Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1998-1999 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 25/01/99

Un corrigé de l’examen de Janvier 1999

1) a) Puisque 𝔞 est résoluble, il existe, d’après le théorème de Lie, une forme linéaire λ sur 𝔞 telle que V_{λ} ≠ 0. D’après le lemme cité dans le sujet, V_{λ} est un 𝔤-sous-module de V. Puisque V est simple et V_{λ} est non nul, on doit avoir V = V_{λ} de façon que X ∈ 𝔞 agit dans V par le scalaire λ(X)1_{V}. Il s’ensuit que si Y ∈ 𝔤, alors le commutateur [ρ(X), ρ(Y)] = [λ(X)1_{V} , ρ(Y)] s’annule. Donc [𝔤, 𝔞] agit bien par 0 dans V.

b) D’après a), tout X ∈ [𝔤, 𝔞] agit par 0 dans V_{i}/V_{i−1}. Cela signifie que XV_{i} ⊂ V_{i−1}.

c) Soit X ∈ [𝔤, 𝔞] et Y ∈ 𝔤. Nous avons ρ(Y)V_{i} ⊂ V_{i} et ρ(X)V_{i} ⊂ V_{i−1} de façon que ρ(X)ρ(Y)V_{i} ⊂ V_{i−1}. Il s’ensuit que l’opérateur ρ(X)ρ(Y) est nilpotent et donc b_{V} (X, Y) = 0. Ainsi, [𝔤, 𝔞] est bien orthogonal sur 𝔤 par rapport à b_{V}.

2) a) (i) implique (ii) : La représentation adjointe de 𝔤 est semisimple ssi 𝔤 possède la propriété (∗)

Si 𝔞 est un idéal de 𝔤, alors il existe un idéal 𝔟 tel que 𝔤 = 𝔞 ⊕ 𝔟.

Soit 𝔞 un idéal de 𝔤. Montrons que la propriété (∗) est encore vraie pour 𝔞. En effet, nous avons 𝔤 = 𝔞 ⊕ 𝔟 pour un autre idéal, et [𝔞, 𝔟] ⊂ 𝔞 ∩ 𝔟 = 0. Il s’ensuit que si 𝔞′ est un idéal de 𝔞, alors 𝔞′ ⊕ 𝔟 est un idéal de 𝔤 et donc 𝔤 = 𝔞′ ⊕ 𝔟 ⊕ 𝔟′ pour un idéal 𝔟′ de 𝔤. Alors la projection le long de 𝔟 induit un isomorphisme 𝔞′ ⊕ 𝔟′ →^{∼} 𝔞. Il s’ensuit qu’il existe un ídéal 𝔞′′ de 𝔞 tel que 𝔞 = 𝔞′ ⊕ 𝔞′′. Donc 𝔞 hérite bien de la propriété (∗). Il s’ensuit que si 𝔞 est indécomposable, alors il n’admet pas d’idéaux propres. Donc soit il est abélien de dimension 1 soit il est simple. Comme 𝔤 est de dimension finie, il se décompose en une somme finie d’idéaux indécomposables. On prend pour 𝔞 la sous-somme des idéaux abéliens et pour 𝔰 la sous-somme des idéaux simples. (ii) implique (iii) : Soit n = dim 𝔞. Alors 𝔞 est isomorphe à l’algèbre des matrices diagonales n × n et la représentation naturelle des matrices diagonales dans C^{n} fournit une représentation V_{a} de 𝔞. Soit V_{s} = 𝔰 muni de la représentation adjointe de 𝔰. On pose V = V_{a} ⊕ V_{s} et on fait agir 𝔤 = 𝔞 ⊕ 𝔰 de la façon naturelle sur V :

(A, X).(v_{a}, v_{s}) = (Av_{a}, Xv_{s})

pour A ∈ 𝔞, X ∈ 𝔰, v_{a} ∈ V_{a}, v_{s} ∈ V_{s}. Alors la forme associée à V est égale à la somme orthogonale d’une forme non dégénérée sur 𝔞 et de la forme de Killing sur 𝔰. Elle est donc non dégénérée. (iii) implique (iv) : Le centre de 𝔤 est abélien donc résoluble et il est donc contenu dans le radical, qui est le plus grand idéal résoluble. Notons 𝔯 le radical. Alors d’après l’exercice précédent, l’idéal [𝔤, 𝔯] est orthogonal sur 𝔤 pour toute forme bilinéaire b_{V} associée à une représentation de dimension finie. Par hypothèse, il existe V telle que b_{V} est non dégénérée. Donc [𝔤, 𝔯] s’annule ce qui signifie que 𝔯 est contenu dans le centre de 𝔤. (iv) implique (i) : Notons ρ la représentation adjointe. Le centre de 𝔤 est le noyau de ρ. Donc si le centre contient le radical 𝔯, alors ρ induit une représentation de l’algèbre semi-simple 𝔤/𝔯. La représentation ρ est donc semi-simple en tant que représentation de 𝔤/𝔯. Mais les sous-espaces invariants par 𝔤/𝔯 sont exactement les sous-espaces invariants par 𝔤, de façon que ρ est semi-simple en tant que représentation de 𝔤.

