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%\newcommand{\titredoc}{Examen de Janvier 2001}
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\newcommand{\titredoc}{Un corrig\'e de l'examen de Janvier 2001}
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\begin{document}
%\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2000-2001\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 26/01/2001}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titredoc}\\
\end{center}
\bigskip
\bigskip

\noindent
{\bf I. Un exercice sur l'alg\`ebre de Lie simple de type $G_2$}

\bigskip\noindent
Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie simple complexe et $\goh$ une
sous-alg\`ebre de Cartan de $\gog$. On suppose que le syst\`eme
de racines associ\'e \`a $(\gog, \goh)$ est le le syst\`eme
$G_2$ ci-dessous.
\[
\epsfbox{g2.eps}
\]

\noindent
\begin{list-of-exercises}

\item Quels sont le rang et la dimension de $\gog$~? Justifier.

\solution{Nous avons 
\[
\gog=\goh\oplus \bigoplus_{\alpha\in R} \gog^\alpha.
\]
La dimension de $\goh$ est \'egale \1a $2$ (\'egale au rang du syst\1eme de
racines) et la dimension de $\gog^\alpha$ vaut $1$ pour toutes les racines.
Comme le nombre de racines est $12$, la dimension de $\gog$ est $14$.
}

\item Soit $0\neq X_\alpha\in \gog^\alpha$. Montrer que $\ad X_\alpha$
est nilpotent et calculer son indice de nilpotence (i.e. le plus petit
entier $n\geq 0$ tel que $(\ad X_\alpha)^n=0$).

\solution{Rappelons que $[\gog^\lambda,\gog^\mu] \subset \gog^{\lambda+\mu}$ quels
que soient $\lambda,\mu\in \goh^*$. 
Comme $\alpha\neq 0$, l'espace
$\gog^{\lambda+n\alpha}$ s'annule sauf pour un nombre fini de
$n\in\N$. Donc l'op\'erateur $\ad X_\alpha$ est bien nilpotent. 

Comme le montre le dessin du syst\1eme, si $\lambda=0$ ou
$\lambda\in R$, alors $\gog^{\lambda+4\alpha}=0$. Donc
$X_\alpha$ est d'indice de nilpotence $\leq 4$. 
De l'autre c\^ot\'e, on sait que si $\lambda$, $\mu$ et
$\lambda+\mu$ sont des racines, alors $[\gog^\lambda,\gog^\mu] = \gog^{\lambda+\mu}$.
Ainsi, les espaces $(\ad X_\alpha)(\gog^{\beta})$, 
$(\ad X_\alpha)^2(\gog^{\beta})$ et
$(\ad X_\alpha)^3(\gog^{\beta})$ sont non nuls et
$X_\alpha$ est d'indice de nilpotence $\geq 4$.

Donc $\ad X_\alpha$ est d'indice de nilpotence $4$.}


\item Soit $H_\alpha\in \goh$ la racine inverse de $\alpha$. Rappeler
la d\'efinition de la racine inverse. Soit $Y_\alpha$ un \'el\'ement
de $\gog^{-\alpha}$ tel que $(X_\alpha, H_\alpha, Y_\alpha)$ est un $\sl_2$-triplet.
Quelle libert\'e a-t-on dans le choix de $Y_\alpha$ ?

\solution{Soit $s_\alpha$ l'unique sym\'etrie telle que $s_\alpha(\alpha)=-\alpha$
et $s_\alpha(R)\subset R$. Par d\'efinition, la racine inverse $\alpha^*$ est l'unique
vecteur dans $\goh=\goh^{**}$ tel que
\[
s_\alpha(\lambda)= \lambda - \langle \alpha^*,  \lambda \rangle \, \alpha\ko \fa \lambda \in \goh^*.
\]
L'\'el\'ement $Y_\alpha$ est unique. En effet, on sait que 
$\gog^{-\alpha}$ est de dimension $1$. Si l'on a un autre \'el\'ement
$Y'_\alpha$, il est donc \'egal \`a $x \, Y_\alpha$ pour un $x\in\C$.
L'\'egalit\'e $[X_\alpha, Y'_\alpha]=H_\alpha$ implique que $x=1$. 
}

\item On consid\`ere la repr\'esentation de $\sl(2,\C)$ donn\'ee par
le $\sl_2$-triplet d'endomorphismes de $\gog$
\[
(\ad X_\alpha, \ad H_\alpha, \ad Y_\alpha).
\]
Quelle est la d\'ecomposition de cette repr\'esentation en 
repr\'esentations irr\'eductibles~?

