Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1998-1999 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 15/12/98

Un corrigé des exercices de révision

1) a) Munissons 𝔤 d’une norme. Soit r > 0 un nombre réel tel que l’exponentielle est un difféomorphisme la boule B′ de 𝔤 de rayon r autour de 0 sur son image dans G. Soit B la boule de rayon r/2 autour de 0 et soit U l’image de B par l’exponentielle. Supposons que H est un sous-groupe de G contenu dans U. Supposons que h est un élément non-trivial de H. Nous avons h = exp(X) pour un unique X ∈ B. Soit n le plus petit entier > 1 tel que n ||X|| soit supérieur à r/2. Alors nous avons r/2 < n||X|| < r, X appartient à B′ mais non pas à B et h^{n} = exp(nX) appartient à exp(B′) mais non pas à U (puisque exp est une bijection de B′ sur exp(B′)). Cette contradiction montre que H est trivial.

b) On sait qu’il existe un voisinage V de 0 dans 𝔤 tel que exp(X) exp(Y) = exp(H(X, Y)) pour tous les X, Y ∈ V, où H(X, Y) est l’opérateur de Hausdorff. La formule de Campbell-Hausdorff montre que

H(X, Y) = X + Y + \frac{1}{2}[X, Y] + …

où tous les termes supérieurs sont des crochets itérés de X et Y. On a donc bien H(X, Y) = X + Y + R pour un R ∈ [𝔤, 𝔤].

c) Choisissons un voisinage U contenu dans exp(V), où V est comme dans la question précedente. Puisque [𝔤, 𝔤] = 0, la question précédente montre que les éléments de U commutent deux à deux. Donc le sous-groupe H engendré par U est commutatif. Puisque G est connexe, il est engendré par tout voisinage de e. Donc G est égal à H.

d) On n’a pas nécessairement [X, Y] = 0. En effet, considérons G = GL(2, C) et

X = [ \begin{matrix}2πi & 0 \\ 0 & −2πi \end{matrix} ] , Y = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

Alors exp(X) = e commute bien à exp(Y) mais [X, Y] = 4πiY ≠ 0.

e) Le centre Z(G) du groupe G est formé des éléments g ∈ G tels que gh = hg pour tous les h ∈ G. Le centre de l’algèbre de Lie 𝔤 est formé des X ∈ 𝔤 tels que [X, Y] = 0 pour tous les Y ∈ 𝔤. L’algèbre de Lie de Z(G) est contenue dans 𝔷(𝔤). En effet, l’algèbre de Lie de Z(G) est formée des X ∈ 𝔤 tels que exp(tX)g = g exp(tX) pour tout t ∈ R et tout g ∈ G. Comme g exp(tX)g^{−1} = exp(Ad(g)tX), il s’ensuit que Ad(g)(X) = X pour tout g ∈ G et donc que ad(Y)(X) = 0 pour tout X, Y ∈ 𝔤 ce qui signifie que X appartient au centre de 𝔤. Si G est connexe, le centre de 𝔤 est égal à l’algèbre de Lie du centre de G. En effet, dans ce cas, le groupe G est engendré par les exp(X), X ∈ 𝔤. Si Y appartient au centre de 𝔤, l’égalité

Ad(exp(X))(Y) = exp(ad(X)(Y) = Y

pour tout X ∈ 𝔤, implique alors que Ad(g)(Y) = Y pour tout g ∈ G. Nous avons donc g exp(tY)g^{−1} = exp(Ad(g)tY) = exp(tY) pour tout t ∈ R ce qui montre que exp(tY) est central dans G pour tout t ∈ R et que Y appartient à l’algèbre de Lie de Z(G). Si G est non connexe, l’inclusion peut être stricte comme le montre l’exemple du groupe G qui en tant que variété est le produit de {±1} par R et qui est muni de la multiplication

(ε, x) · (ε′, x′) = (ε ε′, ε′x + x′).

Le centre de ce groupe est trivial alors que le centre de son algèbre de Lie 𝔤 = R est égal à 𝔤.