b) Pour X ∈ 𝔥, le centralisateur de X est la somme directe de 𝔥 et des espaces poids 𝔤^{α}, α ∈ R, tels que α(X) = 0. c) Soit R^{+} l’ensemble des racines positives par rapport à une base de R. On sait que la

décomposition

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R^{+}}(𝔤^{α} + 𝔤^{−α})

est orthogonale par rapport à la forme de Killing (en fait : par rapport à toute forme invariante). Or 𝔤(X) est égale à une sous-somme. Il s’sensuit que 𝔤 est la somme orthogonale de 𝔤(X) et de son orthogonal. Donc la restriction de la forme de Killing à 𝔤(X) est non dégénérée.

d) Par restriction de la représentation adjointe de 𝔤 à 𝔤(X), on munit 𝔤 d’une structure de 𝔤(X)-module. La forme bilinéaire associée est la restriction à 𝔤(X) de la forme de Killing de 𝔤. Nous venons de voir que cette forme est non dégénérée. D’après le point a) (iii) de l’exercice précédent, il s’ensuit que 𝔤(X) est réductive.

3) a) On a

x y_{1}y_{2} = (x, y_{1}) y_{1}x y_{2} = (x, y_{1}) y_{1} (x, y_{2}) y_{2}x = (x, y_{1}) ^{y_{1}}(x, y_{2}) y_{1}y_{2}x

ce qui montre la première égalité et

x_{1}x_{2}y = x_{1} (x_{2}, y) yx_{2} = ^{x_{1}}(x_{2}, y) x_{1}yx_{2} = ^{x_{1}}(x_{2}, y) (x_{1}, y) yx_{1}x_{2}

ce qui montre la deuxième.

b) Posons

x = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ) et y = ( \begin{matrix}0 & b \\ c & 0 \end{matrix} ) .

On a

y = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}d & 0 \\ 0 & c \end{matrix} )

et on calcule que

(x, y) = ( \begin{matrix}ad^{−1} & 0 \\ 0 & a^{−1}d \end{matrix} ) .

Clairement les trois autres types de commutateurs sont triviaux. Le groupe (G, G) est donc le sous-groupe de GL(2, R) formé des matrices

( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & t^{−1} \end{matrix} ) .

c) Soit φ : G → G un automorphisme de G. On a φ((x, y)) = (φ(x), φ(y)) pour tous les x, y ∈ G. Donc φ((G, G)) ⊂ (G, G). Comme φ^{−1} est encore un automorphisme, on a aussi l’inclusion inverse. Soient x, y ∈ G. L’égalité xy = (x, y) yx montre que les images de x et y dans G/(G, G) commutent. Donc G/(G, G) est abélien. Soit π : G → G/H la projection canonique. Si G/H est abélien, on a π((x, y)) = (π(x), π(y)) = e pour tous les x, y ∈ G. Donc H contient (G, G).

d) Comme X = X^{−1}, le groupe G est égal à l’ensemble des produits x_{1}x_{2} … x_{n}, n ∈ N, d’éléments x_{1}, …, x_{n} de X. Soit L le sous-groupe engendré par les éléments de la forme g(x, y)g^{−1}, g ∈ G, x, y ∈ X. Comme (G, G) est distingué, il contient L. Soit x ∈ X. Montrons que (x, h) appartient à L pour tous les h ∈ G. En effet, comme X = X^{−1}, nous avons h = x_{1} … x_{n} pour certains x_{1}, …, x_{n} dans X. On procède par récurrence sur n. Par définition, nous avons (x, x_{1}) ∈ L. Par l’hypothèse de récurrence, si h_{1} = x_{1} … x_{n−1}, nous avons (x, h_{1}) ∈ L. Il s’ensuit que l’élément (x, h_{1}x_{n}) = (x, h_{1})^{h_{1}}(x, x_{n}) appartient à L. Fixons h ∈ G. Un argument analogue (basé sur la seconde formule de a) montre que (g, h) appartient à L pour tout g ∈ G. Donc tous les (g, h), g, h ∈ G, appartiennent à L et (G, G) est contenu dans L. e) Si G est le sous-groupe de b), la composante neutre de G est formé des matrices diagonales

dans G. Elle est donc commutative et 𝔤 est commutatif. Donc [𝔤, 𝔤] = 0. De l’autre côté, le calcul de b) montre que (G, G) ≠ e.