\solution{L'examen du dessin de $G_2$ r\'ev\1ele les sous-modules
simples suivants :
\[
\begin{array}{l} \gog^{2\beta+3\alpha} \\
\gog^{\beta} \oplus \gog^{\beta+\alpha} \oplus \gog^{\beta+2\alpha} \oplus \gog^{\beta+3\alpha} \\
\gog^{-\alpha} \oplus \C H_\alpha \oplus \gog^{\alpha} \\
\ker \,\alpha \\
\gog^{-\beta-3\alpha} \oplus \gog^{-\beta-2\alpha} \oplus \gog^{-\beta-\alpha} \oplus \gog^{-\beta} \\
\gog^{-2\beta-3\alpha}
\end{array}
\]
Leur somme est \'egale \1a $\gog$.
Ainsi $\gog$ est isomorphe en tant que $\sl_2$-module \1a 
$V_0^3\oplus V_2 \oplus V_3^2$, o\`u $V_i$ d\'esigne le $\sl_2$-module
simple de dimension $i+1$.}

\item En d\'eduire le rang de $(\ad X_\alpha)^2$.

\solution{On voit que l'image de $(\ad X_\alpha)^2$ est 
\[
(\gog^{\beta+2\alpha}\oplus  \gog^{\beta+3\alpha}) \oplus \gog^{\alpha} \oplus 
(\gog^{-\beta-\alpha} \oplus \gog^{-\beta}).
\]
Donc $(\ad X_\alpha)^2$ est de rang $5$.}

\item Calculer la dimension de l'espace $E$ des endomorphismes
lin\'eaires $f: \gog \ra \gog$ qui commutent \`a $\ad X_\alpha$
et $\ad Y_\alpha$ et la dimension du sous-espace $D\subset E$
form\'e des d\'erivations dans $E$.

\solution{Un endomorphisme qui commute avec $X_\alpha$ et $Y_\alpha$,
commute aussi avec $[X_\alpha,Y_\alpha]=H_\alpha$. Donc $E$
est l'espace des endomorphismes du $\sl_2$-module $\gog$.
Donc
\[
E \iso \End(V_0^3\oplus V_2 \oplus V_3^2).
\]
Par le lemme de Schur, nous avons $\Hom(V_i,V_j)=0$ si
$i\neq j$ et $\Hom(V_i,V_i)=k$. En outre, nous avons
\[
\Hom(U,V\oplus W ) \iso \Hom(U,V) \oplus \Hom(U,W)
\]
et
\[
\Hom(U\oplus V, W) \iso \Hom(U,W) \oplus \Hom(V,W)
\]
quels que soient les modules $U,V,W$.
Il s'ensuit que 
\[
\End(V_0^3\oplus V_2 \oplus V_3^2)\iso M(3,\C) \oplus \C \oplus M(2,\C)
\]
et que $E$ est de dimension $9+1+4=14$.
Comme $\gog$ est semi-simple, toutes ses d\'erivations
sont int\'erieures et $\ad : \gog \ra \gl(\gog)$ est
un isomorphisme sur l'alg\1ebre des d\'erivations.
Il s'agit donc de d\'eterminer le centralisateur
de $X_\alpha$ dans $\gog$, c'est-\1a-dire le noyau
de $\ad X_\alpha$. Chaque facteur simple de la
d\'ecomposition de $\gog$ en $\sl_2$-modules simples
contribue une dimension. Donc $D$ est de dimension $6$.
}

\end{list-of-exercises}



\noindent
{\bf II. Le radical est l'orthogonal de l'alg\`ebre d\'eriv\'ee}

\bigskip\noindent
On note $\gog=\got(n,\C)$ l'alg\`ebre de Lie des matrices triangulaires
sup\'erieures, $\gon=\gon(n,\C)$ la sous-alg\`ebre des matrices
strictement triangulaires sup\'erieures et $K$ la forme de Killing
de $\gog$. On pose $\gon_0=\gog$ et $\gon_{i+1}=[\gon,\gon_i]$ pour
tout $i\in\N$.

\begin{list-of-exercises}


\item Montrer que $\gon$ est inclus dans le noyau de $K$. 
Indication~: on pourra se servir du fait que $\gon_{i}=0$ pour $i\geq n$.

