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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 1999-2000\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 13/06/2000}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Un corrig\'e de l'examen de Juin 2000 (deuxi\`eme session)}\\
\end{center}
\bigskip
\begin{list-of-exercises}

\item 
\begin{sublist}
\item 
Soit $g\in G$. Comme $g$ est une rotation, $g$ admet un axe
(une droite propre pour la valeur propre $1$). Si l'on choisit
un g\'en\'erateur de l'axe pour la premi\`ere colonne de la
matrice $h\in G$, on trouve que $h g h^{-1}= \gamma_0(\phi)$,
pour un $\phi\in\R$, o\`u 
\[
\gamma_0(s) = 
\left( 
\begin{array}{ccc} 
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(s) &    -\sin(s) \\ 0 & \sin(s) &
\cos(s)
\end{array}
\right) \ko s\in\R.
\]
On d\'efinit $\gamma:\R \ra G$ par $\gamma(t)= h^{-1} \gamma_0(t \phi) h$.

\item On sait que tout homomorphisme continu $\gamma : \R \ra G$
est de la forme $\gamma(t)=\exp(tX)$, $t\in\R$, pour un $X\in \gog$.
On conclut par a).

\item Nous avons
\[
[X_1, X_2]=X_3\ko [X_2,X_3]=X_1\ko [X_3,X_1]=X_2.
\]
Soit $X$ comme dans l'\'enonc\'e. La matrice de $\ad(X)$
par rapport \`a la base $X_1$, $X_2$, $X_3$ est 
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -x_3 & x_2 \\
x_3 & 0 & -x_1 \\
-x_2 & x_1 & 0 
\end{array}
\right)
\]
Son polyn\^ome caract\'eristique est $\lam(\lam^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)$.
Donc ses valeurs propres sont $0, \pm i\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.

\item On sait que l'application exponentielle a une diff\'erentielle
bijective en un point $X\in \gog$ si et seulement si les valeurs
propres de $\ad(X)$ ne sont pas parmi $2k\pi i$, $k\in
\Z\setminus\{0\}$. D'apr\`es c), la diff\'erentielle de l'exponentielle
est bijective en $X=x_1 X_1 + x_2 X_2 + x_3 X_3$ si et seulement
si
\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2 \neq 4 \pi^2 k^2
\]
quel que soit $k\in \Z\setminus\{0\}$.
\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Soit $x\in C_G(\goh)$ et $y\in N_G(\goh)$ et $H\in \goh$. Alors
$y^{-1}(H) \in \goh$, donc $x y^{-1}(H)=y^{-1}H$ et
$y x y^{-1}(H)=H$. Cela montre que $yxy^{-1}$ appartient
\`a $C_G(\goh)$ et que $C_G(\goh)$ est bien distingu\'e
dans $N_G(\goh)$.

Montrons que les deux sont des sous-groupes ferm\'es.
Si l'on choisit une base de $\gog$ dont les premiers
$\dim\goh$ vecteurs forment une base de $\goh$, l'application
$\Ad(g)$, $g\in G$, est donn\'ee par une matrice en blocs
\[
\left(\begin{array}{cc} A(g) & C(g) \\ B(g) & D(g) \end{array}
\right).
\]
Les coefficients des quatre matrices d\'ependent contin\^ument
de $g$. Un \'el\'ement $g\in G$ appartient \`a $N_G(\goh)$
ssi l'on a $B(g)=0$ et \`a $C_G(\goh)$ ssi l'on a
$B(g)=0$ et $A(g)=\id$. Ces conditions d\'efinissent clairement
des ferm\'es.

\item On sait que l'alg\`ebre de Lie d'un sous-groupe ferm\'e
$K$ de $G$ est l'ensemble des $X\in G$ tels que $\exp(tX)$
appartient \`a $K$ pour tous $t\in \R$. Nous allons appliquer
cette description \`a $N_G(\goh)$ et $C_G(\goh)$.
Pour $X\in \gog$, nous avons
\[
\Ad(\exp(tX))(H) = e^{\sad(tX)}(H).
\]
Cette formule montre que si $\ad(tX)(\goh)\subset \goh$, alors
$\Ad(\exp(tX))(\goh)\subset\goh$. R\'eciproquement, si nous
avons la d\'erni\`ere inclusion, nous obtenons la premi\`ere
en calculant la d\'eriv\'ee en $t=0$ des deux c\^ot\'es de
l'\'equation ci-dessus.

