx_n})=0$ pour
une famille de polyn\^omes \`a coefficients r\'eels $P_\lambda$,
$\lambda\in \Lambda$.  Soit $P$ l'un des polyn\^omes de la famille.
Pour $t\in \R$, on a
\[
P(e^{2tx_1}, \ldots, e^{2tx_n})= \sum a_i \,e^{t \sum b_{ij} x_j}
\]
pour certains coefficients r\'eels $a_i$ et $b_{ij}$. Ici, on 
peut supposer les $d_i=\sum b_{ij} x_j$ distincts
deux \`a deux (quitte \`a regrouper des termes).
Or on sait que les fonctions 
\[
\Z \ra \R\ko k \mapsto e^{k d_i}
\]
sont alors lin\'eairement ind\'ependantes (Van der Monde).
Donc les coefficients $a_i$ s'annulent et l'on a
\[
P(e^{2tx_1}, \ldots, e^{2tx_n})= 0
\]
pour tout $t\in \R$. On conclut que
$\exp(tX)$ appartient \`a $G_1$ pour tout
$t\in \R$ et donc que $X$ appartient \`a $\gop_1$.


\item L'application $\psi_2: K_1\times \gop_1 \ra G_1$
se restreint en $\psi_1: K_1^0 \times \gop_1 \ra G_1^0$.
Pour $k_1\in K_1$, on a
\[
\psi_2(k_1 k,X) = k_1 \psi_2(k,X)
\]
pour tous les $k\in K_1$, $X\in \gop_1$. Il s'ensuit que
$\psi_2$ induit un diff\'eomorphisme de chaque composante
connexe de $K_1\times \gop_1$ sur son image. Il reste
\`a voir que $\psi_2$ est surjective. Or si $g$ appartient
\`a $G_1$, il s'\'ecrit $g=k\exp(X)$ pour un $k\in U$ et un
$X\in \gop$. En outre, on a $\exp(2X)= g\tc\,g\in G_1$.
D'apr\`es a), il s'ensuit que $X$ appartient \`a
$\gop_1$ et donc $k=g\exp(-X)$ \`a $G_1\cap U=K_1$.
Ainsi, $\psi_2$ est bien surjective.


\end{sublist}

\end{list-of-exercises}

\newpage
\noindent
{\bf II. Repr\'esentations de $\gos\gol(n,\C)$}

\begin{list-of-exercises}
\item
\begin{sublist} 
\item Pour $1\leq i\leq n$, soit $\eps_i: \goh\ra\C$ la forme
lin\'eaire qui envoie une matrice diagonale de coefficients diagonaux
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sur $\lambda_i$. Le syst\`eme
de racines est form\'ee des
\[
\alpha_{ij} = \eps_i -\eps_j\ko i\neq j.
\]
L'espace $\gog_{\alpha_{ij}}$ a pour base la matrice
$E_{ij}$. 
\item Pour $\alpha=\alpha_{ij}$, on a $H_\alpha= E_{ii} - E_{jj}$
et on pose $X_\alpha=E_{ij}$ et $Y_\alpha=E_{ji}$.
\end{sublist}
\item Pour $v\in V_\chi$ et $H\in \goh$, on a
\[
H X_\alpha v = [H,X_\alpha] v + X_\alpha H v = \alpha(H) X_\alpha v +
X_\alpha \chi(H) v = (\alpha+\chi)(H) \, X_\alpha v
\]
ce qui montre que $X_\alpha v$ appartient bien \`a
l'espace $V_{\chi+\alpha}$.

\item Il est \`a noter qu'on peut montrer l'affirmation principale plus
rapidement en utilisant le fait que la repr\'esentation
$\rho: \gog \ra \End(V)$ pr\'eserve la d\'ecomposition
de Jordan : la sous-alg\`ebre de Cartan $\goh$ est ab\'elienne et form\'ee
d'\'el\'ements semisimples, donc $\rho(\goh)$ est ab\'elienne et
form\'ee d'\'el\'ements semisimples. Donc les op\'erateurs
de $\rho(\goh)$ sont simultan\'ement diagonalisables.
Ceci est \'equivalent au fait que $V$ soit la somme
directe des espaces de poids.
\begin{sublist}
\item Soit $\{\chi_1, \ldots, \chi_M\}$ l'ensemble des formes
$\chi$ telles que $V_\chi\neq 0$. Pour $i\neq j$, l'espace
des $H\in \goh$ tels que $\chi_i(H)=\chi_j(H)$
est un hyperplan de $\goh$. Ces hyperplans sont
en nombre fini et il existe donc $H_0\in \goh$ en dehors de
leur r\'eunion. Alors pour chaque $\chi_i$, l'espace
$V_{\chi_i}$ co\"{\i}ncide avec l'espace propre de
l'op\'erateur $V' \ra V', v \mapsto H_0v$ pour la valeur propre
$\chi_i(H_0)$. Comme les espaces propres associ\'es
\`a des valeurs propres distinctes sont en somme directe,
la somme $V'=\sum_{\chi\in \goh^*} V_\chi$ est bien directe.