\solution{On voit par r\'ecurrence sur $i$ que $\gon_i$ est un
id\'eal de $\gog$. Donc pour $Y\in \gog$, on a $\ad(Y)(\gon_i)\subset
\gon_i$. Pour $X\in\gon$, on a par d\'efinition $\ad(X)(\gon_i)\subset
\gon_{i+1}$. Donc pour $X\in \gog$ et $Y\in \gon$, on a
\[
\ad(X)\,\ad(Y)(\gon_i)\subset \gon_{i+1}\, .
\]
Comme $\gon_i$ s'annule pour $i>n$, l'op\'erateur $\ad(X)\ad(Y)$
est nilpotent et 
\[
K(X,Y)=\tr(\ad(X)\,\ad(Y))=0.
\]
}

\item Montrer que la forme de Killing est donn\'ee par
\[
K(X,Y)= a \,\tr(XY) - b \,\tr(X) \,\tr(Y)
\]
pour deux entiers $a$ et $b$ que l'on d\'eterminera.

\solution{Comme $K$ est sym\'etrique, il suffit de calculer $K(X,X)$. 
D'apr\1es le point pr\'ec\'edent, on peut supposer que $X$ est diagonale. 
L'op\'erateur $\ad X$ est alors diagonal par rapport \1a la base 
des $E_{ij}$, $1\leq i \leq j \leq n$.
Si les scalaires $\lambda_i$, $1\leq i\leq n$, sont les coefficients diagonaux
de $X$, on a $\ad(X)(E_{ij})=(\lambda_i-\lambda_j)\, E_{ij}$.
On a donc
\begin{eqnarray*}
\tr(\ad(X)^2) & = & \sum_{1\leq i\leq j \leq n} (\lambda_i - \lambda_j)^2 \\
        & = &   n\,  (\sum_i \lambda_i^2) - \,(\sum_i \lambda_i)^2 \\
        & = &  n \, \tr(X^2) - (\tr X)^2.
\end{eqnarray*}
Il s'ensuit que
\[
K(X,Y)= n \,\tr(XY) - (\tr X)(\tr Y).
\]
}

\item Montrer que le noyau de $K$  est la somme directe de 
$\gon$ avec la sous-alg\`ebre des matrices scalaires.

\solution{Notons $\gos$ la sous-alg\`ebre des matrices scalaires
et $\got$ la sous-alg\`ebre des matrices diagonales de trace nulle.
Nous avons
\[
\gog = \gon \oplus \gos \oplus \got.
\]
D'apr\`es le point pr\'ec\'edent, la somme $\gon\oplus \gos$ 
est contenue dans le noyau de $K$. De l'autre
c\^ot\'e, la restriction de $K$ \1a la sous-alg\1ebre 
$\got$ est non d\'eg\'en\'er\'ee. D'o\1u l'\'egalit\'e.
}

\item V\'erifier que l'orthogonal de l'alg\`ebre de Lie d\'eriv\'ee
$[\gog,\gog]$ est \'egal au radical de $\gog$ alors que l'orthogonal
du radical est strictement plus grand que la sous-alg\`ebre
d\'eriv\'ee.

\solution{L'alg\1ebre d\'eriv\'ee est \'egale \1a $\gon$. Comme
elle est contenue dans le noyau de $K$, son orthogonal est $\gog$.
Comme $\gog$ est r\'esoluble, elle est \'egale \1a son radical.
D'o\1u l'\'egalit\'e annonc\'ee. 

L'orthogonal du radical est l'orthogonal de $\gog$, c'est-\1a-dire
le noyau de $K$. On a vu dans le point pr\'ec\'edent qu'il \'etait
\'egal \1a la somme de l'alg\1ebre d\'eriv\'ee avec la sous-alg\1ebre
des matrices scalaires.
}

\end{list-of-exercises}




\bigskip
\noindent
Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie complexe de dimension finie.
Soit $\gor$ son radical et $K$ sa forme de Killing. On se propose
de montrer que $\gor$ est l'orthogonal de l'alg\`ebre d\'eriv\'ee
$[\gog,\gog]$ pour la forme de Killing.

\begin{list-of-exercises}
\setcounter{exo}{4}

\item Soit $\goa$ l'orthogonal de l'alg\`ebre d\'eriv\'ee
  $[\gog,\gog]$ pour la forme de Killing. Montrer que $\goa$ est
  un id\'eal et qu'il est r\'esoluble. En d\'eduire qu'il est
  contenu dans le radical.

