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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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%liste d'exercices
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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\begin{document}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 25/01/99}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Un corrig\'e de l'examen de Janvier 1999}
\end{center}

\bigskip

\begin{list-of-exercises}


\item 
\begin{sublist}
\item Puisque $\goa$ est r\'esoluble, il existe, d'apr\`es
le th\'eor\`eme de Lie, une forme lin\'eaire $\lam$ sur $\goa$
telle que $V_\lam\neq 0$. D'apr\`es le lemme cit\'e dans
le sujet, $V_\lam$ est un $\gog$-sous-module de $V$.
Puisque $V$ est simple et $V_\lam$ est non nul, on
doit avoir $V=V_\lam$ de fa\c{c}on que $X\in \goa$
agit dans $V$ par le scalaire $\lam(X)\id_V$. 
Il s'ensuit que si $Y\in \gog$, alors le commutateur
$[\rho(X),\rho(Y)]=[\lam(X)\id_V, \rho(Y)]$ s'annule.
Donc $[\gog,\goa]$ agit bien par $0$ dans $V$.

\item D'apr\`es a), tout $X\in [\gog,\goa]$ agit par
$0$ dans $V_i/V_{i-1}$. Cela signifie que $X V_i\subset V_{i-1}$.

\item Soit $X\in [\gog,\goa]$ et $Y\in\gog$. Nous avons
$\rho(Y)V_i\subset V_i$ et $\rho(X) V_i\subset V_{i-1}$
de fa\c{c}on que $\rho(X)\rho(Y) V_i \subset V_{i-1}$.
Il s'ensuit que l'op\'erateur $\rho(X)\rho(Y)$ est nilpotent
et donc $b_V(X,Y)=0$. Ainsi, $[\gog,\goa]$ est bien
orthogonal sur $\gog$ par rapport \`a $b_V$.
\end{sublist}


\item
\begin{sublist}
\item
(i) implique (ii) : La repr\'esentation adjointe de $\gog$ est
semisimple ssi $\gog$ poss\`ede la propri\'et\'e~$(*)$
\begin{quote}
Si $\goa$ est un id\'eal de $\gog$, alors il existe un
id\'eal $\gob$ tel que $\gog=\goa\oplus\gob$.
\end{quote}
Soit $\goa$ un id\'eal de $\gog$.
Montrons que la propri\'et\'e $(*)$ est encore vraie
pour $\goa$. En effet, nous avons $\gog=\goa\oplus \gob$ pour un 
autre id\'eal, et $[\goa,\gob]\subset \goa\cap\gob=0$.
Il s'ensuit que si $\goa'$ est un id\'eal de $\goa$,
alors $\goa'\oplus \gob$ est un id\'eal de $\gog$
et donc $\gog=\goa'\oplus\gob\oplus \gob'$ pour un
id\'eal $\gob'$ de $\gog$. Alors la projection le
long de $\gob$ induit un isomorphisme 
$\goa'\oplus\gob' \iso \goa$. Il s'ensuit qu'il
existe un \'id\'eal $\goa''$ de $\goa$ tel que
$\goa=\goa'\oplus \goa''$. Donc $\goa$ h\'erite bien
de la propri\'et\'e $(*)$. Il s'ensuit que si
$\goa$ est ind\'ecomposable, alors il n'admet pas
d'id\'eaux propres. Donc soit il est ab\'elien de
dimension $1$ soit il est simple. Comme $\gog$ est
de dimension finie, il se d\'ecompose en une somme
finie d'id\'eaux ind\'ecomposables. On prend pour
$\goa$ la sous-somme des id\'eaux ab\'eliens 
et pour $\gos$ la sous-somme des id\'eaux simples.

(ii) implique (iii) : Soit $n=\dim \goa$. Alors
$\goa$ est isomorphe \`a l'alg\`ebre des matrices
diagonales $n\times n$ et la repr\'esentation
naturelle des matrices diagonales dans $\C^n$
fournit une repr\'esentation $V_a$ de $\goa$. Soit
$V_s=\gos$ muni de la repr\'esentation adjointe de $\gos$.
On pose $V=V_a\oplus V_s$ et on fait agir
$\gog=\goa\oplus \gos$ de la fa\c{c}on naturelle sur $V$ :
\[
(A,X). (v_a, v_s)= (A v_a, X v_s)
\]
pour $A\in\goa, X\in\gos, v_a\in V_a, v_s\in V_s$.
Alors la forme associ\'ee \`a $V$ est \'egale
\`a la somme orthogonale d'une forme non d\'eg\'en\'er\'ee
sur $\goa$ et de la forme de Killing sur $\gos$.
Elle est donc non d\'eg\'en\'er\'ee.

