\documentstyle[eufrak]{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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%liste d'exercices
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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\begin{document}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 14/06/99}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Un corrig\'e de l'examen de Juin 1999}\\
\end{center}
\setlength{\baselineskip}{0.4cm}
\begin{list-of-exercises}

\item 
\begin{sublist}
\item 
Soit $X\in\goh$. Alors $X$ est de la forme (nous n'\'ecrivons pas
les coefficients nuls)
\[
\left[
\begin{array}{cccccc}
\lam_1 &       &      &    &    &     \\
      & \lam_2 &      &    &    &     \\
      &       &\lam_3 &    &    &     \\
      &       &      & -\lam_3 &    & \\
      &       &      &        & -\lam_2  & \\
      &       &      &    &        &  -\lam_1 
\end{array}
\right] 
\]
et l'action de $X$ sur les matrices $E_{ij}$ est d\'ecrite
par le tableau suivant 
\[
\begin{array}{cccccc}
0 & \lam_1-\lam_2 & \lam_1-\lam_3 & \lam_1+\lam_3 & 
                                        \lam_1+\lam_2 & 2\lam_1 \\
  & 0 & \lam_2-\lam_3 & \lam_2 + \lam_3 & 2 \lam_2 & 
                                        \lam_2+\lam_1       \\
  &   &  0 & 2\lam_3 & \lam_3 + \lam_2 & \lam_3+\lam_1   \\
  &   &    &   0    & \lam_2-\lam_3   & \lam_1-\lam_3  \\
  &   &    &        &   0           & \lam_1-\lam_2 \\
  &   &    &        &               &   0         
\end{array}
\]
(les coefficients en-dessous de la
diagonale sont les oppos\'es de leurs sym\'etriques
par rapport \`a la diagonale). Soit $\eps_i$
la forme $X \mapsto \lam_i$ sur $\goh$. 
Alors $\gog$ se d\'ecompose en 
\begin{equation}
\label{decomp}
\goh\oplus \bigoplus_{\alpha\in R} \gog^\alpha\ko
\end{equation}
o\`u $R=R^+\cup (-R^+)$ et $R^+$ est l'ensemble des formes
\[
\eps_1-\eps_2, \eps_2-\eps_3, \eps_1-\eps_3, \eps_1+\eps_2,
\eps_1+\eps_3, \eps_2+\eps_3, 2\eps_1, 2\eps_2, 2\eps_3.
\]
Les sous-espaces poids correspondant sont 
engendr\'es par (dans le m\^eme ordre)
\[
F_{12}, F_{23}, F_{13}, F'_{15}, F'_{14}, F'_{24}, F'_{34}, F'_{25},
F'_{16}\ko
\]
o\`u $F_{ij}=E_{ij}-E_{ij}^*$ et $F'_{ij}=E_{ij}+E_{ij}^*$. 
Pour $\alpha\in R^+$, le sous-espace poids correspondant \`a $-\alpha$
est engendr\'e par la transpos\'ee du g\'en\'erateur de $\gog^\alpha$.
La sous-alg\`ebre $\goh$ est form\'ee d'\'el\'ements semi-simples,
elle est ab\'elienne et l'\'equation \ref{decomp} montre qu'elle
est \'egale \`a son centralisateur. Elle est donc bien une 
sous-alg\`ebre de Cartan et nous venons d'exhiber la
d\'ecomposition de $\gog$ en sous-espaces poids.


\item Pour $X\in \goh$, le centralisateur de $X$ est la somme
directe de $\goh$ et des espaces poids $\gog^\alpha$, $\alpha\in R$, tels que
$\alpha(X)=0$. 


\item On choisit $X$ tel que $\lam_1=\lam_2=1$ et que $\lam_3=0$.
Alors ${R^+}'$ est form\'e de $\alpha=\eps_1-\eps_2$ et de 
$\gamma=2\eps_3$ et
\[
\gog(X)=\goh \oplus \gog^\alpha\oplus\gog^{-\alpha}\oplus 
                 \gog^\gamma\oplus\gog^{-\gamma}.
\]
Aucune des quatre formes $\pm\alpha\pm\gamma$ n'est racine, de
fa\c{c}on que $[\gog^{\pm\alpha},\gog^{\pm\gamma}]=0$. Ainsi,
l'alg\`ebre d\'eriv\'ee est \'egale \`a la somme de
$[\goh, \gog^{\pm \alpha}]$, $[\goh,\gog^{\pm\gamma}]$,
$[\gog^\alpha,\gog^{-\alpha}]$ et $[\gog^\gamma,\gog^{-\gamma}]$.
On obtient donc
\[
[
\gog(X),\gog(X)] = \gos_\alpha\oplus \gos_\gamma \cong
\sl(2,\C)\oplus \sl(2,\C).
\]
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item
L'op\'erateur $\rho(X)$ v\'erifie
\[
(\rho(X) v, w) + (v, \rho(X) w) =0
\]
pour tous $v,w \in V$. Nous avons donc $\,^t\rho(X)=-\rho(X)$
et $\rho(X)$ est antisym\'etrique. Donc
ses valeurs propres sont imaginaires pures.