2) a) On sait que H opère dans V (m) de façon diagonalisable, que ses valeurs propres sont −m, −m + 2, …, m − 2, m et qu’elles sont toutes de multiplicité 1. Ceci entraîne que

χ(m) = T^{−m} + T^{−m+2} + ⋯ + T^{m−2} + T^{m}.

b) Soit p : C[T, T^{−1}] → C[T] l’application qui envoie T^{i} sur 0 si i < 0 et sur T^{i} si i > 0. Les images des χ(m) par p forment une base de C[T] (la matrice de passage à la base canonique est triangulaire avec des coefficients 1 sur la diagonale). Donc les χ(m) forment une famille libre.

c) Structure de 𝔥-module sur Hom (V, W) : pour X, Y ∈ 𝔥 et f ∈ Hom_{k}(V, W), nous avons

X(Y f) = X(Y f(?) − f(Y?)) = XY f(?) − Xf(Y?) − Y f(X?) + f(Y X?)
Y (Xf) = Y (Xf(?) − f(X?)) = Y Xf(?) − Y f(X?) − Xf(Y?) + f(XY?).

Puisque V et W sont des 𝔥-modules, il s’ensuit que [X, Y]f = X(Y f) − Y (Xf). Structure de 𝔥-module sur V ⊗W : comme les tenseurs v ⊗w engendrent V ⊗W, la structure est unique si elle existe. Comme l’expression

(Xv) ⊗ w + v ⊗ (Xw)

est bilinéaire en v et w, il existe bien un endomorphisme ρ(X) de V ⊗ W qui envoie v ⊗ w sur (Xv) ⊗ w + v ⊗ (Xw). Il reste à vérifier que X ↦ ρ(X) est une représentation de 𝔥. Or nous avons

X(Y (v ⊗ w)) = (XY v) ⊗ w + (Y v) ⊗ (Xw) + (Xv) ⊗ (Y w) + v ⊗ (XY w)
Y (X(v ⊗ w)) = (Y Xv) ⊗ w + (Xv) ⊗ (Y w) + (Y v) ⊗ (Xw) + v ⊗ (Y Xw)

et puisque V et W sont des 𝔤-modules, la différence des deux membres de droite est bien égale à

([X, Y]v) ⊗ w + v ⊗ ([X, Y]w).

Structure de 𝔥-module sur V^{∗} : on trouve que

(Xv^{∗})(v) = −v^{∗}(Xv)

pour X ∈ 𝔥, v^{∗} ∈ V^{∗} et v ∈ V. Soit φ = φ(V, W) le morphisme canonique de l’affirmation. Pour X ∈ 𝔥 et w ⊗v^{∗} ∈ W ⊗V^{∗}, nous avons

X(w ⊗ v^{∗}) = (Xw) ⊗ v^{∗} + w ⊗ Xv^{∗}

Donc φ(X(w ⊗ v^{∗})) appliqué à v donne

(Xw)v^{∗}(v) − wv^{∗}(Xw)

ce qui est égal à Xφ(w ⊗v^{∗}) appliqué à v. L’application φ est donc bien un homomorphisme de 𝔥-modules. Clairement, φ(V, W) est un isomorphisme si V = k. Si V = k^{n}, alors φ(V, W) s’identifie à la somme directe de n copies de φ(k, W) et c’est donc un isomorphisme.

d) Notons V_{i} l’espace propre de H dans V pour la valeur propre i. Nous avons alors (V ⊕W)_{i} = V_{i} ⊕ W_{i}. Ceci implique que χ(V ⊕ W) = χ(V) + χ(W). L’espace V^{∗} se décompose en la somme des espaces propres de ρ(H)^{∗} et on sait que l’accouplement canonique V^{∗} ⊗ V → k met en dualité l’espace propre V_{i} avec l’espace propre de ρ(H)^{∗} correspondant à la valeur propre i. Comme H agit par −ρ(H)^{∗} dans V^{∗}, nous avons (V^{∗})_{i} →^{∼} (V_{−i})^{∗}. Ceci implique que χ(V^{∗})(T) = χ(V)(T^{−1}). Or on sait que dim V_{i} = dim V_{−i} pour tout 𝔤-module irréductible V et donc, par complète réductibilité, pour tout 𝔤-module de dimension finie. Donc χ(V)(T^{−1}) = χ(V)(T) et χ(V^{∗}) = χ(V).

