Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 2000-2001 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 09/06/2001

Un corrigé de l’examen de Juin 2001 (2^{e} session)

I. Trois groupes isomorphes

1) Montrer que

SO(3, C) = {A ∈ GL(3, C) | ^{t}AA = 1 et det A = 1 }

est un groupe de Lie et déterminer son algèbre de Lie 𝔰𝔬(3, C).

L’ensemble SO(3, C) est un sous-groupe de GL(3, C) défini par des équations polynomiales. Il est donc un sous-groupe fermé du groupe de Lie GL(3, C). Par le théorème de von Neumann, il est lui-même un groupe de Lie. Son algèbre de Lie est formée des X ∈ 𝔤𝔩(3, C) tels que exp(tX) ∈ SO(3, C) pour tout t ∈ R. Nous allons montrer que

Lie(SO(3, C)) = {X ∈ 𝔤𝔩(3, C) | ^{t}X + X = 0 }.

En effet, si nous avons ^{t}X + X = 0, alors

t exp(tX) = exp(t ^{t}X) = exp(−tX) = exp(tX)^{−1}

et exp(tX) est donc bien orthogonale. En outre, on a

det(exp(tX)) = exp(tr(tX)) = 1.

Réciproquement, si nous prenons la différentielle en t = 0 des deux côtés de l’équation

t exp(tX) = exp(tX)^{−1} ,

nous trouvons que ^{t}X = −X.

2) Montrer que l’ensemble S_{C}^{1} formé de couples (x, y) de nombres complexes tels

que

x^{2} + y^{2} = 1

est connexe.

Nous avons (x + iy)(x − iy) = x^{2} + y^{2}. On voit donc que l’application

S_{C}^{1} → C^{∗} , (x, y) ↦ x + iy

est un homéomorphisme d’inverse

z ↦ (\frac{z + 1/z}{2} , \frac{z − 1/z}{2i}).

L’affirmation en découle car C^{∗} est connexe.

3) Montrer que l’ensemble E des matrices complexes 2 × 2 de déterminant nul et de trace non nulle est connexe.

Le polynôme caractéristique d’une telle matrice A est X^{2}−λX, où λ = tr(A) ≠ 0. Elle est donc semblable à la matrice

( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

L’ensemble E est donc l’image de GL(2, C) × C^{∗} par l’application continue

(g, λ) ↦ g ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) g^{−1}.

Comme GL(2, C) × C^{∗} est connexe, l’affirmation en résulte.

4) En déduire que l’ensemble E′ des quadruplets (x, y, z, t) de nombres complexes tels que x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 0 et t ≠ 0 est connexe. Indication : on pourra considérer la matrice

A = ( \begin{matrix}t + iz & ix + y \\ ix − y & t − iz \end{matrix} ) .

L’application φ qui, à un quadruplet (x, y, z, t), associe la matrice A est une bijection linéaire de C^{4} sur M(2, C). La trace de A vaut 2t et son déterminant t^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2}. L’application φ induit donc un homéomorphisme de E′ sur l’ensemble E de la question précédente.

5) Montrer que SO(3, C)/SO(2, C) est homéomorphe à la sphère complexe

S_{C}^{2} = {v ∈ C^{3} |q(v) = 1}

où q(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}. Indication : on pourra utiliser un théorème bien connu traité en TD.

Considérons l’action naturelle de SO(3, C) sur la sphère complexe. Comme tout vecteur v tel que q(v) = 1 se complète en une base orthonormée de C^{3}, cette action est transitive. Le stabilisateur de e_{1} sous cette action est formé des matrices dans SO(3, C) dont le premier vecteur colonne est e_{1}. Comme le deuxième et le troisième vecteur colonne sont orthogonaux sur le premier, leur premiers coefficients sont nuls. La matrice est donc de la forme

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & b & d \end{matrix} )

où le bloc en bas à droite appartient à SO(2, C). Le stabilisateur de e_{1} est donc canoniquement isomorphe à SO(2, C), et nous obtenons une bijection

SO(3, C)/SO(2, C) →^{∼} S_{C}^{2} .

D’après un théorème bien connu traité en TD, pour vérifier qu’il s’agit d’un homéomorphisme, il suffit de montrer que S_{C}^{2} est localement compact et SO(3, C) localement compact et dénombrable à l’infini. Or S_{C}^{2} est localement compact en tant que fermé de l’espace localement compact C^{3}. Et SO(3, C) est localement compact et dénombrable à l’infini en tant que fermé de l’espace M(3, C) qui jouit de ces mêmes propriétés.