f) Soit U_{1} un voisinage de 0 dans 𝔤 tel que exp est un difféomorphisme de U_{1} sur son image et que pour tous X, Y ∈ U_{1} on a la formule de Campbell-Hausdorff

exp(X) exp(Y) = exp(X + Y + R(X, Y)) ,

où R(X, Y) est la somme d’une infinité de crochets itérés de X et Y. En particulier, nous avons R(X, Y) ∈ [𝔤, 𝔤]. Soit U un voisinage symétrique de 0 dans 𝔤 tel que exp(U)^{3} ⊂ exp(U_{1}). Alors pour X, Y ∈ U, nous avons

exp(X) exp(Y) = exp(X + Y + R_{1}) ,

où R_{1} ∈ 𝔥 et exp(X + Y + R_{1}) ∈ exp(U)^{2}, puis

exp(X) exp(Y) exp(−X) = exp(X + Y + R_{1}) exp(−Y) = exp(X + R_{2}) ,

où R_{2} ∈ 𝔥 et exp(X + R_{2}) ∈ exp(U)^{3}, puis

exp(X) exp(Y) exp(−X) exp(−Y) = exp(X + R_{2}) exp(−X) = exp(Z) ,

où Z = R(X + R_{2}, −X) ∈ 𝔥. Comme G est connexe, il est engendré par exp(U). Comme exp(U) est un voisinage de e qui est symétrique et générateur, le sous-groupe (G, G) est engendré, d’après a), par les éléments

g exp(X) exp(Y) exp(−X) exp(−Y)g^{−1}

où X, Y ∈ U et g ∈ G. Donc il est contenu dans le sous-groupe engendré par les

g exp(Z)g^{−1} = exp(Ad(g)Z)

où g ∈ G et Z ∈ 𝔥. Or nous avons Ad(g)𝔥 ⊂ 𝔥 puisque Ad(g) est un automorphisme de G. Il s’ensuit que les g exp(Z)g^{−1}, Z ∈ 𝔥, g ∈ G, engendrent H et que (G, G) ⊂ H.

g) L’application α_{g} est la composition des applications

G → G × G , x ↦ (gxg^{−1}, x) et G × G → G , (x, y) ↦ xy^{−1} .

Leurs différentielles en e resp. (e, e) sont

𝔤 → 𝔤 × 𝔤 , X ↦ (Ad(g)X, X) et 𝔤 × 𝔤 → 𝔤 , (X, Y) ↦ X − Y .

La différentielle T_{e}α_{g} est donc la composition :

(T_{e}α_{g})(X) = (Ad(g) − 1)(X).

h) Fixons X ∈ 𝔤. Soit f : G → 𝔥 l’application g ↦ (Ad(g) − 1)(X) et soit V le sous-espace de 𝔥 engendré par l’image de f. Clairement V contient l’image de 𝔤 par l’application tangente de f. Or cette application est

𝔤 → 𝔥 , Y ↦ ad(Y)(X).

Donc V contient [𝔤, X]. Il s’ensuit que l’espace engendré par les (Ad(g) − 1)(X), g ∈ G, X ∈ 𝔤, contient [𝔤, 𝔤] = 𝔥.

i) La différentielle de α au point (e, …, e) est donnée par

𝔤 × ⋯ × 𝔤 → 𝔥 , (X_{1}, …, X_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n}(T_{e}α_{g_{i}})(X_{i}).

En utilisant le point précédent, nous trouvons g_{1}, …, g_{n} tels que la somme des images des T_{e}α_{g_{i}} soit égale à 𝔥. Ceci signifie que la différentielle de α en (e, …, e) est surjective.

j) Le sous-groupe (G, G) contient l’image de l’application α du point précédent. Puisque α est submersive au point (e, …, e), son image contient un voisinage de e dans H. Comme H est connexe, il est engendré par tout voisinage de e. Donc H est inclus dans (G, G).