\solution{Comme l'alg\1ebre d\'eriv\'ee est un id\'eal et que la
forme de Killing est invariante, l'orthogonal de l'alg\1ebre
d\'eriv\'ee est encore un id\'eal. Montrons que $\ad_\gog \goa$
est r\'esoluble. En effet, $\ad_\gog \goa$ est une alg\1ebre de
Lie lin\'eaire et par le crit\1ere de Cartan, il suffit
de v\'erifier que
\[
\tr(fg)=0
\]
pour $f\in \ad_\gog\goa$ et $g\in [\ad_\gog\goa,\ad_\gog\goa]$. Or pour
$f=\ad X$ et $g=[\ad Y,\ad Z] = \ad[Y,Z]$, nous avons
\[
\tr(fg)=K(X,[Y,Z])=0
\]
par d\'efinition de $\goa$. Donc $\ad_\gog \goa$ est bien
r\'esoluble. Il s'ensuit que $\goa$ est r\'esoluble,
car il est extension de $\ad_\gog \goa$ par l'alg\1ebre 
ab\'elienne $\goa \cap Z(\gog)$. 
}

\item On se propose de montrer que r\'eciproquement, le radical
$\gor$ est bien orthogonal \`a l'alg\`ebre d\'eriv\'ee (et donc
contenu dans $\goa$).
\begin{sublist}
\item Soit $U$ un \'el\'ement de $\gog$. Montrer que l'espace vectoriel
$\C U + \gor$ est une sous-alg\`ebre r\'esoluble de $\gog$.
Montrer ensuite que $\ad[U,Z]$ est nilpotent pour tout $Z\in \gor$.

\solution{Nous avons
\[
[\C U + \gor, \C U +\gor] \subset \gor
\]
car $\gor$ est un id\'eal. Tout comme son alg\1ebre d\'eriv\'ee,
$\C U +\gor$ est donc r\'esoluble. Consid\'erons la repr\'esentation
\[
\ad : \C U +\gor \ra \gl(\gog).
\]
D'apr\1es le th\'eor\1eme de Lie, il existe un drapeau $F$ de
$\gog$ tel que $\ad(\C U + \gor)\subset \gob(F)$. Il s'ensuit
que $\ad[U,Z]$ appartient \1a $[\gob(F),\gob(F)]=\gon(F)$ pour
tout $Z\in\gor$. En particulier, l'op\'erateur $\ad[Z,U]$ est
nilpotent.
}

\item Soient $X,Y$ des \'el\'ements de $\gog$ et $Z\in\gor$.
Montrer que $\gog$ admet un drapeau $F$ tel que
$\ad(X)\subset \gob(F)$ et $\ad[Y,Z]\subset \gon(F)$.

\solution{Consid\'erons la sous-alg\1ebre r\'esoluble $\C X + \gor$. 
D'apr\1es le th\'eor\1eme de Lie, il existe un drapeau de $\gog$
tel que $\ad(\C X + \gor) \subset \gob(F)$. 
En particulier, nous avons $\ad(X)\in \gob(F)$ et
$\ad[Y,Z]\in \gob(F)$. Or d'apr\1es le point pr\'ec\'edent,
l'op\'erateur $\ad[Y,Z]$ est nilpotent. Il appartient donc
\1a $\gon(F)$.
}

\item Montrer que $\gor$ est orthogonal \`a l'alg\`ebre
d\'eriv\'ee $[\gog,\gog]$ et conclure.

\solution{Soient $X,Y\in \gog$ et $Z\in \gor$. Nous avons
\[
K([X,Y],Z) = K(X,[Y,Z])=\tr(\ad(X)\ad[Y,Z]).
\]
D'apr\'es le point pr\'ec\'edent, il existe un drapeau
$F$ de $\gog$ tel que $\ad(X)\in \gob(F)$ et $\ad[Y,Z]\in \gon(F)$.
Donc $\ad(X)\ad[Y,Z]$ appartient \1a $\gon(F)$ et sa trace
s'annule. Il s'ensuit que $\gor$ est bien orthogonal
\1a $[\gog,\gog]$ et que $\gor \subset \goa$. 
Au paragraphe pr\'ec\'edent, on a montr\'e
l'inclusion inverse. Donc $\gor=\goa$.
}

\end{sublist}
\end{list-of-exercises}



\bigskip
\noindent
{\bf III. Une propri\'et\'e des tores maximaux dans les groupes compacts}

\bigskip\noindent
Soit $T\subset U(n)$ le sous-groupe des matrices diagonales
unitaires dans $U(n)$. On se propose de calculer le normalisateur $N(T)$ 
de $T$ dans $U(n)$.

\begin{list-of-exercises}

\item Soit $g \in N(T)$. Montrer que $g$ permute les axes de
coordonn\'ees $D_1, \ldots, D_n$. En d\'eduire que $g$ est une {\em matrice
  monomiale}, c'est-\`a-dire que chaque colonne et chaque ligne
de $g$ contient un coefficient non nul et un seul.
Indication\,: si $t\in T$ est \1a coefficients diagonaux
distincts deux \1a deux, les $D_i$ sont les espaces propres
de $t$.