6) En déduire que SO(3, C) est connexe. Indication : on commencera par établir que le cercle complexe S_{C}^{1} et la sphère complexe S_{C}^{2} sont connexes.

On a vu à la question 2) que le cercle S_{C}^{1} est connexe. L’application

(x, y, z, t) ↦ (x/t, y/t, z/t)

est une surjection continue de l’ensemble E′ de la question 4) sur la sphère complexe S_{C}^{2}. Elle est donc connexe puisque E′ l’est. L’application

(x, y) ↦ ( \begin{matrix}x & −y \\ y & x \end{matrix} )

est un homéomorphisme de S_{C}^{1} sur SO(2, C). Ainsi, SO(2, C) et

SO(3, C)/SO(2, C) →^{∼} S_{C}^{2}

sont connexes. D’après un théorème traité en TD, il s’ensuit que SO(3, C) est connexe.

7) Déterminer les composantes connexes de O(3, C).

Comme SO(3, C) est connexe, il est contenu dans la composante neutre de O(3, C). Comme O(3, C)/SO(3, C) →^{∼} {±1} est discret, la composante neutre de O(3, C) contient SO(3, C). Il s’ensuit que les composantes connexes de O(3, C) sont SO(3, C) et −SO(3, C).

8) Montrer que si q est une forme quadratique non dégénérée sur C^{3}, alors O(3, C) est isomorphe à

O(q) = {A ∈ GL(3, C) | q(Av) = q(v) pour tout v ∈ C^{3}}.

Indication : Il existe une base orthonormée pour q.

Soit S une matrice dont les colonnes forment une base orthonormée pour q. Alors l’application g ↦ SgS^{−1} est un isomorphisme de O(3, C) sur O(q).

9) Montrer que les groupes de Lie

P SL(2, C) = SL(2, C)/{±1}

et SO(3, C) sont isomorphes. Indication : on fera opérer SL(2, C) par congruence sur l’ensemble des matrices symétriques 2 × 2 par

(A, S) ↦ AS ^{t}A.

On notera que la forme q(S) = det S est non dégénérée et invariante par cette action.

L’opération indiquée définit un morphisme de groupes de SL(2, C) vers O(q). Comme SL(2, C) est connexe, son image est contenu dans la composante neutre de O(q). D’après la question 7), cette composante est SO(q). Un calcul facile montre que le noyau de l’homomorphisme SL(2, C) → SO(q) ainsi défini est {±1}. On obtient donc un morphisme injectif de groupes de Lie φ : P SL(2, C) → SO(q). Ces deux groupes sont connexes et de même dimension. Donc φ est un isomorphisme. Finalement, on a un isomorphisme SO(q) →^{∼} SO(3, C) d’après la question précédente.

10) Montrer que l’exponentielle n’est pas surjective pour SL(2, C) (question de cours) mais qu’elle l’est pour SO(3, C). Indication : ceci revient à démontrer que pour toute matrice A ∈ SL(2, C), l’une au moins parmi A et −A est une exponentielle.

La matrice

( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

n’appartient pas à l’image de l’exponentielle de SL(2, C). En effet, si elle était de la forme exp(X) pour un X ∈ 𝔰𝔩(2, C), alors les valeurs propres λ, −λ de X seraient non nulles. Alors elles seraient distinctes et X serait diagonalisable. Mais alors exp(X) serait diagonalisable. Contradiction.

Pour montrer que A ou −A est une exponentielle, on peut supposer A trigonalisée. Si ses coefficients diagonaux sont distincts deux à deux, A est diagonalisable donc elle est une exponentielle. Si les coefficients diagonaux sont égaux à λ, on a λ^{2} = 1 donc λ = ±1. Si λ = 1, alors A est l’exponentielle de A − 1. Si λ = −1, alors −A est l’exponentielle de −A − 1.

11) Montrer que 𝔰𝔬(3, C) est une algèbre de Lie simple de rang 1.

La différentielle de l’isomorphisme de la question précédente est un isomorphisme 𝔰𝔩(2, C) →^{∼} 𝔰𝔬(3, C). Donc 𝔰𝔬(3, C) est bien simple de rang 1.

