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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 1999-2000\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 28/01/2000}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Examen de Janvier 2000}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } Documents et calculettes sont
interdits.}
\bigskip

\noindent
{\bf I. D\'ecomposition polaire et applications}

\bigskip
\noindent

\begin{list-of-exercises}
\item Soit $n\geq 1$. Pour une matrice $A\in M(n,\C)$, on note
$A\tc$ la matrice transpos\'ee conjugu\'ee. Soit
$\gop\subset M(n,\C)$ l'ensemble des matrices hermitiennes
et $\gop^+$ l'ensemble des matrices hermitiennes d\'efinies
positives.

\begin{sublist}
\item Constater que $\gop$ est un espace vectoriel r\'eel
et montrer que $\gop^+$ est un ouvert de $\gop$. En particulier,
ces deux ensembles sont des vari\'et\'es diff\'erentiables.
\item Montrer que l'application
\[
\phi: \gop \ra \gop^+ \ko A \mapsto e^A
\]
est surjective. Indication~: on commencera par montrer que
les matrices diagonales contenues dans $\gop^+$ appartiennent
\`a l'image de $\phi$.

\item Montrer que l'application $\phi$ est injective.
Indication~: on commencera par montrer que $A\in\gop$ et $e^A$
induisent la m\^eme d\'ecomposition de $\C^n$ en sous-espaces
propres.

\item Montrer que la diff\'erentielle de $\phi$ est inversible
en tout point $A\in \gop$.

\item D\'eduire des points pr\'ec\'edents que $\phi$ est un
diff\'eomorphisme.
\end{sublist}

\item Soit $G$ le groupe $GL(n,\C)$ consid\'er\'e comme groupe
de Lie r\'eel. Soit $\gog=\gog\gol(n,\C)$ son alg\`ebre de Lie.
Soit $U\subset G$ le sous-groupe des matrices unitaires.
\begin{sublist}
\item Montrer que $U$ est un sous-groupe de Lie ferm\'e et que
son alg\`ebre de Lie $\gou$ est form\'ee des matrices antihermitiennes.

\item Soit l'application
\[
\psi: U \times \gop \ra G\ko (k,X) \mapsto k\,\exp(X).
\]
Montrer que $\psi$ est un diff\'eomorphisme. Indication~:
on pourra se servir du premier exercice pour construire
un inverse de $\psi$. On notera pour cela que si $g=k \exp(X)$,
$k\in U$, $X\in\gop$,
alors $g\tc\,g= \exp(2X)$.

\item Montrer que $U$ est un sous-groupe compact maximal de $G$.
\end{sublist}

\item Soit $G_1\subset G$ un sous-groupe ferm\'e tel
que $G_1\tc=G_1$. Soit $\gog_1\subset\gog$ son alg\`ebre de Lie,
$\gou_1=\gou\cap \gog_1$ et $\gop_1=\gop\cap\gog_1$.
Soit $G_1^0$ la composante neutre de $G_1$.

\begin{sublist}
\item Montrer que $\gog_1\tc=\gog_1$ et que
$\gog_1=\gou_1\oplus\gop_1$.

\item Montrer que le sous-groupe $U \cap G_1$ est compact
et que son alg\`ebre de Lie est $\gou_1$.

\item Soit $K_1^0\subset G_1$ le sous-groupe de Lie connexe
d'alg\`ebre de Lie $\gou_1$. Montrer que $K_1^0$ est la
composante neutre de $U\cap G_1$ et d\'eduire que $K_1^0$ est compact.

\item Soit 
\[
\psi_1: K_1^0\times \gop_1 \ra G_1^0\ko (k,X) \mapsto k\,\exp(X).
\]
Montrer que l'image de $\psi_1$ est ferm\'ee.

\item Montrer que la diff\'erentielle de $\psi_1$ est bijective
en tout point et d\'eduire que l'image de $\psi$ est ouverte.

\item Montrer que $\psi_1$ est un diff\'eomorphisme.

\item Montrer que $K_1^0$ est un sous-groupe compact maximal de
$G_1^0$ et d\'eduire que $K_1^0=U\cap G_1^0$.
\end{sublist}

\item Supposons de plus que $G_1\subset G$ est un sous-groupe r\'eel
alg\'ebrique, c'est-\`a-dire qu'il existe une famille de 
polyn\^omes\footnote{Nous avons corrig\'e ici la formulation 
maladroite du sujet utilis\'e pendant l'examen.} 
\`a coefficients r\'eels en $2n^2$ variables
$F_\lambda$, $\lambda\in \Lambda$,  
telle que $g\in G$ appartient \`a $G_1$ si et seulement si
\[
F_\lambda(g_{11}, \ldots, g_{nn},\ol{g}_{11}, \ldots, \ol{g}_{nn})=0
\]
pour tous les $\lambda\in \Lambda$.