\solution{Soit $t\in T$ une matrice diagonale \1a coefficients
diagonaux distincts deux \1a deux. Alors
les droites $D_i$ sont les espaces propres de $t$. Par
hypoth\1ese, la matrice $g tg^{-1}$ est encore diagonale
et bien s\^ur ses valeurs propres sont celles de $t$. 
Ses espaces propres sont \'egalement les droites $D_i$.
De l'autre c\^ot\'e, on sait que les espaces propres de 
$gtg^{-1}$ sont les images par $g$ des espaces propres de $t$.
Donc $g$ permute les droites $D_i$. 

Soit $\sigma$ la
permutation telle que $g(D_i)=D_{\sigma(i)}$.
Alors la $i$-\1eme colonne de $g$ est multiple
non nul de $e_{\sigma(i)}$ ce qui entra\^{\i}ne que $g$ est monomiale.
}

\item Pour $g\in N(T)$, soit $\pi(g)$ la permutation telle
que $g D_i= D_{\pi(g)(i)}$. Montrer que l'on a une suite
exacte
\[
1 \ra T \ra N(T) \arr{\pi} S_n \ra 1
\]
et que $T=N(T)_0$. En d\'eduire que $T$ est un sous-groupe
ab\'elien connexe maximal.

\solution{Clairement, $\pi$ est surjective (la permutation $\sigma$
est l'image de l'application lin\'eaire qui envoie $e_i$ sur
$e_{\sigma(i)}$). 
Son noyau est form\'e
des matrices $g$ telles que $g(D_i)= D_i$ pour tout $i$.
Donc le noyau est \'egal \`a $T$. Comme $T$ est connexe,
on a $T\subset N(T)_0$. Comme $N(T)_0$ est connexe et
$S_n$ discret, $\pi$ est constante sur $N(T)_0$ et
$N(T)_0$ est contenu dans le noyau de $\pi$, 
c'est-\`a-dire dans $T$. Si $T'\supset T$ est un sous-groupe
connexe ab\'elien, alors $T'$ est
contenu dans $N(T)$ (car $T'$ est ab\'elien) et
m\^eme dans $N(T)_0$ (car $T'$ est connexe). Or
$N(T)_0=T$ et on a donc $T'=T$.
}

\end{list-of-exercises}



\bigskip
\noindent
Soit $K$ un groupe de Lie r\'eel compact. Soit $T\subset K$ un
sous-groupe ab\'elien connexe et qui est maximal
pour ces propri\'et\'es.
\begin{list-of-exercises}
\setcounter{exo}{2}
\item Montrer que $T$ est ferm\'e. En d\'eduire qu'il est un
groupe de Lie connexe, compact ab\'elien. Que peut-on dire
de la structure de $T$ ?

\solution{Par continuit\'e de la multiplication et du passage \`a
l'inverse, l'adh\'erence de $T$ est encore un sous-groupe ab\'elien et clairement
il est connexe. On conclut par la maximalit\'e de $T$.
On sait alors que l'exponentielle $\exp: \Lie(T) \ra T$
induit un isomorphisme de groupes de Lie $\Lie(T)/\Gamma \iso T$
o\1u $\Gamma$ est un sous-groupe discret du groupe ab\'elien
topologique $\Lie(T)$. Comme $T$ est compact, $\Gamma$ est
en fait un r\'eseau, c'est-\1a-dire un sous-groupe engendr\'e
sur $\Z$ par une base de l'espace vectoriel $\Lie(T)$.}

\item Montrer que le groupe des automorphismes de groupe de Lie 
de $T$ s'identifie \`a un sous-groupe discret $\Lambda$ de
$GL(\Lie(T))$. 