(iii) implique (iv) : Le centre de $\gog$ est ab\'elien
donc r\'esoluble et il est donc contenu dans le radical,
qui est le plus grand id\'eal r\'esoluble. Notons $\gor$
le radical. Alors d'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent,
l'id\'eal $[\gog,\gor]$ est orthogonal sur $\gog$
pour toute forme bilin\'eaire $b_V$ associ\'ee
\`a une repr\'esentation de dimension finie.
Par hypoth\`ese, il existe $V$ telle que $b_V$ est
non d\'eg\'en\'er\'ee. Donc $[\gog,\gor]$ s'annule
ce qui signifie que $\gor$ est contenu dans le
centre de $\gog$. 

(iv) implique (i) : Notons $\rho$ la repr\'esentation
adjointe. Le centre de $\gog$ est le noyau
de $\rho$. Donc si le centre
contient le radical $\gor$, alors $\rho$
induit une repr\'esentation de l'alg\`ebre
semi-simple $\gog/\gor$. La repr\'esentation $\rho$
est donc semi-simple en tant que repr\'esentation
de $\gog/\gor$. Mais les sous-espaces invariants par
$\gog/\gor$ sont exactement les sous-espaces invariants
par $\gog$, de fa\c{c}on que $\rho$
est semi-simple en tant que repr\'esentation de $\gog$. 

\item Pour $X\in \goh$, le centralisateur de $X$ est la somme
directe de $\goh$ et des espaces poids $\gog^\alpha$, $\alpha\in R$, tels que
$\alpha(X)=0$. 

\item Soit $R^+$ l'ensemble des racines positives par rapport
\`a une base de $R$. On sait que la d\'ecomposition
\[
\gog=\goh\oplus \bigoplus_{\alpha \in R^+} (\gog^\alpha+\gog^{-\alpha})
\]
est orthogonale par rapport \`a la forme de Killing (en fait : par
rapport \`a toute forme invariante). Or $\gog(X)$ est \'egale
\`a une sous-somme. Il s'sensuit que $\gog$
est la somme orthogonale de $\gog(X)$ et de son orthogonal.
Donc la restriction de la forme de Killing \`a $\gog(X)$ 
est non d\'eg\'en\'er\'ee.

\item Par restriction de la repr\'esentation adjointe de $\gog$
\`a $\gog(X)$, on munit $\gog$ d'une structure de $\gog(X)$-module.
La forme bilin\'eaire associ\'ee est la restriction \`a $\gog(X)$ de la
forme de Killing de $\gog$. Nous venons de voir que cette
forme est non d\'eg\'en\'er\'ee. D'apr\`es le point a) (iii) de
l'exercice pr\'ec\'edent, il s'ensuit que $\gog(X)$ est r\'eductive.
\end{sublist}


\item
\begin{sublist}
\item On a
\[
x \,y_1 y_2 = (x,y_1)\, y_1 x \,y_2 
= (x, y_1) \, y_1 \, (x,y_2)\, y_2 x 
= (x, y_1) \, \,^{y_1}(x,y_2)\, y_1 y_2 x
\]
ce qui montre la premi\`ere \'egalit\'e et
\[
x_1 x_2 y = x_1 \,(x_2,y)\, y x_2
= \,\,^{x_1}(x_2,y)\, x_1 y x_2
= \,\,^{x_1}(x_2,y)\, (x_1,y)\, y x_1 x_2
\]
ce qui montre la deuxi\`eme.

