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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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\begin{document}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 15/12/98}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Un corrig\'e des exercices de r\'evision}\\
\end{center}

\bigskip

\begin{list-of-exercises}

\item 
\begin{sublist}
\item Munissons $\gog$ d'une norme.
Soit $r>0$ un nombre r\'eel tel que
l'exponentielle est un diff\'eomorphisme la boule $B'$ de 
$\gog$ de rayon $r$ autour de $0$ sur son image dans $G$. 
Soit $B$ la boule de rayon $r/2$ autour de $0$ et
soit $U$ l'image de $B$ par l'exponentielle.
Supposons que $H$ est un sous-groupe de $G$ contenu dans
$U$. Supposons que $h$ est un \'el\'ement non-trivial de $H$.
Nous avons $h=\exp(X)$ pour un unique $X\in B$. 
Soit $n$ le plus petit entier $>1$ tel que $n \,||X||$
soit sup\'erieur \`a $r/2$. Alors nous avons $r/2< n ||X||<r$,
$X$ appartient \`a $B'$ mais non pas \`a $B$
et $h^n=\exp(nX)$ appartient \`a $\exp(B')$ mais
non pas \`a $U$ (puisque $\exp$ est une bijection de
$B'$ sur $\exp(B')$). Cette contradiction montre que
$H$ est trivial.


\item On sait qu'il existe un voisinage $V$ de $0$ dans
$\gog$ tel que $\exp(X)\exp(Y)=\exp(H(X,Y))$ pour tous
les $X,Y\in V$, o\`u $H(X,Y)$ est l'op\'erateur de
Hausdorff. La formule de Campbell-Hausdorff montre que
\[
H(X,Y) = X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \ldots
\]
o\`u tous les termes sup\'erieurs sont des crochets
it\'er\'es de $X$ et $Y$. On a donc bien $H(X,Y)=X+Y+R$
pour un $R\in[\gog,\gog]$.

\item Choisissons un voisinage $U$ contenu
dans $\exp(V)$, o\`u $V$ est comme dans la question pr\'ecedente.
Puisque $[\gog,\gog]=0$, la question pr\'ec\'edente montre que
les \'el\'ements de $U$ commutent deux \`a deux. Donc
le sous-groupe $H$ engendr\'e par $U$ est commutatif.
Puisque $G$ est connexe, il est engendr\'e par tout voisinage
de $e$. Donc $G$ est \'egal \`a $H$.

\item On n'a pas n\'ecessairement $[X,Y]=0$. En effet,
consid\'erons $G=GL(2,\C)$ et 
\[
X=\left[\begin{array}{cc} 2\pi i & 0 \\ 0 & -2\pi i
  \end{array}\right] \ko \quad 
Y=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]
\]
Alors $\exp(X)=e$ commute bien \`a $\exp(Y)$ mais
$[X,Y]=4\pi i Y \neq 0$.

\item Le centre $Z(G)$ du groupe $G$ est form\'e des \'el\'ements
$g\in G$ tels que $gh=hg$ pour tous les $h\in G$. Le centre de 
l'alg\`ebre de Lie $\gog$ est form\'e des $X\in \gog$ tels que
$[X,Y]=0$ pour tous les $Y\in\gog$. L'alg\`ebre de Lie
de $Z(G)$ est contenue dans $\goz(\gog)$. En effet, l'alg\`ebre
de Lie de $Z(G)$ est form\'ee des $X\in\gog$ tels que
$\exp(tX) g = g \exp(tX)$ pour tout $t\in \R$ et tout
$g\in G$. Comme $g \exp(tX) g^{-1}=\exp(\Ad(g) tX)$, il s'ensuit
que $\Ad(g)(X)=X$ pour tout $g\in G$ et donc que
$\ad(Y)(X)=0$ pour tout $X,Y \in \gog$ ce qui signifie
que $X$ appartient au centre de $\gog$. Si $G$ est connexe,
le centre de $\gog$ est \'egal \`a l'alg\`ebre de
Lie du centre de $G$. En effet, dans ce cas, le groupe
$G$ est engendr\'e par les $\exp(X)$, $X\in \gog$.
Si $Y$ appartient au centre de $\gog$, 
l'\'egalit\'e 
\[
\Ad(\exp(X))(Y)=\exp(\ad(X)(Y)=Y
\]
pour tout $X\in\gog$, implique alors que $\Ad(g)(Y)=Y$
pour tout $g\in G$.
Nous avons donc $g\exp(tY)g^{-1}=\exp(\Ad(g)tY)=\exp(tY)$ 
pour tout $t\in \R$ ce qui montre que $\exp(tY)$ est central
dans $G$ pour tout $t\in \R$ et que $Y$ appartient \`a
l'alg\`ebre de Lie de $Z(G)$.
Si $G$ est non connexe, l'inclusion peut \^etre 
stricte comme le montre l'exemple du
groupe $G$ qui en tant que vari\'et\'e est le
produit de $\{\pm 1\}$ par $\R$ et qui est muni de
la multiplication
\[
(\eps, x) \cdot (\eps',x')= (\eps\,\eps', \eps' x + x').
\]
Le centre de ce groupe est trivial alors que le
centre de son alg\`ebre de Lie $\gog=\R$ est \'egal 
\`a $\gog$.