\solution{On consid\1ere l'homomorphisme
\[
Aut(T) \ra GL(\Lie(T))
\]
donn\'e par la diff\'erentielle. Il est injectif et son image
est form\'ee des automorphismes $\phi$ tels que $\phi(\Gamma)= \Gamma$.
Si on choisit une base de $\Gamma$, ce dernier groupe s'identifie
\1a $GL(n,\Z)$, sous-groupe discret de $GL(n,\R)$ identifi\'e
\1a $GL(\Lie(T))$.}


\item Soit $N(T)$ le normalisateur de $T$ dans $K$. 
Montrer que $N(T)$ est un sous-groupe de Lie ferm\'e de $K$. 
Montrer que l'action par conjugaison de $N(T)_0$ dans $T$ est triviale.

\solution{Pour tout $t\in T$, l'ensemble $N_t$ des $g\in K$
tels que $g t g^{-1} \in T$ est ferm\'e car l'application
$g \mapsto gtg^{-1}$ est continue et $T$ est ferm\'e.
Le normalisateur $N(T)$ est ferm\'e car il est
l'intersection des $N_t$, $t\in T$. Par le th\'eor\`eme de
von Neumann, $N(T)$ est un sous-groupe de Lie ferm\'e.

L'image de $N(T)_0$ dans le groupe discret $\Lambda$ est
connexe donc r\'eduite \1a l'\'el\'ement neutre.}

\item Soit $\gamma: \R \ra N(T)_0$ un sous-groupe \`a
un param\`etre. Montrer que l'ensemble $\gamma(\R) T$
est un sous-groupe ab\'elien connexe de $K$ et d\'eduire
qu'il est \'egal \`a $T$.

\solution{D'apr\1es le point pr\'ec\'edent, les \'el\'ements
$\gamma(x)$, $x\in \R$, commutent \1a tous les \'el\'ements
de $T$. Donc $\gamma(\R) T$ est bien un sous-groupe et il est
bien ab\'elien. 
Il est connexe car image de $\R\times T$ par
l'application continue \'evidente. Par maximalit\'e de
$T$, il est \'egal \1a $T$.
}

\item Montrer que $N(T)_0$ est \'egal \`a $T$ et 
d\'eduire que $N(T)/T$ est fini.

\solution{Les sous-groupes \1a un param\1etre
de $N(T)_0$ couvrent un voisinage de l'\'el\'ement
neutre dans $N(T)_0$. Ils sont contenus dans $T$. Ce groupe doit
ainsi contenir un voisinage de l'\'el\'ement neutre dans
$N(T)_0$. Comme $N(T)_0$ est connexe, on a $N(T)_0\subset T$.
L'inclusion r\'eciproque est claire. Donc on a
bien $N(T)_0=T$. 

Comme $N(T)$ est un sous-groupe ferm\'e du groupe
compact $K$, il est compact. Donc il n'a qu'un nombre
fini de composantes connexes. Comme $N(T)_0=T$, 
cela signifie que $N(T)/T$ est fini.
}


\end{list-of-exercises}

\end{document}


\bigskip
\noindent
{\bf IV. Automorphismes qui laissent fixe une sous-alg\`ebre de Cartan}

\bigskip
\noindent
Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie semi-simple complexe et $\goh$ une
sous-alg\`ebre de Cartan. 

\begin{list-of-exercises}
\item Soit $H_0\in \goh$. Montrer que $\phi=e^{\sad H_0}$ est un automorphisme
de $\gog$ tel que $\phi(H)=H$ pour tout $H\in\goh$.

\solution{Comme $\ad H_0 : \gog \ra \gog$ est une d\'erivation, son exponentielle
est un automorphisme. Pour $H\in \goh$, on a $(\ad H_0)(H)=0$. 
Donc $\exp(\ad H_0)$ se restreint \1a l'identit\'e sur $\goh$.}

\end{list-of-exercises}

R\'eciproquement, soit $\phi: \gog\ra\gog$ un automorphisme
de $\gog$ tel que $\phi(H)=H$ pour tout $H\in \goh$. On se propose de montrer
que $H=\exp(\ad H_0)$ pour un $H_0\in \goh$.

\begin{list-of-exercises}
\setcounter{exo}{1}
\item Soit 
\[
\gog = \goh \oplus \bigoplus_{\alpha \in R} \gog^\alpha
\]
la d\'ecomposition de $\gog$ sous l'action de $\ad \goh$. 
Montrer que $\phi(\gog^\alpha)= \gog^\alpha$ pour tout
$\alpha\in R$.