De m\^eme, si $\ad(tX)(\goh)=\{0\}$, la formule nous donne
que la restriction de $\Ad(\exp(tX))$ \`a $\goh$ est l'identit\'e.
Et r\'eciproquement, si la restriction est l'identit\'e, en
passant \`a la d\'eriv\'ee en $t=0$, nous obtenons que
$\ad(X)$ s'annule sur $\goh$.

\end{sublist}


\item
\begin{sublist} 
\item
Il r\'esulte de la d\'efinition de $C_G(\goh)$
que $C_G(\goh)$ est le noyau de l'application $\phi$.
Donc $\phi$ induit une injection de $N_G(\goh)/C_G(\goh)$
sur son image. Il reste \`a montrer que l'image est finie.
En effet, pour $g\in N_G(\goh)$, l'application
$\Ad(g): \gog \ra \gog$ est un automorphisme qui
laisse stable la sous-alg\`ebre de Cartan $\goh$.
Ainsi, l'automorphisme $\Ad(g)$ induit un automorphisme
$\psi(g)$ de $\Delta(\gog,\goh)$. De fa\c{c}on
explicite, pour $g\in N_G(\goh)$ et $\alpha\in\Delta(\gog,\goh)$,
nous avons $(\psi(g))(\alpha)=\alpha\circ (\Ad(g))^{-1}$.
Ainsi, $\psi(g)$ ne d\'epend que de $\phi(g)$ et si
$\psi(g)$ est l'identit\'e, alors $\phi(g)$ est l'identit\'e
car les racines engendrent $\goh^*$. L'image de 
$\phi$ s'identifie donc \`a un sous-groupe des
automorphismes de $\Delta(\gog,\goh)$. En particulier,
elle est finie.

\item Supposons que $G=SL(2,\C)$ et que $X,Y,H$ est la
base canonique de $\gog$. Alors
\[
g=\exp(X)\exp(-Y)\exp(X) = 
\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]
\]
et l'application $\Ad(g):\goh \ra \goh$ est la conjugaison
par la derni\`ere matrice. Clairement nous avons $\Ad(g)(H)=-H$
ce qui d\'emontre l'affirmation dans ce cas.

\item Consid\'erons le cas g\'en\'eral. Nous avons la d\'ecomposition
$\goh=\ker\alpha\oplus \C H$. Nous allons montrer que $\goh$ est
stable par $\Ad(g)$, et que $\Ad(g)$ induit l'identit\'e sur
$\ker\alpha$ et la multiplication par $-1$ sur $\C H$.

Supposons que $H'$ appartient \`a $\ker\alpha\subset\goh$. Alors $H'$
est laiss\'e fixe par $\Ad\exp(X)$, $\Ad\exp(-Y)$ et donc par
$\Ad(g)$.  Donc l'endomorphisme $\Ad(g)$ laisse stable
$\ker\alpha\subset \gog$ et y induit l'identit\'e.

Nous allons maintenant montrer que $\Ad(g)$ laisse stable $\C H$ et y
induit la multiplication par $-1$. Comme $SL(2,\C)$ est simplement
connexe, il existe un morphisme de groupes de Lie $f:SL(2,\C)\ra G$ et
un seul dont la diff\'erentielle $df$ envoie les vecteurs de la base
canonique de $\gos\gol(2,\C)$ sur les \'el\'ements $X,Y,H$. 
Notons $X_0,Y_0,H_0$ les vecteurs de la base canonique de
$\gos\gol(2,\C)$ et $g_0=\exp(X_0)\exp(-Y_0)\exp(X_0)$.
Par la fonctorialit\'e de l'exponentielle, nous avons $g=f(g_0)$. Par la
fonctorialit\'e de la repr\'esentation adjointe, nous avons
\[
\Ad(f(g_0)) \circ (\Lie f) = (\Lie f) \circ \Ad(g_0).
\]
Comme $H=(\Lie f)(H_0)$, nous pouvons d\'eduire du cas de $G=SL(2,\C)$
que $\Ad(g)(H)=-H$.