\end{sublist}

\item 
\begin{sublist} 
\item On sait que $H$ op\`ere dans $V(m)$
de fa\c{c}on diagonalisable, que ses valeurs propres
sont $-m, -m+2, \ldots, m-2, m$ et qu'elles sont toutes
de multiplicit\'e $1$. Ceci entra\^{\i}ne que
\[
\chi(m)= T^{-m} + T^{-m+2} + \cdots + T^{m-2} + T^m.
\]


\item Soit $p: \C[T, T^{-1}] \ra \C[T]$ l'application
qui envoie $T^i$ sur $0$ si $i<0$ et sur $T^i$ si $i>0$.
Les images des $\chi(m)$ par $p$ forment une base de
$\C[T]$ (la matrice de passage \`a la base canonique
est triangulaire avec des coefficients $1$ sur la
diagonale). Donc les $\chi(m)$ forment une famille libre.

\item Structure de $\goh$-module sur $\Hom(V,W)$ : 
pour $X,Y\in \goh$ et $f\in \Hom_k(V,W)$, nous avons
\begin{eqnarray*}
X(Yf) & = & X(Yf(?)-f(Y?))=XY f(?)- Xf(Y?) - Yf(X?) + f(YX?) \\
Y(Xf) & = & Y(Xf(?)-f(X?))=YX f(?)- Yf(X?) - Xf(Y?) + f(XY?).
\end{eqnarray*}
Puisque $V$ et $W$ sont des $\goh$-modules, il s'ensuit
que $[X,Y] f = X(Yf)-Y(Xf)$.

Structure de $\goh$-module sur $V\ten W$ : 
comme les tenseurs $v\ten w$ engendrent $V\ten W$,
la structure est unique si elle existe. Comme l'expression
\[
(Xv)\ten w + v\ten (Xw)
\]
est bilin\'eaire en $v$ et $w$, il existe bien un endomorphisme
$\rho(X)$ de $V\ten W$ qui envoie $v\ten w$ sur
$(Xv)\ten w + v\ten (Xw)$. Il reste \`a v\'erifier que
$X\mapsto \rho(X)$ est une repr\'esentation de $\goh$.
Or nous avons 
\begin{eqnarray*}
X(Y(v\ten w)) & = & (XYv)\ten w + (Yv)\ten (Xw) + (Xv)\ten (Yw) + v\ten (XYw) \\
Y(X(v\ten w)) & = & (YXv)\ten w + (Xv)\ten (Yw) + (Yv)\ten (Xw) + v\ten (YXw) 
\end{eqnarray*}
et puisque $V$ et $W$ sont des $\gog$-modules,
la diff\'erence des deux membres de droite est bien
\'egale \`a
\[
([X,Y]v)\ten w + v \ten ([X,Y]w).
\]

Structure de $\goh$-module sur $V^*$ : on trouve que
\[
(Xv^*)(v)=- v^*(Xv)
\]
pour $X\in \goh$, $v^*\in V^*$ et $v\in V$.

Soit $\phi=\phi(V,W)$ le morphisme canonique de l'affirmation.
Pour $X\in\goh$ et $w\ten v^*\in W\ten V^*$, nous avons
\[
X(w\ten v^*)= (Xw)\ten v^* + w \ten Xv^*
\]
Donc $\phi(X(w\ten v^*))$ appliqu\'e \`a $v$ donne
\[
(Xw) v^*(v) - w v^*(Xw)
\]
ce qui est \'egal \`a $X \phi(w\ten v^*)$ appliqu\'e \`a $v$.
L'application $\phi$ est donc bien un homomorphisme
de $\goh$-modules. Clairement, $\phi(V,W)$ est un isomorphisme
si $V=k$. Si $V=k^n$, alors $\phi(V,W)$ s'identifie \`a
la somme directe de $n$ copies de $\phi(k,W)$ et c'est donc
un isomorphisme. 