\begin{sublist}
\item Supposons que $X\in \gop$. Montrer que $\exp(2X)$ appartient
\`a $G_1$ si et seulement si $X$ appartient \`a $\gop_1$.
Indication~: on pourra se ramener au cas o\`u $X$ est
une matrice diagonale \`a coefficients $x_1, \ldots, x_n$.
Le fait que $\exp(2X)^k$ appartienne \`a $G_1$ s'exprime
alors par des conditions $P_\lambda(e^{2kx_1}, \ldots, e^{2kx_n})=0$
pour une famille de polyn\^omes \`a coefficients
r\'eels $P_\lambda$, $\lambda \in \Lambda$.

\item Soit $K_1=G_1\cap U$. Montrer que l'application
\[
\psi_2: K_1\times \gop_1 \ra G_1\ko (k,X)\mapsto k\,\exp(X)
\]
est un diff\'eomorphisme. D\'eduire que $K_1$ est un sous-groupe
compact maximal de $G_1$.
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}

\noindent
{\bf II. Repr\'esentations de $\gos\gol(n,\C)$}

\bigskip
\noindent
Soit $n\geq 2$ et $\gog=\gos\gol(n,\C)$. On se propose de
classifier les repr\'esentations irr\'eductibles de dimension 
finie de $\gog$. Dans la suite, tous les modules sont
suppos\'es de dimension finie sur $\C$.

\begin{list-of-exercises}
\item Soit $\goh\subset\gog$
la sous-alg\`ebre de Cartan form\'ee des matrices diagonales
de trace nulle.
\begin{sublist}
\item Expliciter le syst\`eme de racines $R=R(\gog,\goh)$ et les
espaces de poids $\gog_\alpha$ qui apparaissent dans la d\'ecomposition
\[
\gog=\goh\oplus \bigoplus_{\alpha\in R} \gog_\alpha
\]
de $\gog$ sous l'action adjointe de $\goh$.
\item Expliciter, pour tout $\alpha\in R$, l'\'el\'ement canonique
$H_\alpha\in\goh$ et des \'el\'ements $X_\alpha\in\gog_\alpha$
et $Y_\alpha\in \gog_{-\alpha}$ tels que $[X_\alpha,Y_\alpha]=H_\alpha$.
\end{sublist}

\item Soit $V$ un $\gog$-module. Pour
$\chi\in\goh^*$, on note $V_\chi$ le sous-espace de $V$ form\'e des
vecteurs $v$ tels que $Hv=\chi(H)v$ pour tout $H\in\goh$.
Un vecteur non nul v\'erifiant cette propri\'et\'e est
appel\'e \emph{vecteur propre pour $\goh$ de poids $\chi$}.
Montrer que pour $\alpha\in R$ et $\chi\in\goh^*$, on a
$X_\alpha \,V_\chi \subset V_{\chi+\alpha}$.

\item On se propose de montrer que 
\[
V= \bigoplus_{\chi\in\goh^*} V_\chi.
\]
\begin{sublist}
\item Montrer que la somme $V'=\sum_{\chi\in\goh^*} V_\chi$ est
directe. Indication : Si $H_0\in \goh$ est en `position g\'en\'erale'
(\`a pr\'eciser !), les espaces propres de l'op\'erateur
$V'\ra V', v \mapsto H_0 v$ sont les $V_\chi$. 
\item Montrer que $V'$ est un $\gog$-sous-module de $V$.
\item Montrer qu'il existe un $\gog$-sous-module $V''$ de $V$ 
tel que $V=V'\oplus V''$.
\item Montrer que si $V''$ est non nul, il contient un vecteur
propre pour $\goh$. D\'eduire que $V''=0$ et conclure.
\end{sublist}



\item Une forme $\chi\in \goh^*$ est un \emph{poids} de $V$
si $V_\chi\neq 0$. Dans ce cas, la \emph{multiplicit\'e}
du poids $\chi$ est la dimension de $V_\chi$.
D\'eterminer les poids et leurs multiplicit\'es 
lorsque $V=\C^n$ est donn\'e par la repr\'esentation tautologique
et lorsque $V=\gog$ est donn\'e par la repr\'esentation adjointe.

