Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1998-1999 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 14/06/99

Un corrigé de l’examen de Juin 1999

1) a) Soit X ∈ 𝔥. Alors X est de la forme (nous n’écrivons pas les coefficients nuls)

[ \begin{matrix}λ_{1} \\ & λ_{2} \\ & & λ_{3} \\ & & & −λ_{3} \\ & & & & −λ_{2} \\ & & & & & −λ_{1} \end{matrix} ]

et l’action de X sur les matrices E_{ij} est décrite par le tableau suivant

0 λ_{1} − λ_{2} λ_{1} − λ_{3} λ_{1} + λ_{3} λ_{1} + λ_{2} 2λ_{1}
0  λ_{2} − λ_{3} λ_{2} + λ_{3} 2λ_{2} λ_{2} + λ_{1}
0  2λ_{3} λ_{3} + λ_{2} λ_{3} + λ_{1}
0  λ_{2} − λ_{3} λ_{1} − λ_{3}
0  λ_{1} − λ_{2}

0

(les coefficients en-dessous de la diagonale sont les opposés de leurs symétriques par rapport à la diagonale). Soit ε_{i} la forme X ↦ λ_{i} sur 𝔥. Alors 𝔤 se décompose en

𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤^{α} ,  (1)

où R = R^{+} ∪ (−R^{+}) et R^{+} est l’ensemble des formes

ε_{1} − ε_{2}, ε_{2} − ε_{3}, ε_{1} − ε_{3}, ε_{1} + ε_{2}, ε_{1} + ε_{3}, ε_{2} + ε_{3}, 2ε_{1}, 2ε_{2}, 2ε_{3}.

Les sous-espaces poids correspondant sont engendrés par (dans le même ordre)

F_{12}, F_{23}, F_{13}, F′_{15}, F′_{14}, F′_{24}, F′_{34}, F′_{25}, F′_{16} ,

où F_{ij} = E_{ij} − E_{ij}^{∗} et F′_{ij} = E_{ij} + E_{ij}^{∗}. Pour α ∈ R^{+}, le sous-espace poids correspondant à −α est engendré par la transposée du générateur de 𝔤^{α}. La sous-algèbre 𝔥 est formée d’éléments semisimples, elle est abélienne et l’équation ?? montre qu’elle est égale à son centralisateur. Elle est donc bien une sous-algèbre de Cartan et nous venons d’exhiber la décomposition de 𝔤 en sous-espaces poids.

b) Pour X ∈ 𝔥, le centralisateur de X est la somme directe de 𝔥 et des espaces poids 𝔤^{α}, α ∈ R, tels que α(X) = 0.

c) On choisit X tel que λ_{1} = λ_{2} = 1 et que λ_{3} = 0. Alors R^{+}′ est formé de α = ε_{1} − ε_{2} et de γ = 2ε_{3}

et

𝔤(X) = 𝔥 ⊕ 𝔤^{α} ⊕ 𝔤^{−α} ⊕ 𝔤^{γ} ⊕ 𝔤^{−γ}.

Aucune des quatre formes ±α ±γ n’est racine, de façon que [𝔤^{±α}, 𝔤^{±γ}] = 0. Ainsi, l’algèbre dérivée est égale à la somme de [𝔥, 𝔤^{±α}], [𝔥, 𝔤^{±γ}], [𝔤^{α}, 𝔤^{−α}] et [𝔤^{γ}, 𝔤^{−γ}]. On obtient donc

[𝔤(X), 𝔤(X)] = 𝔰_{α} ⊕ 𝔰_{γ} ≅ 𝔰𝔩(2, C) ⊕ 𝔰𝔩(2, C).

2) a) L’opérateur ρ(X) vérifie

(ρ(X)v, w) + (v, ρ(X)w) = 0

pour tous v, w ∈ V. Nous avons donc ^{t}ρ(X) = −ρ(X) et ρ(X) est antisymétrique. Donc ses valeurs propres sont imaginaires pures. b) Soient λ_{1}, …, λ_{n} les valeurs propres complexes de ρ(X) (écrites avec leurs multiplicités algébriques).

Alors le nombre

b_{V} (X, X) = tr(ρ(X), ρ(X)) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{2}

est un réel ≤ 0 puisque les λ_{i} sont imaginaires pures.