\item Posons 
\[
x=\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right)
\quad\mbox{ et }\quad
y=\left( \begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right)\; .
\]
On a
\[
y=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
\left(\begin{array}{cc} d & 0 \\ 0 & c \end{array} \right)
\]
et on calcule que
\[
(x,y)= \left(\begin{array}{cc} a d^{-1} & 0 \\ 0 & a^{-1} d
\end{array}\right)\; .
\]
Clairement les trois autres types de commutateurs sont triviaux.
Le groupe $(G,G)$ est donc le sous-groupe de $GL(2,\R)$ form\'e
des matrices
\[
\left(\begin{array}{cc} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{array}\right)\; .
\]

\item Soit $\phi:G \ra G$ un automorphisme de $G$. On a
$\phi((x,y))=(\phi(x),\phi(y))$ pour tous les $x,y\in G$.
Donc $\phi((G,G))\subset (G,G)$. Comme $\phi^{-1}$ est
encore un automorphisme, on a aussi l'inclusion inverse.

Soient $x,y\in G$. L'\'egalit\'e $xy=(x,y)\,yx$ montre 
que les images de $x$ et $y$ dans $G/(G,G)$ commutent. 
Donc $G/(G,G)$ est ab\'elien.

Soit $\pi:G\ra G/H$ la projection canonique.
Si $G/H$ est ab\'elien, on a $\pi((x,y))=(\pi(x),\pi(y))=e$ 
pour tous les $x,y\in G$. Donc $H$ contient $(G,G)$.

\item Comme $X=X^{-1}$, le groupe $G$ est \'egal \`a
l'ensemble des produits $x_1 x_2 \ldots x_n$, $n\in\N$,
d'\'el\'ements $x_1, \ldots, x_n$ de $X$. 

Soit $L$
le sous-groupe engendr\'e par les \'el\'ements de 
la forme $g (x,y) g^{-1}$, $g\in G$, $x,y\in X$.
Comme $(G,G)$ est distingu\'e, il contient $L$. 
Soit $x\in X$. Montrons que $(x,h)$ appartient \`a $L$
pour tous les $h\in G$. En effet, comme $X=X^{-1}$, 
nous avons $h=x_1 \ldots x_n$ pour certains 
$x_1, \ldots, x_n$ dans $X$. On proc\`ede par
r\'ecurrence sur $n$. Par d\'efinition,
nous avons $(x,x_1)\in L$. Par l'hypoth\`ese
de r\'ecurrence, si $h_1=x_1 \ldots x_{n-1}$,
nous avons $(x,h_1)\in L$. Il s'ensuit que
l'\'el\'ement $(x,h_1 x_n)= (x,h_1) \,^{h_1}(x,x_n)$ 
appartient \`a $L$. Fixons $h\in G$. Un argument
analogue (bas\'e sur la seconde formule de a)
montre que $(g,h)$ appartient \`a $L$ pour
tout $g\in G$. Donc tous les $(g,h)$, $g,h\in G$,
appartiennent \`a $L$ et $(G,G)$ est contenu
dans $L$. 

\item Si $G$ est le sous-groupe de b), la composante
neutre de $G$ est form\'e des matrices diagonales dans
$G$. Elle est donc commutative et $\gog$ est commutatif.
Donc $[\gog,\gog]=0$. De l'autre c\^ot\'e, le calcul
de b) montre que $(G,G)\neq e$.

\item Soit $U_1$ un voisinage de $0$ dans $\gog$ tel
que $\exp$ est un diff\'eomorphisme de $U_1$ sur son
image et que pour tous $X,Y\in U_1$ on a la formule
de Campbell-Hausdorff
\[
\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y+R(X,Y)) \ko
\]
o\`u $R(X,Y)$ est la somme d'une infinit\'e de crochets
it\'er\'es de $X$ et $Y$. En particulier, nous avons
$R(X,Y)\in [\gog,\gog]$. Soit $U$ un voisinage sym\'etrique
de $0$ dans $\gog$ tel que $\exp(U)^3\subset \exp(U_1)$.
Alors pour $X,Y\in U$, nous avons
\[
\exp(X)\exp(Y)  =  \exp(X+Y+R_1)\ko
\]
o\`u $R_1\in \goh$ et $\exp(X+Y+R_1) \in \exp(U)^2$, puis
\[
\exp(X)\exp(Y)\exp(-X)  =  
    \exp(X+Y+R_1) \exp(-Y) = \exp(X+R_2) \ko
\]
o\`u $R_2\in \goh$ et $\exp(X+R_2)\in \exp(U)^3$, puis
\[
\exp(X)\exp(Y)\exp(-X)\exp(-Y) = 
\exp(X+R_2)\exp(-X) = \exp(Z) \ko
\]
o\`u $Z=R(X+R_2, -X)\in \goh$. 