\item Notons $V_i$ l'espace propre de $H$ dans $V$ pour
la valeur propre $i$. Nous avons alors 
$(V\oplus W)_i = V_i \oplus W_i$. Ceci implique que 
$\chi(V\oplus W)=\chi(V)+\chi(W)$. 

L'espace $V^*$ se d\'ecompose en la somme des espaces
propres de $\rho(H)^*$ et on sait que l'accouple\-ment
canonique $V^* \ten V \ra k$ met en dualit\'e l'espace
propre $V_i$ avec l'espace propre de $\rho(H)^*$
correspondant \`a la valeur propre $i$. Comme $H$
agit par $-\rho(H)^*$ dans $V^*$, nous avons
$(V^*)_i \iso (V_{-i})^*$. Ceci implique que 
$\chi(V^*)(T)=\chi(V)(T^{-1})$. Or on sait que 
$\dim V_i= \dim V_{-i}$ pour tout $\gog$-module
irr\'eductible $V$ et donc, par compl\`ete r\'eductibilit\'e,
pour tout $\gog$-module de dimension finie.
Donc $\chi(V)(T^{-1})=\chi(V)(T)$ et $\chi(V^*)=\chi(V)$.

Si $v$ et $w$ sont
des vecteurs propres de $H$ associ\'es aux valeurs
propres $i$ et $j$, l'\'egalit\'e
\[
H(v\ten w)= (Hv)\ten w + v\ten (Hw) = (i+j) \, v\ten w
\]
montre que $v\ten w$ est associ\'e \`a la valeur
propre $i+j$. Si $k=i+j$, nous avons donc 
$V_i \ten W_j \subset (V\ten W)_k$ et
\[
\bigoplus_{i+j=k} V_i \ten W_j \subset (V\ten W)_k
\]
Cette inclusion est une \'egalit\'e car si nous
formons la somme sur tous les $k\in\N$ des deux
c\^ot\'es, nous trouvons $V\ten W$ \`a droite et
un espace de la m\^eme dimension \`a gauche.

En utilisant l'isomorphisme de c) et les identit\'es
que nous avons d\'ej\`a montr\'ees nous trouvons
\[
\chi(\Hom_k(V,W))=\chi(V\ten W^*)=
\chi(V)\chi(W^*)=\chi(V)\chi(W).
\]


\item Si V est un $\gog$-module de dimension finie,
nous avons 
\[
V \iso \bigoplus_{m\in \N} n_m \, V(m)
\]
pour des $n_m$, $m\in\N$, uniques (et nuls sauf pour
un nombre fini d'entre eux). Donc
\[
\chi(V) = \sum_{m\in\sN} n_m \,\chi(m).
\]
Puisque les $\chi(m)$ sont lin\'eairement ind\'ependants,
le caract\`ere $\chi(V)$ d\'etermine les $n_m$. 
Or les $n_m$ d\'eterminent $V$ \`a isomorphisme pr\`es.


\item On souhaite montrer l'isomorphisme dit de
Clebsch-Gordan
\begin{equation}
\label{clebschgordan}
V(m_1)\ten V(m_2) \iso \bigoplus V(m)
\end{equation}
o\`u la somme porte sur les entiers $m$ tels que
\begin{equation}
\label{conditions}
m_2-m_1 \leq m \leq m_2+m_1 
\quad\mbox{et}\quad 
m \equiv m_1 + m_2 \;\mod\; 2.
\end{equation}
(Une erreur s'\'etait gliss\'ee dans l'\'enonc\'e des
conditions (\ref{conditions}) dans le sujet).
\[
\begin{picture}(20,24)(0,0)

\picarrow{0}{4}{1}{0}{20}
\picarrow{4}{0}{0}{1}{24}

\lbbl{15.5}{2}{m_1}
\lb{1.5}{19}{m_2}

\lin{4}{20}{1}{0}{12}
\lin{16}{4}{0}{1}{16}


\multiput(4,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(6,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(8,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(10,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(12,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(14,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(16,4)(0,2){9}{\pk}