\solution{Soit $X\in \gog^\alpha$. Pour $H\in \goh$, on a
\[
[H, \phi(X)] = [\phi(H), \phi(X)] = \phi([H,X]) = \alpha(H) \phi(X).
\]
Donc $\phi(X)$ est encore dans $\gog^\alpha$. Comme $\phi$ est
un automorphisme, sa restriction \`a $\gog^\alpha$ est injective
et on a $\phi(\gog^\alpha)=\gog^\alpha$. 
}


\item Pour $\alpha\in R$, soit $c_a\in \C$ tel que
$\phi(X)=c_\alpha X$ pour tout $X\in \gog^\alpha$.
Montrer que $c_{\alpha+\beta}= c_\alpha c_\beta$ 
et $c_\alpha c_{-\alpha} = 1$ si $\alpha$, $\beta$ et
$\alpha+\beta$ sont des racines.

\solution{Soient $X_\alpha$ et $X_\beta$ des g\'en\'erateurs
de $\gog^\alpha$ et $\gog^\beta$. On sait qu'alors 
$[X_\alpha,X_\beta]$ est un g\'en\'erateur de $\gog^{\alpha+\beta}$.
On a 
\[
c_{\alpha+\beta} [X_\alpha, X_\beta] = \phi([X_\alpha, X_\beta])
= [\phi(X_\alpha), \phi(X_\beta)] = c_\alpha\, c_\beta\, [X_\alpha, X_\beta].
\]
D'o\1u la premi\1ere \'egalit\'e. Pour la seconde, on choisit
un g\'en\'erateur $Y_\alpha$ de $\gog^{-\alpha}$. On sait alors que 
$[X_\alpha, Y_\alpha]$ est un \'el\'ement non nul de $\goh$ et on
en d\'eduit que $c_\alpha c_{-\alpha}=1$.
}

\item Soit $S\subset R$ une base du syst\`eme de racines.
Montrer que si $c_\alpha=1$ pour toutes les racines
simples, alors $\phi$ est l'identit\'e de $\gog$.


\solution{Soit $\beta$ une racine positive. On sait qu'il existe
une suite de racines simples $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$
telle que
\[
\beta = \alpha_1 + \ldots + \alpha_k
\]
et que chaque somme partielle $\alpha_1+ \ldots + \alpha_h$, $h\leq
k$, soit encore une racine. Par r\'ecurrence sur $h$, on d\'eduit
du point pr\'ec\'edent que $c_\beta=1$. Comme $c_\beta
\,c_{-\beta}=1$, on a aussi $c_{-\beta}=1$. Il s'ensuit que
$\phi$ est l'identit\'e sur $\gog^\beta$ pour toute racine 
$\beta$. Comme $\phi$ se restreint aussi \`a l'identit\'e
sur $\goh$, $\phi$ est l'identit\'e de $\gog$.
}

\item Soit $S\subset R$ une base du syst\`eme de racines.
Montrer qu'il existe $H_0\in \goh$ tel que
$\exp(\ad H_0)$ et $\phi$ co\"{\i}ncident sur $\gog^\alpha$
pour toutes les racines simples. En d\'eduire que 
$\phi=\exp(\ad H_0)$.


\solution{Pour toute racine simple $\alpha$ soit $z_\alpha$ un nombre
complexe tel que $e^{z_\alpha}=c_\alpha$. On sait que les racines simples 
forment une base sur $\C$ du dual de $\goh$. Il existe donc un
\'el\'ement $H_0$ dans $\goh$ tel que $\alpha(H_0)=z_\alpha$ pour
toute racine simple $\alpha$. On a alors 
\[
\exp(\ad H_0)(X_\alpha) = \exp(\alpha(H_0)) X_\alpha = c_\alpha X_\alpha.
\]
Donc les coefficients $c_\alpha$ associ\'es \1a $\phi^{-1} \circ \exp(\ad H_0)$
sont tous \'egaux \1a $1$. D'apr\1es le point pr\'ec\'edent,
$\phi^{-1} \exp(\ad H_0)$ est l'identit\'e de $\gog$.
}



\end{list-of-exercises}





\bigskip
\noindent
{\bf V. Trois groupes isomorphes}

\begin{list-of-exercises}

\item Montrer que 
\[
SO(3,\C) = \{ A\in GL(3,\C)\; | \; \;^t A A = \id \,\mbox{ et }\, \det A =1\;\}
\]
est un groupe de Lie et d\'eterminer son alg\`ebre de Lie $\so(3,\C)$.

\item Montrer que l'ensemble $S^1_\sC$ form\'e de couples $(x,y)$
de nombres complexes tels que
\[
x^2+y^2=1
\]
est connexe.

