Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1999-2000 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 28/01/2000

Examen de Janvier 2000

Avertissement : Documents et calculettes sont interdits.

I. Décomposition polaire et applications

1) Soit n ≥ 1. Pour une matrice A ∈ M(n, C), on note A^{∗} la matrice transposée conjuguée. Soit 𝔭 ⊂ M(n, C) l’ensemble des matrices hermitiennes et 𝔭^{+} l’ensemble des matrices hermitiennes définies positives.

a) Constater que 𝔭 est un espace vectoriel réel et montrer que 𝔭^{+} est un ouvert de 𝔭. En particulier, ces deux ensembles sont des variétés différentiables.

b) Montrer que l’application

φ : 𝔭 → 𝔭^{+} , A ↦ e^{A}

est surjective. Indication : on commencera par montrer que les matrices diagonales contenues dans 𝔭^{+} appartiennent à l’image de φ.

c) Montrer que l’application φ est injective. Indication : on commencera par montrer que A ∈ 𝔭 et e^{A} induisent la même décomposition de C^{n} en sous-espaces propres.

d) Montrer que la différentielle de φ est inversible en tout point A ∈ 𝔭.

e) Déduire des points précédents que φ est un difféomorphisme.

2) Soit G le groupe GL(n, C) considéré comme groupe de Lie réel. Soit 𝔤 = 𝔤𝔩(n, C) son algèbre de Lie. Soit U ⊂ G le sous-groupe des matrices unitaires.

a) Montrer que U est un sous-groupe de Lie fermé et que son algèbre de Lie 𝔲 est formée des matrices antihermitiennes.

b) Soit l’application

ψ : U × 𝔭 → G , (k, X) ↦ k exp(X).

Montrer que ψ est un difféomorphisme. Indication : on pourra se servir du premier exercice pour construire un inverse de ψ. On notera pour cela que si g = k exp(X), k ∈ U, X ∈ 𝔭, alors g^{∗} g = exp(2X).

c) Montrer que U est un sous-groupe compact maximal de G.

3) Soit G_{1} ⊂ G un sous-groupe fermé tel que G_{1}^{∗} = G_{1}. Soit 𝔤_{1} ⊂ 𝔤 son algèbre de Lie, 𝔲_{1} = 𝔲 ∩ 𝔤_{1} et 𝔭_{1} = 𝔭 ∩ 𝔤_{1}. Soit G_{1}^{0} la composante neutre de G_{1}.

a) Montrer que 𝔤_{1}^{∗} = 𝔤_{1} et que 𝔤_{1} = 𝔲_{1} ⊕ 𝔭_{1}.

b) Montrer que le sous-groupe U ∩ G_{1} est compact et que son algèbre de Lie est 𝔲_{1}.

c) Soit K_{1}^{0} ⊂ G_{1} le sous-groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie 𝔲_{1}. Montrer que K_{1}^{0} est la composante neutre de U ∩ G_{1} et déduire que K_{1}^{0} est compact.

d) Soit

ψ_{1} : K_{1}^{0} × 𝔭_{1} → G_{1}^{0} , (k, X) ↦ k exp(X).

Montrer que l’image de ψ_{1} est fermée. e) Montrer que la différentielle de ψ_{1} est bijective en tout point et déduire que l’image de ψ est

ouverte.

f) Montrer que ψ_{1} est un difféomorphisme.

g) Montrer que K_{1}^{0} est un sous-groupe compact maximal de G_{1}^{0} et déduire que K_{1}^{0} = U ∩ G_{1}^{0}.

4) Supposons de plus que G_{1} ⊂ G est un sous-groupe réel algébrique, c’est-à-dire qu’il existe une famille de polynômes à coefficients réels F_{λ}, λ ∈ Λ, telle que g ∈ G appartient à G_{1} si et seulement si F_{λ}(g, \overline{g}) = 0 pour tous les λ ∈ Λ.

a) Supposons que X ∈ 𝔭. Montrer que exp(2X) appartient à G_{1} si et seulement si X appartient à 𝔭_{1}. Indication : on pourra se ramener au cas où X est une matrice diagonale à coefficients x_{1}, …, x_{n}. Le fait que exp(2X)^{k} appartienne à G_{1} s’exprime alors par des conditions P_{λ}(e^{2kx_{1}}, …, e^{2kx_{n}}) = 0 pour une famille de polynômes à coefficients réels P_{λ}, λ ∈ Λ.

b) Soit K_{1} = G_{1} ∩ U. Montrer que l’application

ψ_{2} : K_{1} × 𝔭_{1} → G_{1} , (k, X) ↦ k exp(X)

est un difféomorphisme. Déduire que K_{1} est un sous-groupe compact maximal de G_{1}.

