Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1999-2000 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 13/06/2000

Un corrigé de l’examen de Juin 2000 (deuxième session)

1) a) Soit g ∈ G. Comme g est une rotation, g admet un axe (une droite propre pour la valeur propre 1). Si l’on choisit un générateur de l’axe pour la première colonne de la matrice h ∈ G, on trouve que hgh^{−1} = γ_{0}(φ), pour un φ ∈ R, où

γ_{0}(s) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(s) & − sin(s) \\ 0 & sin(s) & cos(s) \end{matrix} ) , s ∈ R.

On définit γ : R → G par γ(t) = h^{−1}γ_{0}(tφ)h.

b) On sait que tout homomorphisme continu γ : R → G est de la forme γ(t) = exp(tX), t ∈ R, pour un X ∈ 𝔤. On conclut par a).

c) Nous avons

[X_{1}, X_{2}] = X_{3} , [X_{2}, X_{3}] = X_{1} , [X_{3}, X_{1}] = X_{2}.

Soit X comme dans l’énoncé. La matrice de ad(X) par rapport à la base X_{1}, X_{2}, X_{3} est

( \begin{matrix}0 & −x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & −x_{1} \\ −x_{2} & x_{1} & 0 \end{matrix} )

Son polynôme caractéristique est λ(λ^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}). Donc ses valeurs propres sont 0, ±i\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}.

d) On sait que l’application exponentielle a une différentielle bijective en un point X ∈ 𝔤 si et seulement si les valeurs propres de ad(X) ne sont pas parmi 2kπi, k ∈ Z \ {0}. D’après c), la différentielle de l’exponentielle est bijective en X = x_{1}X_{1} + x_{2}X_{2} + x_{3}X_{3} si et seulement si

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} ≠ 4π^{2}k^{2}

quel que soit k ∈ Z \ {0}.

2) a) Soit x ∈ C_{G}(𝔥) et y ∈ N_{G}(𝔥) et H ∈ 𝔥. Alors y^{−1}(H) ∈ 𝔥, donc xy^{−1}(H) = y^{−1}H et yxy^{−1}(H) = H. Cela montre que yxy^{−1} appartient à C_{G}(𝔥) et que C_{G}(𝔥) est bien distingué dans N_{G}(𝔥). Montrons que les deux sont des sous-groupes fermés. Si l’on choisit une base de 𝔤 dont les premiers dim 𝔥 vecteurs forment une base de 𝔥, l’application Ad(g), g ∈ G, est donnée par une matrice en blocs

( \begin{matrix}A(g) & C(g) \\ B(g) & D(g) \end{matrix} ) .

Les coefficients des quatre matrices dépendent continûment de g. Un élément g ∈ G appartient à N_{G}(𝔥) ssi l’on a B(g) = 0 et à C_{G}(𝔥) ssi l’on a B(g) = 0 et A(g) = 1. Ces conditions définissent clairement des fermés.

b) On sait que l’algèbre de Lie d’un sous-groupe fermé K de G est l’ensemble des X ∈ G tels que exp(tX) appartient à K pour tous t ∈ R. Nous allons appliquer cette description à N_{G}(𝔥) et C_{G}(𝔥). Pour X ∈ 𝔤, nous avons

Ad(exp(tX))(H) = e^{ad(tX)}(H).

Cette formule montre que si ad(tX)(𝔥) ⊂ 𝔥, alors Ad(exp(tX))(𝔥) ⊂ 𝔥. Réciproquement, si nous avons la dérnière inclusion, nous obtenons la première en calculant la dérivée en t = 0 des deux côtés de l’équation ci-dessus. De même, si ad(tX)(𝔥) = {0}, la formule nous donne que la restriction de Ad(exp(tX)) à 𝔥 est l’identité. Et réciproquement, si la restriction est l’identité, en passant à la dérivée en t = 0, nous obtenons que ad(X) s’annule sur 𝔥.

3) a) Il résulte de la définition de C_{G}(𝔥) que C_{G}(𝔥) est le noyau de l’application φ. Donc φ induit une injection de N_{G}(𝔥)/C_{G}(𝔥) sur son image. Il reste à montrer que l’image est finie. En effet, pour g ∈ N_{G}(𝔥), l’application Ad(g) : 𝔤 → 𝔤 est un automorphisme qui laisse stable la sous-algèbre de Cartan 𝔥. Ainsi, l’automorphisme Ad(g) induit un automorphisme ψ(g) de Δ(𝔤, 𝔥). De façon explicite, pour g ∈ N_{G}(𝔥) et α ∈ Δ(𝔤, 𝔥), nous avons (ψ(g))(α) = α ∘ (Ad(g))^{−1}. Ainsi, ψ(g) ne dépend que de φ(g) et si ψ(g) est l’identité, alors φ(g) est l’identité car les racines engendrent 𝔥^{∗}. L’image de φ s’identifie donc à un sous-groupe des automorphismes de Δ(𝔤, 𝔥). En particulier, elle est finie.

b) Supposons que G = SL(2, C) et que X, Y, H est la base canonique de 𝔤. Alors

g = exp(X) exp(−Y) exp(X) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]

et l’application Ad(g) : 𝔥 → 𝔥 est la conjugaison par la dernière matrice. Clairement nous avons Ad(g)(H) = −H ce qui démontre l’affirmation dans ce cas.