Comme $G$ est connexe, il est engendr\'e par $\exp(U)$.
Comme $\exp(U)$ est un voisinage de $e$ qui est sym\'etrique 
et g\'en\'erateur, le sous-groupe $(G,G)$ est engendr\'e, 
d'apr\`es a), par les \'el\'ements
\[
g \exp(X)\exp(Y)\exp(-X)\exp(-Y) g^{-1}
\]
o\`u $X,Y\in U$ et $g\in G$. Donc il est contenu
dans le sous-groupe engendr\'e par les
\[
g \exp(Z) g^{-1}=\exp(\Ad(g) Z)
\]
o\`u $g\in G$ et $Z\in \goh$. Or nous avons
$\Ad(g) \goh\subset \goh$ puisque $\Ad(g)$ est 
un automorphisme de $G$. Il s'ensuit que les
$g\exp(Z) g^{-1}$, $Z\in\goh$, $g\in G$, engendrent
$H$ et que $(G,G)\subset H$. 

\item L'application $\alpha_g$ est la composition des
applications
\[
G \ra G \times G \ko x \mapsto (gxg^{-1}, x) 
\quad\mbox{ et }\quad
G \times G \ra G \ko (x,y) \mapsto x y^{-1}\; .
\]
Leurs diff\'erentielles en $e$ resp. $(e,e)$ sont
\[
\gog \ra \gog \times \gog \ko X \mapsto (\Ad(g) X, X)
\quad\mbox{ et }\quad
\gog \times \gog \ra \gog \ko (X,Y) \mapsto X-Y\; .
\]
La diff\'erentielle $T_e \alpha_g$ est donc la 
composition :
\[
(T_e \alpha_g)(X)= (\Ad(g) - \id)(X).
\]


\item Fixons $X\in \gog$. Soit $f: G \ra \goh$
l'application $g\mapsto (\Ad(g)-\id)(X)$ et
soit $V$ le sous-espace de $\goh$ engendr\'e par
l'image de $f$. Clairement $V$ contient l'image
de $\gog$ par l'application tangente de $f$.
Or cette application est
\[
\gog \ra \goh\ko Y \mapsto \ad(Y)(X).
\]
Donc $V$ contient $[\gog, X]$. Il s'ensuit
que l'espace engendr\'e par les $(\Ad(g)-\id)(X)$,
$g\in G$, $X\in\gog$, contient $[\gog,\gog]=\goh$.

\item La diff\'erentielle de $\alpha$ au point
$(e,\ldots, e)$ est donn\'ee par
\[
\gog \times \cdots \times \gog \ra \goh \ko
(X_1, \ldots, X_n) \mapsto 
\sum_{i=1}^n (T_e \alpha_{g_i})(X_i).
\]
En utilisant le point pr\'ec\'edent, nous
trouvons $g_1, \ldots, g_n$ tels que la somme
des images des $T_e\alpha_{g_i}$ soit \'egale
\`a $\goh$. Ceci signifie que la diff\'erentielle
de $\alpha$ en $(e,\ldots, e)$ est surjective.

\item Le sous-groupe $(G,G)$ contient l'image de 
l'application $\alpha$ du point pr\'ec\'edent. 
Puisque $\alpha$ est submersive au point $(e,\ldots, e)$,
son image contient un voisinage de $e$ dans $H$. 
Comme $H$ est connexe, il est engendr\'e par tout
voisinage de $e$. Donc $H$ est inclus dans $(G,G)$.