12) a) Montrer qu’une matrice dans 𝔰𝔩(2, C) est nilpotente ssi son déterminant s’annule et semisimple sinon. Indication : considérer le polynôme caractéristique.

b) Montrer qu’une matrice

B = ( \begin{matrix}0 & a & b \\ −a & 0 & c \\ −b & −c & 0 \end{matrix} )

est nilpotente ssi δ(B) = a^{2} + b^{2} + c^{2} s’annule et semi-simple sinon.

a) Le polynôme caractéristique d’une matrice A ∈ 𝔰𝔩(2, C) est X^{2} + det A. Si det A = 0, alors A^{2} = 0 (Cayley-Hamilton), sinon elle a deux valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.

b) Le polynôme caractèristique de la matrice indiquée est X^{3} − (a^{2} + b^{2} + c^{2})X. Si a^{2} + b^{2} + c^{2} = 0, on a B^{3} = 0 (Cayley-Hamilton), sinon elle a trois valeurs propres distinctes deux à deux et est donc diagonalisable.

13) Expliciter toutes les sous-algèbres de Cartan de 𝔰𝔩(2, C) et 𝔰𝔬(3, C).

On sait que les sous-algèbres de Cartan de 𝔰𝔩(2, C) sont de dimension 1 et qu’elles sont formées d’éléments semisimples. Réciproquement, si on a une matrice A semi-simple, alors d’après le point précédent, elle a ses valeurs propres distinctes, donc la droite CA est conjugué à la sous-algèbre des matrices diagonales de 𝔰𝔩(2, C). Il s’ensuit que les sous-algèbres de Cartan de 𝔰𝔩(2, C) sont précisément les droites CA où A est une matrice de déterminant non nul.

De même, on voit que les sous-algèbres de Cartan de 𝔰𝔬(3, C) sont précisément les droites CB où δ(B) ≠ 0.

14) Soit 𝔥 la sous-algèbre de Cartan de 𝔰𝔬(3, C) formée des matrices

H(λ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & λ \\ 0 & 0 & 0 \\ −λ & 0 & 0 \end{matrix} ) , λ ∈ C.

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de adH(λ) dans 𝔰𝔬(3, C) et expliciter la décomposition

𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔤^{α} ⊕ 𝔤^{−α}

pour 𝔤 = 𝔰𝔬(3, C), 𝔥 = CH(1). Déterminer l’élément H_{α} canoniquement associé à 𝔥 et α. Compléter H_{α} en un 𝔰𝔩_{2}-triplet.

Considérons

X = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) Y = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) .

On calcule que

[H(λ), X] = −λY , [H(λ), Y] = λX , [X, Y] = H(1).

La matrice de adH(λ) dans la base X, Y, H(1) est donc

( \begin{matrix}0 & λ & 0 \\ −λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Ainsi, les valeurs propres de adH(λ) sont iλ, 0 et −iλ. Des vecteurs propres associés sont

X + iY, H(1), X − iY.

Pour α : 𝔥 → C on choisit la forme (unique au signe près)

H(λ) ↦ iλ.

Alors 𝔤^{α} = C(X + iY) et 𝔤^{−α} = C(X − iY). On a H_{α} = H(2/i). On choisit X_{α} = X + iY. On a

[X + iY, X − iY] = −2i[X, Y] = −2iH(1) = H(2/i)

et on choisit donc Y_{α} = X − iY.

15) Déterminer l’orbite de H_{α} sous l’action adjointe de SO(3, C).

Nous allons montrer que l’orbite est l’ensemble O des matrices

B = ( \begin{matrix}0 & a & b \\ −a & 0 & c \\ −b & −c & 0 \end{matrix} )

telles que a^{2} + b^{2} + c^{2} = −4. En effet, l’ensemble O contient H_{α} et il est stable par conjugaison (car a^{2} +b^{2} +c^{2} est un coefficient du polynôme caractéristique de B). Donc l’orbite est contenue dans O. Réciproquement, si B ∈ O, alors O est semisimple et régulier d’après la question 12). Donc il est conjugué sous l’action du groupe adjoint à un élément H(λ) de 𝔥. On doit avoir λ^{2} = δ(B) = −4. Donc λ = ±2/i. On conclut en observant que H(λ) est conjugué à H(−λ) par l’élément de SO(3, C)

( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

16) Soit q : R^{4} → R la forme quadratique

q(x, y, r, s) = x^{2} − y^{2} − r^{2} − s^{2},

et O(1, 3) le groupe des g ∈ GL(4, R) tels que q(gv) = q(v) pour tout v ∈ R^{4}. Montrer que le groupe de Lie réel P SL(2, C) est isomorphe à la composante connexe de O(1, 3). Indication : faire opérer SL(2, C) par congruence hermitienne sur les matrices de la forme

( \begin{matrix}x + y & r − is \\ r + is & x − y \end{matrix} )

L’opération par congruence hermitienne préserve le déterminant, qui vaut x^{2} − y^{2} − r^{2} − s^{2}. On obtient donc bien un homomorphisme de groupe à valeurs dans O(1, 3). On calcule que son noyau est formé de ±1. On obtient ainsi un morphisme de groupes de Lie injectif P SL(2, C) → O(1, 3). Les deux groupes sont de dimension réelle 6. Comme P SL(2, C) est connexe, on obtient un isomorphisme de P SL(2, C) sur la composante neutre de O(1, 3).