\item Par a), l'image de $\phi$ est un sous-groupe fini de
$GL(\goh)$. Par c), ce sous-groupe contient les r\'eflexions
associ\'ees aux racines. Par d\'efinition, ces r\'eflexions 
engendrent le groupe de Weyl. Donc l'image de $\phi$ est bien
un sous-groupe fini de $GL(\goh)$ contenant le groupe de Weyl.
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item Posons $\lambda_0=0$.  Consid\'erons la repr\'esentation
  adjointe de $\goh$ dans $\gog$. L'alg\`ebre $\goh$ est nilpotente
  donc r\'esoluble.  Par le th\'eor\`eme de Lie, il existe une base
  $X_1, \ldots, X_n$ de $\gog$ dans laquelle les op\'erateurs
  $\ad(H)$, $H\in\goh$, sont repr\'esent\'es par des matrices
  triangulaires sup\'erieures. Les coefficients diagonaux de la
  matrice repr\'esentant $\ad(H)$ sont les $\lambda_i(H)$, $0\leq i$
  (\'ecrites autant de fois que l'indiquent leurs multiplicit\'es
  alg\'ebriques). Il s'ensuit que chaque vecteur de base $X_i$
  appartient \`a un et un seul espace $\gog^{\lambda_i}$, $0\leq i$.
  Donc $\gog$ est la somme directe des $\gog^{\lambda_i}$, $0\leq i$. Il
  reste \`a montrer que $\gog^0=\goh$. Consid\'erons l'action adjointe
  de $\goh$ dans $\gog^0/\goh$. Si cet espace est non nul, alors
  d'apr\`es le th\'eor\`eme de Lie, il existe un vecteur $X\in
  \gog^0\setminus\goh$ dont l'image dans $\gog^0/\goh$ est un vecteur
  propre pour tous les op\'erateurs $\ad H$. La valeur propre
  correspondante est nulle car $X\in \gog^0$. Nous avons donc
  $[H,X]\in\goh$ pour tout $H\in\goh$ et $X$ appartient au
  normalisateur de $\goh$. Ce dernier est \'egal \`a $\goh$ par
  hypoth\`ese.  Contradiction.


\item
Pour deux formes lin\'eaires $\lambda$ et $\mu$ sur $\goh$,
nous avons $[\gog^\lambda,\gog^\mu] \subset \gog^{\lambda+\mu}$.
Donc $\ad(X)^n(\gog^\mu)$ est contenu dans $\gog^{n\lambda_i+\mu}$.
Cet espace s'annule pour tout $n\gg 0$ car nous avons 
\[
\gog=\goh\oplus \gog^{\lambda_1}\oplus \ldots \oplus
\gog^{\lambda_n} \; .
\]


\item Soit $X\in \gog^{\lambda_i}$. Alors l'op\'erateur
$\ad(X)$ est nilpotent et 
\[
\exp(\ad(X)) = \sum_{i=0}^{\dim \gog} \frac{1}{i!} \,\ad(X)^i \; .
\]
Donc l'exponentielle $\gog^{\lambda_i} \ra \End(\gog)$
est une application polynomiale. On en d\'eduit aussit\^ot
que $f$ est polynomiale.