Si v et w sont des vecteurs propres de H associés aux valeurs propres i et j, l’égalité

H(v ⊗ w) = (Hv) ⊗ w + v ⊗ (Hw) = (i + j) v ⊗ w

montre que v ⊗ w est associé à la valeur propre i + j. Si k = i + j, nous avons donc V_{i} ⊗ W_{j} ⊂ (V ⊗ W)_{k} et

⨁_{i+j=k} V_{i} ⊗ W_{j} ⊂ (V ⊗ W)_{k}

Cette inclusion est une égalité car si nous formons la somme sur tous les k ∈ N des deux côtés, nous trouvons V ⊗ W à droite et un espace de la même dimension à gauche. En utilisant l’isomorphisme de c) et les identités que nous avons déjà montrées nous trouvons

χ(Hom_{k}(V, W)) = χ(V ⊗ W^{∗}) = χ(V)χ(W^{∗}) = χ(V)χ(W).

e) Si V est un 𝔤-module de dimension finie, nous avons

V →^{∼} ⨁_{m∈N} n_{m} V (m)

pour des n_{m}, m ∈ N, uniques (et nuls sauf pour un nombre fini d’entre eux). Donc

χ(V) = ∑_{m∈N} n_{m} χ(m).

Puisque les χ(m) sont linéairement indépendants, le caractère χ(V) détermine les n_{m}. Or les n_{m} déterminent V à isomorphisme près.

f) On souhaite montrer l’isomorphisme dit de Clebsch-Gordan

V (m_{1}) ⊗ V (m_{2}) →^{∼} ⨁ V (m)  (1)

où la somme porte sur les entiers m tels que

m_{2} − m_{1} ≤ m ≤ m_{2} + m_{1} et m ≡ m_{1} + m_{2} mod 2.  (2)

(Une erreur s’était glissée dans l’énoncé des conditions (2) dans le sujet).

[figure: m_{1}; m_{2}; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; m_{1}; m_{2}; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘]

Examinons la figure de gauche. Sur chaque segment vertical se trouvent m_{2} + 1 points entiers. Le nombre de segments est de m_{1} + 1. Nous trouvons (m_{1} + 1)(m_{2} + 1) points entiers. Examinons la figure de droite. Sur le ‘crochet’ qui joint le point (i, 0), 0 ≤ i ≤ m_{1}, au point (0, m_{2} − m_{1} + i) se trouvent (m_{2} − m_{1} + i + 1) + (i + 1) − 1 = m_{2} − m_{1} + 2i + 1 points entiers. Le nombre total de points entiers dans le rectangle est donc de

(m_{1}+1)(m_{2}+1) = (m_{2}−m_{1}+1)+(m_{2}−m_{1}+3)+⋯+(m_{2}−m_{1}+2i+1)+⋯+(m_{2}+m_{1}+1).

Puisque dim V (m) = m + 1, cette égalité montre l’égalité des dimensions des deux côtés de (1). g) Nous montrons l’égalité des caractères des deux côtés de (1). Soit P = χ(m_{1})χ(m_{2}). Ap-

pelons ‘point entier admissible’ un point (x, y) ∈ (m_{1} + 2Z) × (m_{2} + 2Z). Alors le coefficient de T^{i} dans P est égal au nombre de points entiers admissibles (x, y) tels que x + y = i et qui se trouvent dans le rectangle défini par les inégalités −m_{1} ≤ x ≤ m_{1}, −m_{2} ≤ y ≤ m_{2}. Nous écrivons l’ensemble de ces points comme réunion disjointe des points entiers admissibles qui se trouvent sur les crochets comme dans la figure ci-dessous. Les points entiers admissibles figurant sur le crochet qui joint le point (m_{1}, m_{2} − 2j) au point (−m_{1} + 2j, −m_{2}) correspondent à la contribution de χ(m_{1} + m_{2} − 2j).

[figure: m_{1}; m_{2}; i; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘]

h) Supposons d’abord que V est indécomposable (ou cyclique) sous l’action de f, c’est-à-dire que la matrice de f par rapport à une base de Jordan e_{0}, …, e_{n−1} ne comporte qu’un seul bloc de Jordan (inférieur) de façon que nous avons f(e_{i}) = e_{i+1} pour i < n − 1 et f(e_{n−1}) = 0. On définit alors ρ(F) = f, H.e_{i} = (n−2i)e_{i} et E.e_{i} = i(n−i+1)e_{i−1} pour i > 0 et E.e_{0} = 0. On sait qu’on définit ainsi une structure de 𝔤-module irréductible sur V. Dans le cas général, on décompose V en une somme directe de sous-espaces invariants indécomposables et on munit chacun de ces sous-espaces d’une structure de 𝔤-module irréductible tel que F y agit par f. Supposons que V est muni d’une représentation de 𝔤 et posons f = ρ(F). Alors toute décomposition de V en somme de modules simples de dimensions d_{1}, …, d_{r} nous donne une décomposition de V en somme directe de sous-espaces invariants indécomposables de dimensions d_{1}, …, d_{r}. Or on sait que f détermine le nombre et les dimensions des sousespaces indécomposables qui apparaissent dans une décomposition de V sous l’action de f. Donc f = ρ(F) détermine la représentation ρ à isomorphisme près. En outre la décomposition de V en sous-espaces invariants ρ(F)-indécomposables (la ‘jordanisation de ρ(F)’) correspond à la décomposition de V en somme directe de 𝔤-modules simples.