\item Montrer que l'ensemble des matrices complexes $2\times 2$
de d\'eterminant nul et de trace non nulle est connexe.

\item En d\'eduire que l'ensemble des quadruplets $(x,y,z,t)$ de
nombres complexes tels que $x^2+y^2+z^2+t^2=0$ et $t\neq 0$ est
connexe. Indication~: on pourra consid\'erer la matrice
\[
\left(\begin{array}{cc}
t+iz & ix-y \\ 
ix+y & t-iz
\end{array}
\right).
\]

\item Montrer que $SO(3,\C)/SO(2,\C)$ est hom\'eomorphe \`a
la sph\`ere complexe
\[
S^2_\sC = \{ (u,v,w)\in \C^3\; | \; u^2+v^2+w^2=1\; \}.
\]
Indication~: on pourra utiliser un th\'eor\`eme bien connu
trait\'e en TD.

\item En d\'eduire que $SO(3,\C)$ est connexe.
Indication~: on commencera par \'etablir que le
cercle complexe $S^1_\sC$ et la sph\`ere complexe
$S^2_\sC$ sont connexes.

\item D\'eterminer les composantes connexes de $O(3,\C)$.

\item Montrer que si $q$ est une forme quadratique non
  d\'eg\'en\'er\'ee sur $\C^3$, alors $O(3,\C)$ est isomorphe
\`a 
\[
O(q) = \{ A\in GL(3,\C) \; | \; q(Av)=q(v)\; 
\mbox{pour tous }v \in \C^3\}.
\]
Indication~: Il existe une base orthonorm\'ee pour $q$.

\item Montrer que les groupes de Lie
\[
PSL(2,\C)= SL(2,\C) / \{ \pm \id\}
\]
et $SO(3,\C)$ sont isomorphes.
Indication~: on fera op\'erer $SL(2,\C)$ par congruence sur l'ensemble
des matrices sym\'etriques $2\times 2$ par
\[
(A,S) \mapsto A S\;^t A.
\]
On notera que la forme $q(S)=\det S$ est non d\'eg\'en\'er\'ee et
invariante par cette action.

\item Montrer que $\so(3,\C)$ est une alg\`ebre de Lie simple de
rang $1$. Montrer que toute matrice dans $\sl(2,\C)$ ou $\so(3,\C)$
est semi-simple ou nilpotente. Indication~: consid\'erer le
polyn\^ome caract\'eristique.

\item Expliciter toutes les sous-alg\`ebres de Cartan de
$\sl(2,\C)$ et $\so(3,\C)$.

\item Montrer que l'exponentielle n'est pas surjective pour
$SL(2,\C)$ (question de cours) mais qu'elle l'est pour $SO(3,\C)$.
Indication~: ceci revient \`a d\'emontrer que pour toute matrice
$A\in SL(2,\C)$, l'une au moins parmi $A$ et $-A$ est une
exponentielle.

\item Soit $\goh$ la sous-alg\`ebre de Cartan de $\so(3,\C)$ form\'ee des
matrices
\[
\left(\begin{array}{ccc} 
0 & 0 & \lambda \\
0 & 0 & 0 \\
-\lambda & 0 & 0 
\end{array}
\right)
\]
D\'eterminer l'\'el\'ement $H_\alpha$ canoniquement associ\'e \`a
$\goh$. Compl\'eter $H_\alpha$ en un $\sl_2$-triplet. Indication~: on pourra se
servir de la forme bilin\'eaire invariante $(X,Y) \mapsto \tr(XY)$.

\item D\'eterminer l'orbite de $H_\alpha$ sous l'action adjointe de
$SO(3,\C)$ et montrer que ses \'el\'ements \`a coefficients r\'eels
forment une sph\1ere de rayon $2$.

\item Soit $q: \R^4 \ra \R$ la forme quadratique
\[
q(x,y,r,s) = x^2 -y^2 -r^2 -s^2,
\]
et $O(3,1)$ le groupe des $g\in GL(4,\R)$ tels que $q(gv)= q(v)$
pour tout $v\in \R^4$. Montrer que  le groupe de Lie r\'eel $PSL(2,\C)$ est isomorphe
\`a la composante connexe de $O(3,1)$.
Indication~: faire op\'erer $SL(2,\C)$ par congruence hermitienne sur les
matrices de la forme
\[
\left( 
\begin{array}{cc}
x+y & r-is \\
r+is & x-y 
\end{array}
\right)
\]


\end{list-of-exercises}

\end{document}