\end{sublist}


\end{list-of-exercises}

\end{document}



\item 
\begin{sublist}
\item 
Soit $X\in\goh$. Alors $X$ est de la forme (nous n'\'ecrivons pas
les coefficients nuls)
\[
\left[
\begin{array}{cccccc}
\lam_1 &       &      &    &    &     \\
      & \lam_2 &      &    &    &     \\
      &       &\lam_3 &    &    &     \\
      &       &      & -\lam_3 &    & \\
      &       &      &        & -\lam_2  & \\
      &       &      &    &        &  -\lam_1 
\end{array}
\right] 
\]
et l'action de $X$ sur les matrices $E_{ij}$ est d\'ecrite
par le tableau suivant 
\[
\begin{array}{cccccc}
0 & \lam_1-\lam_2 & \lam_1-\lam_3 & \lam_1+\lam_3 & 
                                        \lam_1+\lam_2 & 2\lam_1 \\
  & 0 & \lam_2-\lam_3 & \lam_2 + \lam_3 & 2 \lam_2 & 
                                        \lam_2+\lam_1       \\
  &   &  0 & 2\lam_3 & \lam_3 + \lam_2 & \lam_3+\lam_1   \\
  &   &    &   0    & \lam_2-\lam_3   & \lam_1-\lam_3  \\
  &   &    &        &   0           & \lam_1-\lam_2 \\
  &   &    &        &               &   0         
\end{array}
\]
(les coefficients en-dessous de la
diagonale sont les oppos\'es de leurs sym\'etriques
par rapport \`a la diagonale). Soit $\eps_i$
la forme $X \mapsto \lam_i$ sur $\goh$. 
Alors $\gog$ se d\'ecompose en 
\begin{equation}
\label{decomp}
\goh\oplus \bigoplus_{\alpha\in R} \gog^\alpha\ko
\end{equation}
o\`u $R=R^+\cup (-R^+)$ et $R^+$ est l'ensemble des formes
\[
\eps_1-\eps_2, \eps_2-\eps_3, \eps_1-\eps_3, \eps_1+\eps_2,
\eps_1+\eps_3, \eps_2+\eps_3, 2\eps_1, 2\eps_2, 2\eps_3.
\]
Les sous-espaces poids correspondant sont 
engendr\'es par (dans le m\^eme ordre)
\[
F_{12}, F_{23}, F_{13}, F_{15}, F_{14}, F_{24}, F_{34}, F_{25},
F_{16}\ko
\]
o\`u $F_{ij}=E_{ij}-E_{ij}^*$. 
Pour $\alpha\in R^+$, le sous-espace poids correspondant \`a $-\alpha$
est engendr\'e par la transpos\'ee du g\'en\'erateur de $\gog^\alpha$.
La sous-alg\`ebre $\goh$ est form\'ee d'\'el\'ements semi-simples,
elle est ab\'elienne et l'\'equation \ref{decomp} montre qu'elle
est \'egale \`a son centralisateur. Elle est donc bien une 
sous-alg\`ebre de Cartan et nous venons d'exhiber la
d\'ecomposition de $\gog$ en sous-espaces poids.


\item Pour $X\in \goh$, le centralisateur de $X$ est la somme
directe de $\goh$ et des espaces poids $\gog^\alpha$, $\alpha\in R$, tels que
$\alpha(X)=0$. 


\item On choisit $X$ tel que $\lam_1=\lam_2=1$ et que $\lam_3=0$.
Alors ${R^+}'$ est form\'e de $\alpha=\eps_1-\eps_2$ et de 
$\gamma=2\eps_3$ et
\[
\gog(X)=\goh \oplus \gog^\alpha\oplus\gog^{-\alpha}\oplus 
                 \gog^\gamma\oplus\gog^{-\gamma}.
\]
Aucune des quatre formes $\pm\alpha\pm\gamma$ n'est racine, de
fa\c{c}on que $[\gog^{\pm\alpha},\gog^{\pm\gamma}]=0$. Ainsi,
l'alg\`ebre d\'eriv\'ee est \'egale \`a la somme de
$[\goh, \gog^{\pm \alpha}]$, $[\goh,\gog^{\pm\gamma}]$,
$[\gog^\alpha,\gog^{-\alpha}]$ et $[\gog^\gamma,\gog^{-\gamma}]$.
On obtient donc
\[
[
\gog(X),\gog(X)] = \gos_\alpha\oplus \gos_\gamma \cong
\sl(2,\C)\oplus \sl(2,\C).
\]
\end{sublist}