\item Par d\'efinition, chaque espace $V_\chi$ est stable
sous $\goh$. Gr\^ace \`a 2), la somme des $V_\chi$ est stable
sous $\gog_\alpha$ pour tout $\alpha\in R$. Comme $\gog$ est
la somme de $\goh$ et des $\gog_\alpha$, $\alpha \in R$,
il s'ensuit que la somme des $V_\chi$ est un $\gog$-sous-module
de $V$.

\item Comme l'alg\`ebre $\gog$ est semisimple et $V$ est
un $\gog$-module de dimension finie, le th\'eor\`eme
de Weyl nous fournit l'existence d'un sous-module
$V''$ suppl\'ementaire de $V'$.

\item L'alg\`ebre de Lie $\goh$ est ab\'elienne donc
en particulier r\'esoluble. Par le th\'eor\`eme de Lie,
il existe donc une droite $\goh$-stable dans $V''$,
si $V''$ est non nul. Cette droite est engendr\'ee
par un vecteur propre pour $\goh$. Or, par d\'efinition
de $V'$, tout vecteur propre pour $\goh$ appartient
\`a $V'$. Cette contradiction montre que $V''$ s'annule.
Donc $V=V'$ est la somme directe des espaces
$V_\chi$, d'apr\`es a).

\end{sublist}

\item Si $V=\C^n$, les poids sont les formes
\[
\eps_1, \ldots, \eps_n
\]
de 1 a). On a $V_{\eps_i}=\C e_i$ et tous les poids sont de
multiplicit\'e un. Si $V=\gog$ est la repr\'esentation
adjointe, la d\'ecomposition
\[
\gog = \goh \oplus \bigoplus_{\alpha \in R} \gog
\]
montre que les poids non nuls sont les racines. Ils sont
tous de multiplicit\'e un. Le poids $0$ est de multiplicit\'e
\'egale \`a la dimension de $\goh$, c'est-\`a-dire $n-1$.

\item 
\begin{sublist}
\item Il est clair que (ii) implique (i) car
$\gob=\goh\oplus \gon_+$. R\'eciproquement,
supposons la droite $\C v$ stable par $\gob$. Alors
$\C v$ est un $\gob$-module de dimension $1$ et
tout commutateur de $\gob$ y agit par $0$. 
Comme nous avons $\gon_+=[\gob,\gob]$, les
$X_\alpha$, $\alpha\in R^+$, agissent par $0$ dans
$\C v$. Il est clair que $v$ est un vecteur propre
pour $\goh$. 

\item Soit $W$ un $\gog$-module non nul. Par restriction,
$W$ devient un $\gob$-module non nul de dimension finie. Comme
$\gob$ est r\'esoluble, le th\'eor\`eme de Lie fournit alors
une droite $\gob$-stable dans $W$, et donc un vecteur primitif,
d'apr\`es a).
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Supposons que $Z=X+Y$ o\`u $X\in \gob$ et $Y\in \gon_-$.
On proc\`ede par r\'ecurrence sur $k$. Si $u\in \C v$, on a bien
$Zu= Xu + Yu \in \C v + V^1 \subset V^1$. Supposons que
$u\in V^k$, $k>0$. Alors $u$ est somme d'un vecteur dans $V^{k-1}$
et d'un vecteur $Y'w$, o\`u $Y'\in \gon_-$ et $w\in V^{k-1}$.
Par l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, on peut supposer que
$u=Y'w$. Nous avons
\[
Zu = (X+Y) Y' w = Y Y' w + X Y' w.
\]
Comme $w\in V^{k-1}$, nous avons $YY'w\in V^{k+1}$ et il
suffit de montrer que $XY'w \in V^{k+1}$. Or nous avons
\[
XY'w = [X,Y']w + Y' Xw.
\]
Par l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, les vecteurs
$[X,Y']w$ et $Xw$ appartiennent \`a $V^k$. Donc $XY'w$
appartient bien \`a $V^{k+1}$.