\lin{4}{4}{0}{1}{16}
\lin{6}{4}{0}{1}{16}
\lin{8}{4}{0}{1}{16}
\lin{10}{4}{0}{1}{16}
\lin{12}{4}{0}{1}{16}
\lin{14}{4}{0}{1}{16}
\lin{16}{4}{0}{1}{16}

\end{picture}
\quad
\quad
\quad
\begin{picture}(20,24)(0,0)

\picarrow{0}{4}{1}{0}{20}
\picarrow{4}{0}{0}{1}{24}

\lbbl{15.5}{2}{m_1}
\lb{1.5}{19}{m_2}

\lin{4}{20}{1}{0}{12}
\lin{16}{4}{0}{1}{16}


\multiput(4,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(6,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(8,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(10,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(12,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(14,4)(0,2){9}{\pk}
\multiput(16,4)(0,2){9}{\pk}


\lin{6}{4}{0}{1}{6}
\lin{8}{4}{0}{1}{8}
\lin{10}{4}{0}{1}{10}
\lin{12}{4}{0}{1}{12}
\lin{14}{4}{0}{1}{14}

\lin{4}{10}{1}{0}{2}
\lin{4}{12}{1}{0}{4}
\lin{4}{14}{1}{0}{6}
\lin{4}{16}{1}{0}{8}
\lin{4}{18}{1}{0}{10}

\end{picture}
\]
Examinons la figure de gauche. Sur chaque segment vertical
se trouvent $m_2+1$ points entiers. Le nombre de segments
est de $m_1+1$. Nous trouvons $(m_1+1)(m_2+1)$ points entiers.
Examinons la figure de droite. Sur le `crochet' qui joint
le point $(i,0)$, $0\leq i \leq m_1$, au 
point $(0,m_2-m_1+i)$ se trouvent
$(m_2-m_1+i+1)+(i+1)-1=m_2-m_1+2i+1$ points entiers.
Le nombre total de points entiers dans le rectangle est
donc de
\[
(m_1+1)(m_2+1) = (m_2-m_1+1)+(m_2-m_1+3)+
                 \cdots +(m_2-m_1+2i+1)+ \cdots + (m_2+m_1+1).
\]
Puisque $\dim V(m)=m+1$, cette \'egalit\'e montre
l'\'egalit\'e des dimensions des deux c\^ot\'es de
(\ref{clebschgordan}).

\item Nous montrons l'\'egalit\'e des caract\`eres des
deux c\^ot\'es de (\ref{clebschgordan}). Soit
$P=\chi(m_1)\chi(m_2)$. Appelons `point entier
admissible' un point 
$(x,y)\in (m_1+2\Z)\times (m_2+2\Z)$.
Alors le coefficient de
$T^i$ dans $P$ est \'egal au nombre de points entiers
admissibles $(x,y)$ tels que $x+y=i$ et qui se
trouvent dans le rectangle d\'efini par les
in\'egalit\'es
$-m_1 \leq x \leq m_1$,
$-m_2 \leq y \leq m_2$. Nous \'ecrivons l'ensemble
de ces points comme r\'eunion disjointe des points entiers
admissibles qui se trouvent sur les crochets comme 
dans la figure ci-dessous.
Les points entiers admissibles figurant sur le crochet qui
joint le point $(m_1, m_2-2j)$ au point $(-m_1+2j,-m_2)$
correspondent \`a la contribution de $\chi(m_1+m_2-2j)$. 
\[
\begin{picture}(28,32)(0,0)

\picarrow{0}{16}{1}{0}{28}
\picarrow{12}{0}{0}{1}{32}

\lin{10}{32}{1}{-1}{18}

\lin{4}{4}{1}{0}{16}
\lin{20}{4}{0}{1}{24}

\lbbl{21}{14.5}{m_1}
\lbbl{10}{29}{m_2}
\lbbl{25}{14.5}{i}

\multiput(4,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(6,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(8,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(10,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(12,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(14,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(16,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(18,4)(0,2){13}{\pk}
\multiput(20,4)(0,2){13}{\pk}


\lin{4}{4}{0}{1}{24}
\lin{6}{4}{0}{1}{22}
\lin{8}{4}{0}{1}{20}
\lin{10}{4}{0}{1}{18}
\lin{12}{4}{0}{1}{16}
\lin{14}{4}{0}{1}{14}
\lin{16}{4}{0}{1}{12}
\lin{18}{4}{0}{1}{10}
\lin{20}{4}{0}{1}{8}