\item Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les
valeurs propres complexes de $\rho(X)$ (\'ecrites
avec leurs multiplicit\'es alg\'ebriques). Alors
le nombre
\[
b_V(X,X)= \tr(\rho(X),\rho(X)) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2
\]
est un r\'eel $\leq 0$ puisque les $\lambda_i$ sont
imaginaires pures.
\end{sublist}

\item
\begin{sublist}
\item Soit $b_0: \gog\times\gog \ra \R$ un produit scalaire
quelconque sur $\gog$. Pour $X,Y\in \gog$, posons
\[
b(X,Y)=I(f_{X,Y}).
\]
o\`u $f_{X,Y}(h)=b_0(\Ad(h)X, \Ad(h) Y)$, $h\in G$.
Alors $b$ est bilin\'eaire (car $b_0$ est bilin\'eaire et
$I$ est lin\'eaire), sym\'etrique (car $b_0$ l'est) et
d\'efinie positive (car $b_0$ et $I$ le sont). En 
outre, pour $g\in G$, nous avons
\begin{eqnarray*}
f_{\Ad(g) X, \Ad(g) Y}(h) & = & b_0 (\Ad(h)\Ad(g) X, \Ad(h)\Ad(g) Y) \\
                          & = & b_0 (\Ad(hg)X, \Ad(hg) Y) \\
                          & = & f_{X,Y}(hg) \\
                          & = & (R_g f_{X,Y})(h)
\end{eqnarray*}
et donc $b(\Ad(g)X,\Ad(g)Y)= b(X,Y)$ gr\^ace \`a l'invariance
de $I$ par translations \`a droite.

\item Si $\goa \subset \gog$ est une sous-repr\'esentation de
la repr\'esentation adjointe, l'orthogonal $\goa^\perp$ pour
le produit scalaire invariant est un suppl\'ementaire
invariant. Donc $\gog$ est compl\`etement r\'eductible.

\item Les sous-repr\'esentations de la repr\'esentation
adjointe sont exactement les id\'eaux de $\gog$. Donc
les $\goa_i$ sont bien des id\'eaux minimaux de $\gog$
et l'\'egalit\'e $\gog=\bigoplus_{i=1}^n \goa_i$ se
traduit en un isomorphisme d'alg\`ebres de Lie
$\gog =\prod_{i=1}^n \goa_i$. Chacun des id\'eaux
$\goa_i$ est soit ab\'elien, et alors il est de dimension
un, soit simple. Soit $\goc$ la somme des id\'eaux
ab\'eliens parmi les $\goa_i$ et $\gos$ la somme
des id\'eaux simples. Alors clairement $\gog$ est
isomorphe au produit de $\goc$ par $\gos$.

\item Soit $b$ une forme sur $\gog$ invariante
par $G$ et d\'efinie positive. Alors sa restriction
\`a $\gos$ est invariante par $G$ est d\'efinie positive.
Par d\'erivation, on voit qu'elle est invariante par
$\gog$ et donc par $\gos$. Ainsi, la repr\'esentation
adjointe de $\gos$ v\'erifie les hypoth\`eses de
l'exercice pr\'ec\'edent. Donc la forme sur $\gos$
associ\'ee \`a la repr\'esentation adjointe est
n\'egative. Mais cette forme n'est autre que la
forme de Killing. La forme de Killing de $\gos$
est donc n\'egative. Elle est d\'efinie puisque
$\gos$ est semi-simple.
\end{sublist}


\item 
\begin{sublist}
\item L'alg\`ebre de Lie $\goc$ est isomorphe
\`a $\R^n$ pour un $n\geq 0$. Elle est donc isomorphe
\`a l'alg\`ebre de Lie du tore $T=\R^n/\Z^n$.

\item Soit $A$ le groupe des automorphismes de
$\gog$. On sait que l'alg\`ebre de Lie de $A$ 
s'identifie \`a l'alg\`ebre des d\'erivations
de $\gog$ et puisque $\gog$ est semi-simple
cette derni\`ere est isomorphe \`a $\gog$
(par l'isomorphisme $X \mapsto \ad(X)$).
Le groupe $A$ est compact, puisqu'il s'identifie
\`a un sous-groupe ferm\'e du groupe orthogonal
de l'espace $\gog$ muni de la forme de Killing
(le groupe orthogonal est compact puisqu'il
s'identifie \`a une partie ferm\'ee d'un
produit de sph\`eres).


\item Le groupe produit $G=T\times A$ a pour
alg\`ebre de Lie l'alg\`ebre produit $\goc\times \gos$.
\end{sublist}


\item Soit $b$ un produit scalaire invariant par
$G$ sur $\gog$. Consid\'erons la fonction $h \mapsto
b(\Ad(h) X,Y)$. Comme $G$ est compact, il existe
$g\in G$ tel que $b(\Ad(g)X,Y)$ est minimal.
Pour $Z\in \gog$, consid\'erons la fonction
r\'eelle
\[
f: t \mapsto b (\Ad (\exp(tZ) g) X,Y).
\]
Elle prend un minimum en $t=0$ et puisque
la diff\'erentielle de $\Ad: G \ra GL(\gog)$
en $e\in G$ est $\ad:\gog \ra \gl(\gog)$, nous avons
\[
\frac{df}{dt}(0)= b(\ad(Z)(\Ad(g) X),Y)= b([Z,\Ad(g) X],Y)
= b(Z, [\Ad(g)X,Y]).
\]
Comme $b$ est non-d\'eg\'en\'er\'ee et $Z\in\gog$ quelconque,
on a $[\Ad(g)X,Y]=0$.

\item Soient $\goh$, $\gok$ deux sous-alg\`ebres de
Cartan. Alors comme $\gog$ est semi-simple, $\goh$ est
le centralisateur d'un \'el\'ement r\'egulier $X$
et $\gok$ le centralisateur d'un \'el\'ement r\'egulier
$Y$. Gr\^ace au point pr\'ec\'edent, il existe $g\in G$
tel que $[\Ad(g)X,Y]=0$. Donc $\Ad(g)X$ est un \'el\'ement
r\'egulier du centralisateur $\gok$ de $Y$ et son centralisateur
$\Ad(g)\goh$ co\"{\i}ncide avec $\gok$. Comme $G$ est connexe,
$\Ad(g)$ appartient \`a $\Int(\gog)$.

\end{list-of-exercises}

\end{document}