Il s'ensuit que la r\'eunion des $V^k$ est stable par $\gog$.
Comme elle contient $v$, elle contient $V'$. Mais r\'eciproquement,
par r\'ecurrence sur $k$, chaque $V^k$ appartient \`a $V'$.
Donc $V'$ est \'egal \`a la r\'eunion des $V^k$.

\item Il s'ensuit de a) que pour $k\geq 1$, $V^k$ est engendr\'e sur $\C$ par
les vecteurs de $V^{k-1}$ et les vecteurs $Y_1 \ldots Y_k v$,
$Y_i\in \gon_-$. Comme $\gon_-$ est engendr\'e sur $\C$ par
les $Y_\alpha$, $\alpha\in R^+$, il s'ensuit que tout
vecteur $Y_1 \ldots Y_k v$ est combinaison lin\'eaire
de vecteurs $Y_{\alpha_1} \ldots Y_{\alpha_k} v$. 
L'affirmation en d\'ecoule par r\'ecurrence sur $k$.

\item Les vecteurs non nuls parmi les
\[
u= Y_{\alpha_1} \ldots Y_{\alpha_k} v \ko
\]
o\`u $\alpha_1$, \ldots, $\alpha_k$ est une suite de
racines positives, sont des vecteurs propres pour $\goh$
et forment une famille g\'en\'eratrice de $V'$. 
Nous en extrayons une base pour obtenir une base
de vecteurs propres pour $\goh$. Les poids de $V'$
sont alors les poids des vecteurs de la base.
D'apr\`es 2), ces poids sont bien de la forme
\[
\chi - \sum_{i=1}^k \alpha_i.
\]

\item D'apr\`es 3 a), le vecteur $v$ n'appartient pas au sous-espace
engendr\'e par les $V'_{\chi'}$, o\`u $\chi'\neq \chi$. Il appartient
donc \`a la base construite dans c) et c'est le seul vecteur
propre de poids $\chi$ appartenant \`a la base. Ainsi
$V'_{\chi}$ est bien de dimension un.

\item Soit $U$ un sous-module de $V'$. Comme $\gog$ est semi-simple
et $V'$ de dimension finie, le th\'eor\`eme de Weyl nous fournit
un sous-module $W\subset V'$ suppl\'ementaire de $U$. Nous avons
$V'_\chi=U_\chi\oplus W_\chi$. Or l'espace $V'_\chi$ est de dimension
un. Donc il est contenu dans $U_\chi$ ou $W_\chi$. Comme
il engendre $V'$, on a $V'=U$ ou $V'=W$.
\end{sublist}

\item Comme $V$ est irr\'eductible, il est engendr\'e par
tout vecteur non nul. Donc $v'$ appartient au sous-module
engendr\'e par $v$ et , d'apr\`es
6 c), nous avons
\[
\chi'= \chi - \sum_{i=1}^k \alpha_i
\]
pour une suite de racines positives $\alpha_i$. De m\^eme, nous avons
\[
\chi= \chi'-\sum_{j=1}^l \alpha_j
\]
pour une suite de racines positives $\alpha_j$. Donc
\[
\chi = \chi - (\sum_{i=1}^k \alpha_i + \sum_{j=1}^l \alpha_j)
\]
ce qui montre que $k=l=0$ et que $\chi=\chi'$. Par 6 d), il s'ensuit
que $v$ et $v'$ sont proportionnels.


\item 
\begin{sublist}
\item Clairement le vecteur $(v,w)$ est stable par $\goh$
et annul\'e par tous les $X_\alpha$, $\alpha\in R^+$. 
C'est donc un vecteur primitif et le sous-module $U$ qu'il
engendre est irr\'eductible d'apr\`es 6 e).