i) Supposons V muni d’une structure de 𝔤-modules tel que F agit par f. L’espace 𝔤𝔩(V) muni de l’action de adf correspond alors au 𝔤-module

Hom_{k}(V, V) →^{∼} V ⊗ V^{∗} →^{∼} V ⊗ V.

Supposons que d_{1}, …, d_{r} sont les tailles des blocs de Jordan de f (avec répétitions). L’isomorphisme de Clebsch-Gordan donne la règle suivante : la multiplicité du bloc de Jordan de taille d de adf est égale au nombre de couples (d_{i}, d_{j}) tels que d ≡ d_{i} + d_{j} mod 2 et que |d_{i} − d_{j}| ≤ d ≤ d_{i} + d_{j}.

3) a) Soit U un ouvert de G. Alors UH est ouvert car il est égal à la réunion des ouverts Uh,

h ∈ H. Donc π(U) est ouvert.

b) Supposons que G/H est séparé. Alors π(e) est fermé dans G/H et donc H = π^{−1}(π(e)) est fermé dans G. Réciproquement, supposons H fermé dans G. Soient π(x) et π(y) deux points distincts de G/H. Comme le groupe G agit transitivement et par des homéomorphismes dans G/H, nous pouvons supposer que x = e. Il suffit alors de trouver des voisinages ouverts U et V de e dans G tels que UH ∩ V xH soit vide. Or cette condition équivaut à ce que V^{−1}U ∩ xH soit vide. Comme le complémentaire C de xH dans G est ouvert et que l’application (u, v) ↦ v^{−1}u de G × G dans G est continu et envoie (e, e) dans C, il existe bien un voisinage U × V de (e, e) dans G × G tel que U, V vérifient cette condition.

c) Supposons que G est la réunion de deux ouverts disjoints U et V. Alors xH est la réunion disjointe des ouverts relatifs xH ∩ U et xH ∩ V. Comme H et donc xH est connexe, il est égal à l’un de ces deux ouverts et l’autre est vide. Chaque classe xH est donc contenu dans U ou V ce qui montre que π(U) et π(V) sont ouverts dans G/H et que G/H est leur réunion disjointe. Donc π(U) ou π(V) est vide ce qui implique que U ou V est vide.

d) Le groupe SO(n + 1) agit transitivement sur S^{n} (tout vecteur de longueur 1 se complète en une base orthonormée et directe) et SO(n) est le stabilisateur de v ∈ S^{n}. On a donc une application bijective et continue SO(n+1)/SO(n) →^{∼} S^{n}. Puisque SO(n+1)/SO(n) est compact, cette application est fermée. Elle est donc un homéomorphisme. L’homéomorphisme SU(n + 1)/SU(n) →^{∼} S^{2n+1} se démontre de façon tout à fait analogue. L’homéomorphisme U(n)/SU(n) →^{∼} S^{1} est induit par le déterminant.

e) Les groupes SO(1) →^{∼} S^{1}, SU(1) = {e} et U(1) →^{∼} S^{1} sont connexes. Par récurrence, on en déduit grâce à c) et d) et à la connexité des sphéres S^{n}, n ≥ 1, que SO(n) et SU(n) sont connexes pour n ≥ 1. La connexité de S^{1} et de SU(n) implique la connexité de U(n) grâce à c) et d).