\lin{4}{28}{1}{0}{16}
\lin{6}{26}{1}{0}{14}
\lin{8}{24}{1}{0}{12}
\lin{10}{22}{1}{0}{10}
\lin{12}{20}{1}{0}{8}
\lin{14}{18}{1}{0}{6}
\lin{16}{16}{1}{0}{4}
\lin{18}{14}{1}{0}{2}


\end{picture}
\]

\item Supposons d'abord que $V$ est {\em ind\'ecomposable}
(ou {\em cyclique})
sous l'action de $f$, c'est-\`a-dire que la matrice de 
$f$ par rapport
\`a une base de Jordan $e_0, \ldots, e_{n-1}$ ne comporte
qu'un seul bloc de Jordan (inf\'erieur) 
de fa\c{c}on que nous avons $f(e_i)=e_{i+1}$ pour
$i<n-1$ et $f(e_{n-1})=0$. On d\'efinit alors
$\rho(F)=f$, $H.e_i=(n-2i) e_i$ et $E. e_i = i(n-i+1)e_{i-1}$
pour $i>0$ et $E.e_0=0$. On sait qu'on d\'efinit ainsi
une structure de $\gog$-module irr\'eductible sur $V$.

Dans le cas g\'en\'eral, on d\'ecompose $V$ en une somme
directe de sous-espaces invariants ind\'ecomposables 
et on munit chacun de ces
sous-espaces d'une structure de $\gog$-module irr\'educ\-tible
tel que $F$ y agit par $f$.

Supposons que $V$ est muni d'une repr\'esentation
de $\gog$ et posons $f=\rho(F)$. Alors toute d\'ecomposition
de $V$ en somme de modules simples de dimensions
$d_1, \ldots, d_r$ nous donne une d\'ecomposition de 
$V$ en somme directe de sous-espaces invariants ind\'ecomposables
de dimensions $d_1, \ldots, d_r$. Or on sait que
$f$ d\'etermine le nombre et les dimensions des
sous-espaces ind\'ecomposables qui apparaissent dans
une d\'ecomposition de $V$ sous l'action de $f$. 
Donc $f=\rho(F)$ d\'etermine la repr\'esentation $\rho$
\`a isomorphisme pr\`es. 

En outre la d\'ecomposition de $V$ en sous-espaces
invariants $\rho(F)$-ind\'ecomposables (la `jordanisation de 
$\rho(F)$') correspond \`a la d\'ecomposition de $V$ en somme 
directe de $\gog$-modules simples.

\item Supposons $V$ muni d'une structure de $\gog$-modules
tel que $F$ agit par $f$. L'espace $\gog\gol(V)$ muni de 
l'action de $\ad f$ correspond alors au $\gog$-module 
\[
\Hom_k(V,V)\iso V\ten V^* \iso V\ten V.
\]
Supposons que $d_1, \ldots, d_r$ sont les tailles
des blocs de Jordan de $f$ (avec r\'ep\'etitions).
L'isomor\-phisme de Clebsch-Gordan donne la r\`egle
suivante : la multiplicit\'e du bloc de Jordan de
taille $d$ de $\ad f$ est \'egale au nombre de
couples $(d_i, d_j)$ tels que $d\equiv d_i+d_j \,\mod\, 2$
et que $|d_i-d_j| \leq d \leq d_i+d_j$.

\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item Soit $U$ un ouvert de $G$. Alors $UH$ est ouvert car
il est \'egal \`a la r\'eunion des ouverts $Uh$, $h\in H$.
Donc $\pi(U)$ est ouvert.
\item Supposons que $G/H$ est s\'epar\'e. Alors $\pi(e)$
est ferm\'e dans $G/H$ et donc $H=\pi^{-1}(\pi(e))$ est 
ferm\'e dans $G$. 