II. Automorphismes qui laissent fixe une sous-algèbre de Cartan

Soit 𝔤 une algèbre de Lie semi-simple complexe et 𝔥 une sous-algèbre de Cartan.

1) Soit H_{0} ∈ 𝔥. Montrer que φ = e^{adH_{0}} est un automorphisme de 𝔤 tel que φ(H) = H pour tout H ∈ 𝔥.

Comme adH_{0} : 𝔤 → 𝔤 est une dérivation, son exponentielle est un automorphisme. Pour H ∈ 𝔥, on a (adH_{0})(H) = 0. Donc exp(adH_{0}) se restreint à l’identité sur 𝔥.

Réciproquement, soit φ : 𝔤 → 𝔤 un automorphisme de 𝔤 tel que φ(H) = H pour tout H ∈ 𝔥. On se propose de montrer que H = exp(adH_{0}) pour un H_{0} ∈ 𝔥.

2) Soit

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤^{α}

la décomposition de 𝔤 sous l’action de ad𝔥. Montrer que φ(𝔤^{α}) = 𝔤^{α} pour tout α ∈ R.

Soit X ∈ 𝔤^{α}. Pour H ∈ 𝔥, on a

[H, φ(X)] = [φ(H), φ(X)] = φ([H, X]) = α(H)φ(X).

Donc φ(X) est encore dans 𝔤^{α}. Comme φ est un automorphisme, sa restriction à 𝔤^{α} est injective et on a φ(𝔤^{α}) = 𝔤^{α}.

3) Pour α ∈ R, soit c_{a} ∈ C tel que φ(X) = c_{α}X pour tout X ∈ 𝔤^{α}. Montrer que c_{α+β} = c_{α}c_{β} et c_{α}c_{−α} = 1 si α, β et α + β sont des racines.

Soient X_{α} et X_{β} des générateurs de 𝔤^{α} et 𝔤^{β}. On sait qu’alors [X_{α}, X_{β}] est un générateur de 𝔤^{α+β}. On a

c_{α+β}[X_{α}, X_{β}] = φ([X_{α}, X_{β}]) = [φ(X_{α}), φ(X_{β})] = c_{α} c_{β} [X_{α}, X_{β}].

D’où la première égalité. Pour la seconde, on choisit un générateur Y_{α} de 𝔤^{−α}. On sait alors que [X_{α}, Y_{α}] est un élément non nul de 𝔥 et on en déduit que c_{α}c_{−α} = 1.

4) Soit S ⊂ R une base du système de racines. Montrer que si c_{α} = 1 pour toutes les racines simples, alors φ est l’identité de 𝔤.

Soit β une racine positive. On sait qu’il existe une suite de racines simples α_{1}, …, α_{k} telle que

β = α_{1} + … + α_{k}

et que chaque somme partielle α_{1} + … + α_{h}, h ≤ k, soit encore une racine. Par récurrence sur h, on déduit du point précédent que c_{β} = 1. Comme c_{β} c_{−β} = 1, on a aussi c_{−β} = 1. Il s’ensuit que φ est l’identité sur 𝔤^{β} pour toute racine β. Comme φ se restreint aussi à l’identité sur 𝔥, φ est l’identité de 𝔤.

5) Montrer qu’il existe H_{0} ∈ 𝔥 tel que exp(adH_{0}) et φ coïncident sur 𝔤^{α} pour toutes les racines simples. En déduire que φ = exp(adH_{0}).

Pour toute racine simple α soit z_{α} un nombre complexe tel que e^{z_{α}} = c_{α}. On sait que les racines simples forment une base sur C du dual de 𝔥. Il existe donc un élément H_{0} dans 𝔥 tel que α(H_{0}) = z_{α} pour toute racine simple α. On a alors

exp(adH_{0})(X_{α}) = exp(α(H_{0}))X_{α} = c_{α}X_{α}.

Donc les coefficients c_{α} associés à φ^{−1} ∘ exp(adH_{0}) sont tous égaux à 1. D’après le point précédent, φ^{−1} ∘ exp(adH_{0}) est l’identité de 𝔤.