4) a) On sait qu’il existe un voisinage ouvert U_{1} × V_{1} de (0, 0) dans 𝔞 ⊕ 𝔥 tel que l’application (X, Y) ↦ exp(X) exp(Y) est un difféomorphisme sur son image I (coordonnées de seconde espèce). En outre, comme H est un sous-groupe fermé, c’est une sous-variété et on peut choisir U_{1} et V_{1} tels que (X, Y) ↦ exp(X) exp(Y) induit une bijection de {0} × V_{1} sur I ∩ H. On pose alors B = exp(V_{1}) et A′ = exp(U ∩ U_{1}). L’application de multiplication μ : A′ × B → G est un difféomorphisme sur son image car

exp × exp : (U ∩ U_{1}) × V_{1} → A′ × B

est un difféomorphisme et la composition μ ∘ (exp × exp) est un difféomorphisme de U_{1} × V_{1} sur son image. On a clairement B ⊂ H ∩ A′B. Réciproquement, on a H ∩ A′B ⊂ H ∩ I = B.

b) L’égalité a_{1}h_{1} = a_{2}h_{2} entraîne que a_{2}^{−1}a_{1} = h_{2}h_{1}^{−1}. Or a_{2}^{−1}a_{1} appartient à C^{−1}C ⊂ A′B. Donc h_{2}h_{1}^{−1} appartient à A′B ∩ H = B et l’égalité

a_{1} e = a_{2}(h_{1} h_{2}^{−1})

entre deux membres de A′B permet, grâce à a), de conclure que l’on a a_{1} = a_{2} et e = (h_{1} h_{2}^{−1}).

c) L’application de multiplication A×H → AH est injective d’après b). Elle est clairement surjective. D’après a), elle est un difféomorphisme sur A × B. Donc elle est un difféomorphisme sur A × Bh pour tout h ∈ H. La réunion des A × Bh est égale à A × H. L’application A × H → AH est en particulier une submersion et donc ouverte. Ainsi AH est ouvert dans G et π(A) = π(AH) est ouvert dans G/H. D’après c), l’application π : A → π(A) est bijective. Elle est continue en tant que restriction de π : G → G/H. Elle est ouverte, car si U ⊂ A est ouvert, alors U × H est ouvert dans A × H, donc UH est ouvert dans AH et donc dans G, et π(U) = π(UH) est ouvert dans G/H.

d) Soient g_{1} et g_{2} deux éléments de G tels que π(g_{1}A) ∩ π(g_{2}A) est non vide. Sur son domaine de définition, l’application φ_{g_{1}}φ_{g_{2}}^{−1} est donnée par la composition

exp^{−1} ∘L_{g_{1}^{−1}} ∘ s_{g_{1}} ∘ π ∘ L_{g_{2}} exp

Il suffit donc de voir que s_{g_{1}} ∘ π restreinte à g_{2}A est différentiable. Or elle est égale à la composition de l’inclusion g_{2}A → g_{1}AH avec l’application g_{1}AH → g_{1}A qui à g_{1}ah associe g_{1}a. Cette dernière est différentiable d’après c).

e) On munit G/H de l’atlas défini par les cartes de d). La projection π : G → G/H restreinte au voisinage AH de e s’identifie alors à la projection de A × H sur A (par d et c) ce qui montre que π est un fibré localement trivial dans un voisinage de π(e) ∈ G/H et donc partout puisque la structure définie sur G/H est préservé par les translations et que π commute aux translations. En particulier, π est une submersion surjective. Il est clair d’après a) et d) que l’application tangente à π induit un isomorphisme de 𝔞 sur T_{π(e)}(G/H). Donc T_{e}(π) induit un isomorphisme de 𝔤/𝔥 sur T_{π(e)}(G/H). Finalement la structure différentiable est unique car la structure différentiable de toute variété N but d’une submersion surjective φ : M → N est uniquement déterminée par M et l’application φ.

f) Le groupe SU(1) = {e} est simplement connexe. D’après 3 d) et 4 e), nous avons un difféomorphisme SU(n + 1)/SU(n) →^{∼} S^{2n+1}, g ↦ gv pour tout n ≥ 1. Donc l’application SU(n + 1) → S^{2n+1}, g ↦ gv est un fibré localement trivial de fibre SU(n) et nous avons une suite exacte de groupes fondamentaux

π_{1}(SU(n)) → π_{1}(SU(n + 1)) → π_{1}(S^{2n+1}) → 1.

Par récurrence, il s’ensuit que π_{1}(SU(n + 1)) est trivial. Grâce à 3 d) et 4 e), le déterminant U(n) → S^{1} est un fibré localement trivial de fibre SU(n). Comme π_{1}(SU(n)) = {e}, la suite exacte des groupes fondamentaux montre que

π_{1}(U(n)) →^{∼} π_{1}(S^{1}) →^{∼} Z.