R\'eciproquement,
supposons $H$ ferm\'e dans $G$. Soient $\pi(x)$ et
$\pi(y)$ deux points distincts de $G/H$. Comme le groupe
$G$ agit transitivement et par des hom\'eomorphismes dans
$G/H$, nous pouvons supposer que $x=e$. Il suffit alors
de trouver des voisinages ouverts $U$ et $V$ de $e$ dans
$G$ tels que $UH \cap VxH$ soit vide. Or cette condition
\'equivaut \`a ce que $V^{-1}U \cap xH$ soit vide.
Comme le compl\'ementaire $C$ de $xH$ dans $G$ est ouvert
et que l'application $(u,v) \mapsto v^{-1}u$ de
$G\times G$ dans $G$ est continu et envoie $(e,e)$ dans $C$, 
il existe bien un voisinage $U\times V$ de $(e,e)$
dans $G\times G$ tel que $U, V$ v\'erifient cette
condition.

\item Supposons que $G$ est la r\'eunion de deux ouverts
disjoints $U$ et $V$. Alors $xH$ est la r\'eunion disjointe
des ouverts relatifs $xH\cap U$ et $xH\cap V$. Comme $H$
et donc $xH$ est connexe, il est \'egal \`a l'un de ces
deux ouverts et l'autre est vide. Chaque classe $xH$
est donc contenu dans $U$ ou $V$ ce qui montre que
$\pi(U)$ et $\pi(V)$ sont ouverts dans $G/H$ et que
$G/H$ est leur r\'eunion disjointe. Donc $\pi(U)$
ou $\pi(V)$ est vide ce qui implique que $U$ ou
$V$ est vide.

\item Le groupe $SO(n+1)$ agit transitivement sur $S^n$
(tout vecteur de longueur $1$ se compl\`ete en une base
orthonorm\'ee et directe) et $SO(n)$ est le stabilisateur
de $v\in S^n$. On a donc  une application bijective et
continue $SO(n+1)/SO(n)\iso S^{n}$. Puisque $SO(n+1)/SO(n)$
est compact, cette application est ferm\'ee. Elle est
donc un hom\'eomorphisme. L'hom\'eomorphisme 
$SU(n+1)/SU(n)\iso S^{2n+1}$ se d\'emontre de fa\c{c}on
tout \`a fait analogue. L'hom\'eomorphisme $U(n)/SU(n)\iso S^1$
est induit par le d\'eterminant. 

\item Les groupes $SO(1)\iso S^1$, $SU(1)=\{e\}$
et $U(1)\iso S^1$ sont connexes. Par r\'ecurrence,
on en d\'eduit gr\^ace \`a c) et d) et \`a la connexit\'e
des sph\'eres $S^n$, $n\geq 1$, que $SO(n)$ et $SU(n)$
sont connexes pour $n\geq 1$. La connexit\'e de 
$S^1$ et de $SU(n)$ implique la connexit\'e de $U(n)$
gr\^ace \`a c) et d).

\end{sublist}

\item 
\begin{sublist}
\item On sait qu'il existe un voisinage ouvert $U_1\times V_1$
de $(0,0)$ dans $\goa\oplus \goh$ tel que l'application
$(X,Y) \mapsto \exp(X)\exp(Y)$ est un diff\'eomorphisme sur
son image $I$ (coordonn\'ees de seconde esp\`ece). En outre,
comme $H$ est un sous-groupe {\em ferm\'e}, c'est une sous-vari\'et\'e
et on peut choisir $U_1$ et $V_1$ tels que 
$(X,Y)\mapsto \exp(X)\exp(Y)$ induit une bijection de
$\{0\}\times V_1$ sur $I\cap H$. On pose
alors $B=\exp(V_1)$ et $A'=\exp(U\cap U_1)$. L'application
de multiplication $\mu: A'\times B \ra G$ est un diff\'eomorphisme
sur son image car 
\[
\exp \times \exp : (U\cap U_1) \times V_1 \ra A' \times B
\]
est un diff\'eomorphisme et la composition 
$\mu\circ (\exp\times \exp)$
est un diff\'eomorphisme de $U_1\times V_1$ sur son image.
On a clairement $B\subset H\cap A'B$. R\'eciproquement,
on a $H\cap A'B \subset H\cap I=B$.

\item L'\'egalit\'e $a_1 h_1 = a_2 h_2$ entra\^{\i}ne que
$a_2^{-1} a_1 = h_2 h_1^{-1}$. Or $a_2^{-1} a_1$ appartient
\`a $C^{-1} C \subset A' B$. Donc $h_2 h_1^{-1}$ appartient
\`a $A'B\cap H = B$ et l'\'egalit\'e
\[
a_1 \, e = a_2 (h_1\,h_2^{-1})
\]
entre deux membres de $A'B$ permet,
gr\^ace \`a a), de conclure que l'on a $a_1=a_2$ et $e=(h_1\,h_2^{-1})$.