II. Représentations de 𝔰𝔩(n, C)

Soit n ≥ 2 et 𝔤 = 𝔰𝔩(n, C). On se propose de classifier les représentations irréductibles de dimension finie de 𝔤. Dans la suite, tous les modules sont supposés de dimension finie sur C.

1) Soit 𝔥 ⊂ 𝔤 la sous-algèbre de Cartan formée des matrices diagonales de trace nulle.

a) Expliciter le système de racines R = R(𝔤, 𝔥) et les espaces de poids 𝔤_{α} qui apparaissent dans

la décomposition

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤_{α}

de 𝔤 sous l’action adjointe de 𝔥.

b) Expliciter, pour tout α ∈ R, l’élément canonique H_{α} ∈ 𝔥 et des éléments X_{α} ∈ 𝔤_{α} et Y_{α} ∈ 𝔤_{−α} tels que [X_{α}, Y_{α}] = H_{α}.

2) Soit V un 𝔤-module. Pour χ ∈ 𝔥^{∗}, on note V_{χ} le sous-espace de V formé des vecteurs v tels que Hv = χ(H)v pour tout H ∈ 𝔥. Un vecteur non nul vérifiant cette propriété est appelé vecteur propre pour 𝔥 de poids χ. Montrer que pour α ∈ R et χ ∈ 𝔥^{∗}, on a X_{α} V_{χ} ⊂ V_{χ+α}.

3) On se propose de montrer que

V = ⨁_{χ∈𝔥^{∗}} V_{χ}.

a) Montrer que la somme V′ = ∑_{χ∈𝔥^{∗}} V_{χ} est directe. Indication : Si H_{0} ∈ 𝔥 est en ‘position générale’ (à préciser !), les espaces propres de l’opérateur V′ → V′, v ↦ H_{0}v sont les V_{χ}.

b) Montrer que V′ est un 𝔤-sous-module de V.

c) Montrer qu’il existe un 𝔤-sous-module V′′ de V tel que V = V′ ⊕ V′′.

d) Montrer que si V′′ est non nul, il contient un vecteur propre pour 𝔥. Déduire que V′′ = 0 et conclure.

4) Une forme χ ∈ 𝔥^{∗} est un poids de V si V_{χ} ≠ 0. Dans ce cas, la multiplicité du poids χ est la dimension de V_{χ}. Déterminer les poids et leurs multiplicités lorsque V = C^{n} est donné par la représentation tautologique et lorsque V = 𝔤 est donné par la représentation adjointe.

5) Soit 𝔫_{+} ⊂ 𝔤 la sous-algèbre des matrices strictement triangulaires supérieures et 𝔟 = 𝔥 ⊕ 𝔫_{+} la sous-algèbre des matrices triangulaires supérieures. Soit R^{+} ⊂ R la partie définie par

𝔫_{+} = ⨁_{α∈R^{+}} 𝔤_{α} .

a) Montrer que pour un vecteur non nul v ∈ V, on a équivalence entre

(i) la droite Cv est stable par 𝔟.

(ii) v est vecteur propre pour 𝔥 et X_{α}v = 0 pour tout α ∈ R^{+}.

b) Un vecteur non nul est primitif s’il vérifie (i) et (ii). Montrer que tout 𝔤-module non nul de dimension finie contient un vecteur primitif.

6) Soit v ∈ V un vecteur primitif de poids χ. Soit V′ ⊂ V le 𝔤-sous-module engendré par v. Soit 𝔫_{−} ⊂ 𝔤 la sous-algèbre des matrices strictement triangulaires inférieures. Notons que nous avons 𝔤 = 𝔟 ⊕ 𝔫_{−}.

a) Soit V^{0} = Cv et pour tout k ≥ 0, soit V^{k+1} le sous-espace engendré par V^{k} et les vecteurs Y u, où Y ∈ 𝔫_{−} et u ∈ V^{k}. Montrer que l’on a Zu ∈ V^{k+1} pour tout Z ∈ 𝔤 et tout u ∈ V^{k}. Déduire que que V′ est la réunion des V^{k}, k ∈ N.