\item La restriction de la projection $V\oplus W \ra V$
\`a $U$ envoie $(v,w)$ sur $v$. Elle est donc non nulle.
Comme $U$ et $V$ sont irr\'eductibles, cette restriction
est un isomorphisme. Le m\^eme argument montre que
la restriction de la projection sur $W$ induit un
isomorphisme de $U$ sur $W$. On obtient donc des
isomorphismes
\[
V \liso U \iso W
\]
et $V$ est bien isomorphe \`a $W$.
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item On a un isomorphisme canonique de $\gos\gol(2,\C)$ sur
$\gos_\alpha$ qui envoie $X$ sur $X_\alpha$,
$H$ sur $H_\alpha$ et $Y$ sur $Y_\alpha$. Ainsi, on 
peut consid\'erer $V$ comme un $\gos\gol(2,\C)$-module.
Si $v$ est un vecteur primitif du $\gog$-module $V$, il
est encore un vecteur primitif du $\gos\gol(2,\C)$-module
$V$, car il est vecteur propre de $H_\alpha$ et annul\'e
par $X_\alpha$. Or on sait que le poids d'un vecteur
primitif d'un $\gos\gol(2,\C)$-module est un entier
positif. Ainsi $\chi(H_\alpha)$ est un entier positif.

\item Supposons que
\[
\chi= u_1 \eps_1 + \cdots + u_n \eps_n.
\]
Nous avons alors $\chi(H_{\alpha_{ij}})= u_i-u_j$. La
racine $\alpha_{ij}$ est positive ssi $i<j$. Il s'ensuit
que $\chi$ est dominant ssi les diff\'erences
$u_i-u_j$, $i<j$, sont des entiers positifs. Comme nous avons
\[
u_i-u_j = (u_i-u_{i+1}) + (u_{i+1}-u_{i+2}) + \cdots + (u_{j-1}-u_j)\ko
\]
il revient au m\^eme de demander que les diff\'erences
$u_i-u_{i+1}$ soient des entiers positifs.

\item Clairement les $\pi_i$ sont dominants. Donc toute
combinaison lin\'eaire \`a coefficients entiers positifs des
$\pi_i$ est dominante. R\'eciproquement, si 
\[
\chi= u_1 \eps_1 + \cdots + u_n \eps_n\ko
\]
est dominant, alors
\[
\chi= (u_1-u_2) \pi_1 + (u_2-u_3) \pi_2 + \cdots + (u_{n-1}-u_n) \pi_{n-1}
\]
est bien une combinaison lin\'eaire \`a coefficients entiers
positifs des $\pi_i$. 


\item Soit $v=e_1 \wedge \ldots \wedge e_k$. Si $i<j$, alors
$X_{\alpha_{ij}}=E_{ij}$ envoie $v$ sur $0$ si $j>k$ et sur
\[
e_1\wedge \ldots \wedge e_{j-1}\wedge e_i \wedge e_{j+1} \wedge 
\ldots e_k
\]
si $j\leq k$.
Ce vecteur s'annule puisque $e_i$ figure parmi $e_1$, \ldots $e_{j-1}$.
Donc $X_\alpha v=0$ pour toute racine positive $\alpha$. 
Clairement $v$ est un vecteur propre pour $\goh$ de poids
$\eps_1 + \ldots + \eps_k=\pi_k$. D'apr\`es 6~e), pour
conclure que $\Lambda^k V$ est irr\'eductible, il suffit
de montrer qu'il est engendr\'e par $v$. Or si
$1 \leq m_1 < m_2 < \ldots < m_k \leq n$, nous avons
\[
e_{m_1} \wedge e_{m_2} \wedge \ldots\wedge e_{m_k}
= E_{m_1,1} E_{m_2,2} E_{m_{k-1}, k-1}  E_{m_k,k}\, v.
\]

\item Le vecteur $v\ten v'$ de $V\ten V'$ est primitif
de poids $\chi+\chi'$. D'apr\`es 6 e), il engendre un
sous-module irr\'eductible de plus haut poids $\chi+\chi'$
de $V\ten V'$.

\item Soit $P\subset \goh$ l'ensemble des formes qui apparaissent
comme le plus haut poids d'une repr\'esentation irr\'eductible.
Alors $P$ contient les $\pi_i$ d'apr\`es d) et il est
stable par sommes gr\^ace \`a e). D'apr\`es c), la
forme $\chi$ appartient \`a $P$.

\end{sublist}


\end{list-of-exercises}

\end{document}