\item L'application de multiplication $A\times H \ra AH$
est injective d'apr\`es b). Elle est clairement surjective.
D'apr\`es a), elle est un diff\'eomorphisme sur $A\times B$.
Donc elle est un diff\'eomorphisme sur $A\times Bh$
pour tout $h\in H$. La r\'eunion des $A\times Bh$ est
\'egale \`a $A\times H$.

L'application $A\times H \ra AH$ est en particulier une
submersion et donc ouverte. Ainsi $AH$ est ouvert dans $G$
et $\pi(A)= \pi(AH)$ est ouvert dans $G/H$. D'apr\`es c),
l'application $\pi: A \ra \pi(A)$ est bijective. Elle
est continue en tant que restriction de $\pi:G\ra G/H$.
Elle est ouverte, car si $U\subset A$ est ouvert, alors
$U\times H$ est ouvert dans $A\times H$, donc $UH$ est 
ouvert dans $AH$ et donc dans $G$, et $\pi(U)=\pi(UH)$
est ouvert dans $G/H$.

\item Soient $g_1$ et $g_2$ deux \'el\'ements de
$G$ tels que $\pi(g_1 A)\cap \pi(g_2 A)$ est non vide.
Sur son domaine de d\'efinition, l'application
$\phi_{g_1} \phi_{g_2}^{-1}$ est donn\'ee par la
composition
\[
\exp^{-1} \circ L_{g_1^{-1}} \circ s_{g_1} \circ \pi \circ L_{g_2} \exp
\]
Il suffit donc de voir que $s_{g_1}\circ \pi$ restreinte
\`a $g_2 A$ est diff\'erentiable. Or elle est \'egale
\`a la composition de l'inclusion $g_2 A \ra g_1 A H$
avec l'application $g_1 A H \ra g_1 A$ qui \`a 
$g_1 a h $ associe $g_1 a$. Cette derni\`ere est 
diff\'erentiable d'apr\`es c). 

\item On munit $G/H$ de l'atlas d\'efini par les cartes
de d). La projection $\pi : G \ra G/H$ restreinte
au voisinage $AH$ de $e$ s'identifie alors \`a la
projection de $A\times H$ sur $A$ (par d et c)
ce qui montre que $\pi$ est un fibr\'e localement
trivial dans un voisinage de $\pi(e)\in G/H$ et donc
partout puisque la structure d\'efinie sur $G/H$ est
pr\'eserv\'e par les translations et que $\pi$ commute
aux translations. En particulier, $\pi$ est une submersion
surjective. Il est clair d'apr\`es a) et d) que l'application
tangente \`a $\pi$ induit un isomorphisme de $\goa$ sur
$T_{\pi(e)}(G/H)$. Donc $T_e(\pi)$ induit un isomorphisme
de $\gog/\goh$ sur $T_{\pi(e)}(G/H)$. Finalement la
structure diff\'erentiable est unique car la structure
diff\'erentiable de toute vari\'et\'e $N$ but
d'une submersion surjective $\phi:M\ra N$ est uniquement
d\'etermin\'ee par $M$ et l'application $\phi$.

\item Le groupe $SU(1)=\{e\}$ est simplement connexe.
D'apr\`es 3 d) et 4 e), nous avons un diff\'eomorphisme
$SU(n+1)/SU(n) \iso S^{2n+1}, g \mapsto gv$ pour tout $n\geq 1$.
Donc l'application $SU(n+1) \ra S^{2n+1}, g \mapsto gv$
est un fibr\'e localement trivial de fibre $SU(n)$
et nous avons une suite exacte de groupes fondamentaux
\[
\pi_1(SU(n)) \ra \pi_1(SU(n+1)) \ra \pi_1(S^{2n+1}) \ra 1.
\]
Par r\'ecurrence, il s'ensuit que $\pi_1(SU(n+1))$ est
trivial. 

Gr\^ace \`a 3 d) et 4 e), le d\'eterminant $U(n) \ra S^1$
est un fibr\'e localement trivial de fibre $SU(n)$.
Comme $\pi_1(SU(n))=\{e\}$, la suite exacte des groupes
fondamentaux montre que $\pi_1(U(n)) \iso \pi_1(S^1) \iso \Z$.

\end{sublist}


\end{list-of-exercises}

\end{document}