\item Notons $T$ l'application tangente \`a $f$ en
$(H_0,0,\ldots,0)$. Pour $H\in \goh$ et $X\in \gog^{\lambda_1}$, nous
avons
\[
f(H_0+H,0,\ldots,0)= H_0+H 
\mbox{ et }
f(H_0, X,0,\ldots, 0)= 
H_0 + [X,H_0] +\frac{1}{2!} [X,[X,H_0]] +\ldots .
\]
Donc 
\[
T(H,0,\ldots,0)= H \mbox{ et }
T(0,X,\ldots,0)= [X,H_0].
\]
Il s'ensuit que
\[
T(\goh\times 0 \times \ldots \times 0) = \goh \mbox{ et }
T(0\times \gog^{\lambda_1} \times \ldots \times 0) =
\gog^{\lambda_1}
\]
car $H_0\in \goh'$.
De m\^eme, on voit que
\[
T(\goh\times 0 \times 0 \times \gog^{\lambda_2} \times \ldots
\times 0) =\gog^{\lambda_2}
\]
et ainsi de suite. Ainsi, $T$ est surjective.

\item En effet la restriction de $f$ \`a
$\goh'\times \gog^{\lambda_1} \times \ldots \times \gog^{\lambda_n}$
est submersive en $(H_0,0,\ldots,0)$ donc
son image contient un voisinage de $f(H_0,0,\ldots,0)$.

\item La partie $E \goh'$ contient clairement l'image par $f$
de $\goh'\times \gog^{\lambda_1} \times \ldots \times \gog^{\lambda_n}$.
Par e) elle contient une partie dense de $\gog$. La partie
$E \gok'$ contient un ouvert non vide de $\gog$ par e).
Donc l'intersection $E\goh' \cap E \gok'$ est non vide.
Il existe dont $g_1,g_2\in E$ et $H\in \goh'$, $K\in \gok'$
tels que $g_1 H = g_2 K$. Donc $K=g_2^{-1}g_1 H$. Il s'ensuit que
$\gok=g_2^{-1}g_1\goh$ car $\goh$ est le nilespace
(=l'espace caract\'eristique pour
la valeur propre $0$) de l'op\'erateur $\ad(H)$ et
$\gok$ le nilespace de $\ad(K)$.
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}
\end{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Soit $n\geq 1$. On rappelle que toute matrice diagonale $H$
de $\gl(n,\C)$ \`a coefficients diagonaux $\lam_1, \ldots, \lam_n$
v\'erifie $\ad(H).E_{i,j}=(\lam_i -\lam_j) \,E_{i,j}$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose
$i^*=(n+1)-i$. Pour une matrice $A=(a_{ij})$ de taille
$n\times n$, on d\'efinit la matrice {\em cotranspos\'ee}
$A^\sharp$ par $a^\sharp_{ij}=a_{j^*,i^*}$. Soit $J$ la matrice
de coefficients $\delta_{i,i^*}$ (symbole de Kronecker).
Soit $\gog$ l'alg\`ebre de Lie complexe
\begin{eqnarray*}
\gos\gop(2n,\C)
& = & \{X\in \gl(2n,\C)\;|\; \;^t\!X
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right]
+
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right] X =0\}\\
& = &\{
\left[\begin{array}{cc}A & B \\ C & D \end{array} \right]
\in\gl(2n,\C)\;| \;
D=-A^\sharp\ko B=B^\sharp\ko C=C^\sharp\}.
\end{eqnarray*}
Posons $n=3$. Montrer que la sous-alg\`ebre $\goh$
de $\gog$ form\'ee des matrices diagonales appartenant
\`a $\gog$ est une sous-alg\`ebre de Cartan et
d\'eterminer (en m\^eme temps) le syst\`eme de racines
de $(\gog,\goh)$.


\item Soit $X\in\goh$. D\'ecrire le centralisateur
$\gog(X)$ de $X$ dans $\gog$ \`a l'aide des espaces
poids $\gog^\alpha$ de $(\gog,\goh)$.
%\item Montrer que la restriction \`a $\gog(X)$
%de la forme de Killing
%de $\gog$ est non d\'eg\'en\'er\'ee
%et d\'eduire que $\gog(X)$ est r\'eductive 
%(voir l'exercice ...).
\item Montrer qu'on peut choisir $X$ tel que
$[\gog(X),\gog(X)]$ soit isomorphe \`a 
$\sl(2,\C)\oplus\sl(2,\C)$. 
\end{sublist}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