b) Montrer que V′ est engendré sur C par v et les vecteurs

u = Y_{α_{1}} … Y_{α_{k}} v ,

où k ≥ 1 et α_{1}, …, α_{k} est une suite de racines positives.

c) Montrer que les poids de V′ sont de la forme

χ − ∑_{i=1}^{k} α_{i} ,

où k ≥ 0 et α_{1}, …, α_{k} est une suite de racines positives.

d) Montrer que tout vecteur de V′ qui est de poids χ est un multiple de v.

e) Montrer que V′ est irréductible. Indication : Si U est un sous-module de V′, on pourra montrer qu’il existe un sous-module W tel que V′ = U ⊕ W. On pourra alors se servir du fait que V′_{χ} = U_{χ} ⊕ W_{χ}.

7) Supposons que V est irréductible. Soient v et v′ deux vecteurs primitifs de V de poids respectifs χ et χ′. Montrer que χ = χ′. En déduire que v′ est un multiple de v. Ainsi, le 𝔤-module V admet un vecteur primitif unique à un multiple scalaire près. Son poids est le plus haut poids de V.

8) Supposons que V et W sont deux 𝔤-modules irréductibles de dimension finie qui ont le même plus haut poids. On se propose de montrer que V est isomorphe à W.

a) Soient v et w des vecteurs primitifs de V et W. Montrer que le sous module U de V ⊕ W engendré par (v, w) est irréductible.

b) Montrer que les projections de V ⊕ W sur les deux facteurs induisent des isomorphismes de U sur V et W. Conclure.

9) Nous nous proposons de montrer qu’une forme χ est le plus haut poids d’une représentation irréductible si et seulement si χ ∈ 𝔥^{∗} est dominant, c’est-à-dire que χ(H_{α}) est un entier positif pour tout α ∈ R^{+}. a) Montrer que si V est une représentation irréductible de plus haut poids χ, alors χ est

dominant. Indication : pour une racine positive α, on pourra considérer la restriction de V à la sous-algèbre canonique

𝔰_{α} = CX_{α} ⊕ CH_{α} ⊕ CY_{α}

et utiliser la théorie des représentations de 𝔰𝔩(2, C).

b) Pour 1 ≤ i ≤ n, soit ε_{i} : 𝔥 → C la forme linéaire qui envoie une matrice diagonale à coefficients diagonaux λ_{1}, …, λ_{n} sur λ_{i}. Notons que les ε_{i} engendrent 𝔥^{∗} et vérifient ε_{1} + ⋯ + ε_{n} = 0. Montrer qu’une forme χ ∈ 𝔥^{∗} est dominante si et seulement si dans toute écriture

χ = u_{1}ε_{1} + ⋯ + u_{n}ε_{n}

les différences u_{i} − u_{i+1}, 1 ≤ i ≤ n − 1, sont des entiers positifs.

c) Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, soit

π_{i} = ε_{1} + ⋯ + ε_{i}.

Montrer qu’une forme χ ∈ 𝔥^{∗} est dominante si et seulement si elle est combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de π_{1}, …, π_{n−1}.

d) Soit V = C^{n} la représentation tautologique et 1 ≤ k ≤ n − 1. On munit la k-ème puissance extérieure^{1} Λ^{k}V d’une structure de 𝔤-module par

X(v_{1} ∧ v_{2} ∧ … ∧ v_{k}) = ∑_{j=1}^{k} v_{1} ∧ … ∧ v_{j−1} ∧ Xv_{j} ∧ v_{j+1} ∧ … ∧ v_{k}.

Montrer Λ^{k}V est irréductible de plus haut poids π_{k}.

e) Soient V et V′ des 𝔤-modules irréductibles de plus haut poids χ et χ′. Montrer que le produit tensoriel V ⊗ V′ contient un sous-module de plus haut poids χ + χ′.

f) Montrer que si χ ∈ 𝔥^{∗} est dominant, il existe une représentation irréductible V de plus haut poids χ.

Conclusion^{2}: l’application qui, à un 𝔤-module simple, associe son plus haut poids induit une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphie de 𝔤-modules simples sur l’ensemble des poids dominants.

1Cette question est facultative. Omettez-la si la puissance extérieure ne vous est pas familière. Dans la suite, utilisez le fait que pour chaque 1 ≤ k ≤ n − 1, il existe un 𝔤-module irréductible de plus haut poids π_{k}.

2Ceci vaut plus généralement pour toute algèbre de Lie semi-simple complexe.