c) Considérons le cas général. Nous avons la décomposition 𝔥 = kerα ⊕ CH. Nous allons montrer que 𝔥 est stable par Ad(g), et que Ad(g) induit l’identité sur kerα et la multiplication par −1 sur CH. Supposons que H′ appartient à kerα ⊂ 𝔥. Alors H′ est laissé fixe par Ad exp(X), Ad exp(−Y) et donc par Ad(g). Donc l’endomorphisme Ad(g) laisse stable kerα ⊂ 𝔤 et y induit l’identité. Nous allons maintenant montrer que Ad(g) laisse stable CH et y induit la multiplication par −1. Comme SL(2, C) est simplement connexe, il existe un morphisme de groupes de Lie f : SL(2, C) → G et un seul dont la différentielle df envoie les vecteurs de la base canonique de 𝔰𝔩(2, C) sur les éléments X, Y, H. Notons X_{0}, Y_{0}, H_{0} les vecteurs de la base canonique de 𝔰𝔩(2, C) et g_{0} = exp(X_{0}) exp(−Y_{0}) exp(X_{0}). Par la fonctorialité de l’exponentielle, nous avons g = f(g_{0}). Par la fonctorialité de la représentation adjointe, nous avons

Ad(f(g_{0})) ∘ (Lief) = (Lief) ∘ Ad(g_{0}).

Comme H = (Lief)(H_{0}), nous pouvons déduire du cas de G = SL(2, C) que Ad(g)(H) = −H.

d) Par a), l’image de φ est un sous-groupe fini de GL(𝔥). Par c), ce sous-groupe contient les réflexions associées aux racines. Par définition, ces réflexions engendrent le groupe de Weyl. Donc l’image de φ est bien un sous-groupe fini de GL(𝔥) contenant le groupe de Weyl.

4) a) Posons λ_{0} = 0. Considérons la représentation adjointe de 𝔥 dans 𝔤. L’algèbre 𝔥 est nilpotente donc résoluble. Par le théorème de Lie, il existe une base X_{1}, …, X_{n} de 𝔤 dans laquelle les opérateurs ad(H), H ∈ 𝔥, sont représentés par des matrices triangulaires supérieures. Les coefficients diagonaux de la matrice représentant ad(H) sont les λ_{i}(H), 0 ≤ i (écrites autant de fois que l’indiquent leurs multiplicités algébriques). Il s’ensuit que chaque vecteur de base X_{i} appartient à un et un seul espace 𝔤^{λ_{i}}, 0 ≤ i. Donc 𝔤 est la somme directe des 𝔤^{λ_{i}}, 0 ≤ i. Il reste à montrer que 𝔤^{0} = 𝔥. Considérons l’action adjointe de 𝔥 dans 𝔤^{0}/𝔥. Si cet espace est non nul, alors d’après le théorème de Lie, il existe un vecteur X ∈ 𝔤^{0} \ 𝔥 dont l’image dans 𝔤^{0}/𝔥 est un vecteur propre pour tous les opérateurs adH. La valeur propre correspondante est nulle car X ∈ 𝔤^{0}. Nous avons donc [H, X] ∈ 𝔥 pour tout H ∈ 𝔥 et X appartient au normalisateur de 𝔥. Ce dernier est égal à 𝔥 par hypothèse. Contradiction. b) Pour deux formes linéaires λ et μ sur 𝔥, nous avons [𝔤^{λ}, 𝔤^{μ}] ⊂ 𝔤^{λ+μ}. Donc ad(X)^{n}(𝔤^{μ}) est

contenu dans 𝔤^{nλ_{i}+μ}. Cet espace s’annule pour tout n ≫ 0 car nous avons

𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔤^{λ_{1}} ⊕ … ⊕ 𝔤^{λ_{n}} .

c) Soit X ∈ 𝔤^{λ_{i}}. Alors l’opérateur ad(X) est nilpotent et

exp(ad(X)) = ∑_{i=0}^{dim 𝔤} \frac{1}{i!} ad(X)^{i} .

Donc l’exponentielle 𝔤^{λ_{i}} → End(𝔤) est une application polynomiale. On en déduit aussitôt que f est polynomiale.

d) Notons T l’application tangente à f en (H_{0}, 0, …, 0). Pour H ∈ 𝔥 et X ∈ 𝔤^{λ_{1}}, nous avons

f(H_{0} + H, 0, …, 0) = H_{0} + H et f(H_{0}, X, 0, …, 0) = H_{0} + [X, H_{0}] + \frac{1}{2!}[X, [X, H_{0}]] + ….

Donc

T (H, 0, …, 0) = H et T (0, X, …, 0) = [X, H_{0}].

Il s’ensuit que

T (𝔥 × 0 × … × 0) = 𝔥 et T (0 × 𝔤^{λ_{1}} × … × 0) = 𝔤^{λ_{1}}

car H_{0} ∈ 𝔥′. De même, on voit que

T (𝔥 × 0 × 0 × 𝔤^{λ_{2}} × … × 0) = 𝔤^{λ_{2}}

et ainsi de suite. Ainsi, T est surjective.

e) En effet la restriction de f à 𝔥′ × 𝔤^{λ_{1}} × … × 𝔤^{λ_{n}} est submersive en (H_{0}, 0, …, 0) donc son image contient un voisinage de f(H_{0}, 0, …, 0).

f) La partie E𝔥′ contient clairement l’image par f de 𝔥′×𝔤^{λ_{1}} ×…×𝔤^{λ_{n}}. Par e) elle contient une partie dense de 𝔤. La partie E𝔨′ contient un ouvert non vide de 𝔤 par e). Donc l’intersection E𝔥′ ∩E𝔨′ est non vide. Il existe dont g_{1}, g_{2} ∈ E et H ∈ 𝔥′, K ∈ 𝔨′ tels que g_{1}H = g_{2}K. Donc K = g_{2}^{−1}g_{1}H. Il s’ensuit que 𝔨 = g_{2}^{−1}g_{1}𝔥 car 𝔥 est le nilespace (=l’espace caractéristique pour la valeur propre 0) de l’opérateur ad(H) et 𝔨 le nilespace de ad(K).