3) a) Soit b_{0} : 𝔤 × 𝔤 → R un produit scalaire quelconque sur 𝔤. Pour X, Y ∈ 𝔤, posons

b(X, Y) = I(f_{X,Y}).

où f_{X,Y} (h) = b_{0}(Ad(h)X, Ad(h)Y), h ∈ G. Alors b est bilinéaire (car b_{0} est bilinéaire et I est linéaire), symétrique (car b_{0} l’est) et définie positive (car b_{0} et I le sont). En outre, pour g ∈ G, nous avons

f_{Ad(g)X,Ad(g)Y} (h) = b_{0}(Ad(h)Ad(g)X, Ad(h)Ad(g)Y)
= b_{0}(Ad(hg)X, Ad(hg)Y)
= f_{X,Y} (hg)
= (R_{g}f_{X,Y})(h)

et donc b(Ad(g)X, Ad(g)Y) = b(X, Y) grâce à l’invariance de I par translations à droite.

b) Si 𝔞 ⊂ 𝔤 est une sous-représentation de la représentation adjointe, l’orthogonal 𝔞^{⊥} pour le produit scalaire invariant est un supplémentaire invariant. Donc 𝔤 est complètement réductible.

c) Les sous-représentations de la représentation adjointe sont exactement les idéaux de 𝔤. Donc les 𝔞_{i} sont bien des idéaux minimaux de 𝔤 et l’égalité 𝔤 = ⨁_{i=1}^{n} 𝔞_{i} se traduit en un isomorphisme d’algèbres de Lie 𝔤 = ∏_{i=1}^{n} 𝔞_{i}. Chacun des idéaux 𝔞_{i} est soit abélien, et alors il est de dimension un, soit simple. Soit 𝔠 la somme des idéaux abéliens parmi les 𝔞_{i} et 𝔰 la somme des idéaux simples. Alors clairement 𝔤 est isomorphe au produit de 𝔠 par 𝔰.

d) Soit b une forme sur 𝔤 invariante par G et définie positive. Alors sa restriction à 𝔰 est invariante par G est définie positive. Par dérivation, on voit qu’elle est invariante par 𝔤 et donc par 𝔰. Ainsi, la représentation adjointe de 𝔰 vérifie les hypothèses de l’exercice précédent. Donc la forme sur 𝔰 associée à la représentation adjointe est négative. Mais cette forme n’est autre que la forme de Killing. La forme de Killing de 𝔰 est donc négative. Elle est définie puisque 𝔰 est semi-simple.

4) a) L’algèbre de Lie 𝔠 est isomorphe à R^{n} pour un n ≥ 0. Elle est donc isomorphe à l’algèbre de Lie

du tore T = R^{n}/Z^{n}.

b) Soit A le groupe des automorphismes de 𝔤. On sait que l’algèbre de Lie de A s’identifie à l’algèbre des dérivations de 𝔤 et puisque 𝔤 est semi-simple cette dernière est isomorphe à 𝔤 (par l’isomorphisme X ↦ ad(X)). Le groupe A est compact, puisqu’il s’identifie à un sous-groupe fermé du groupe orthogonal de l’espace 𝔤 muni de la forme de Killing (le groupe orthogonal est compact puisqu’il s’identifie à une partie fermée d’un produit de sphères).

c) Le groupe produit G = T × A a pour algèbre de Lie l’algèbre produit 𝔠 × 𝔰.

5) Soit b un produit scalaire invariant par G sur 𝔤. Considérons la fonction h ↦ b(Ad(h)X, Y). Comme G est compact, il existe g ∈ G tel que b(Ad(g)X, Y) est minimal. Pour Z ∈ 𝔤, considérons la fonction réelle

f : t ↦ b(Ad(exp(tZ)g)X, Y).

Elle prend un minimum en t = 0 et puisque la différentielle de Ad : G → GL(𝔤) en e ∈ G est ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤), nous avons

\frac{df}{dt} (0) = b(ad(Z)(Ad(g)X), Y) = b([Z, Ad(g)X], Y) = b(Z, [Ad(g)X, Y]).

Comme b est non-dégénérée et Z ∈ 𝔤 quelconque, on a [Ad(g)X, Y] = 0.

6) Soient 𝔥, 𝔨 deux sous-algèbres de Cartan. Alors comme 𝔤 est semi-simple, 𝔥 est le centralisateur d’un élément régulier X et 𝔨 le centralisateur d’un élément régulier Y. Grâce au point précédent, il existe g ∈ G tel que [Ad(g)X, Y] = 0. Donc Ad(g)X est un élément régulier du centralisateur 𝔨 de Y et son centralisateur Ad(g)𝔥 coïncide avec 𝔨. Comme G est connexe, Ad(g) appartient à Int(𝔤).