\item Soit $\gon_+\subset \gog$ la sous-alg\`ebre des matrices
strictement triangulaires sup\'erieures et $\gob=\goh\oplus\gon_+$
la sous-alg\`ebre des matrices triangulaires sup\'erieures.
Soit $R^+\subset R$ la partie d\'efinie par 
\[
\gon_+= \bigoplus_{\alpha\in R^+} \gog_\alpha\, .
\]
\begin{sublist}
\item Montrer que pour un vecteur non nul $v\in V$, on a \'equivalence
entre
\begin{itemize}
\item[(i)] la droite $\C v$ est stable par $\gob$.
\item[(ii)] $v$ est vecteur propre pour $\goh$ et $X_\alpha v=0$
pour tout $\alpha\in R^+$.
\end{itemize}

\item Un vecteur non nul est \emph{primitif} s'il v\'erifie (i) et (ii).
Montrer que tout $\gog$-module non nul de dimension finie contient un
vecteur primitif.
\end{sublist}


\item Soit $v\in V$ un vecteur primitif de poids $\chi$. 
Soit $V'\subset V$ le $\gog$-sous-module engendr\'e par $v$.
Soit $\gon_-\subset \gog$ la sous-alg\`ebre des matrices
strictement triangulaires inf\'erieures. Notons que
nous avons $\gog=\gob\oplus \gon_-$.

\begin{sublist}
\item Soit $V^0=\C v$ et pour tout $k\geq 0$, soit
$V^{k+1}$ le sous-espace engendr\'e par $V^k$ et 
les vecteurs $Y u$, o\`u $Y\in \gon_-$ et $u\in V^k$. 
Montrer que l'on a $Z u \in V^{k+1}$ pour tout $Z\in \gog$
et tout $u\in V^k$.
D\'eduire que que $V'$ est la r\'eunion des $V^k$, $k\in \N$.

\item Montrer que $V'$ est engendr\'e sur
$\C$ par $v$ et les vecteurs
\[
u=Y_{\alpha_1} \ldots Y_{\alpha_k} \,v \ko
\]
o\`u $k\geq 1$ et $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ est une
suite de racines positives.

\item Montrer
que les poids de $V'$ sont de la forme
\[
\chi-\sum_{i=1}^k \alpha_i \ko
\]
o\`u $k\geq 0$ et $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ est une suite
de racines positives.

\item Montrer que tout vecteur de $V'$ qui est de
poids $\chi$ est un multiple de $v$.

\item Montrer que $V'$ est irr\'eductible. Indication~:
Si $U$ est un sous-module de $V'$, on pourra montrer qu'il
existe un sous-module $W$ tel que $V'=U\oplus W$. 
On pourra alors se servir du fait que $V'_\chi=U_\chi\oplus W_\chi$.
\end{sublist}

\item Supposons que $V$ est irr\'eductible.
Soient $v$ et $v'$ deux vecteurs primitifs de
$V$ de poids respectifs $\chi$ et $\chi'$. Montrer que
$\chi=\chi'$. En d\'eduire que $v'$ est un multiple de $v$.
Ainsi, le $\gog$-module $V$ admet un vecteur primitif
unique \`a un multiple scalaire pr\`es. Son poids
est le \emph{plus haut poids de $V$}.

\item Supposons que $V$ et $W$ sont deux $\gog$-modules irr\'eductibles
de dimension finie qui ont le m\^eme plus haut poids.
On se propose de montrer que $V$ est isomorphe \`a $W$.
\begin{sublist}
\item Soient $v$ et $w$ des vecteurs primitifs de
$V$ et $W$. Montrer que le sous module $U$ de $V\oplus W$
engendr\'e par $(v,w)$ est irr\'eductible.
\item Montrer que les projections de $V\oplus W$ sur
les deux facteurs induisent des isomorphismes de $U$
sur $V$ et $W$. Conclure.
\end{sublist}


\item Nous nous proposons de montrer qu'une
forme $\chi$ est le plus haut poids d'une repr\'esentation
irr\'eductible si et seulement si $\chi\in\goh^*$ est \emph{dominant},
c'est-\`a-dire que $\chi(H_\alpha)$ est un entier positif
pour tout $\alpha\in R^+$. 

\begin{sublist}
\item Montrer que si $V$ est une repr\'esentation irr\'eductible
de plus haut poids $\chi$, alors $\chi$ est dominant.
Indication~: pour une racine positive $\alpha$,
on pourra consid\'erer la restriction de $V$ \`a la
sous-alg\`ebre canonique 
\[
\gos_\alpha=\C X_\alpha\oplus \C H_\alpha \oplus \C Y_\alpha
\]
et utiliser la th\'eorie des repr\'esentations de $\gos\gol(2,\C)$.

\item Pour $1\leq i \leq n$, soit $\eps_i: \goh \ra \C$ la forme lin\'eaire
qui envoie une matrice diagonale \`a coefficients diagonaux
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sur $\lambda_i$. 
Notons que les $\eps_i$ engendrent $\goh^*$ et v\'erifient
$\eps_1+\cdots + \eps_n=0$.

Montrer qu'une forme $\chi\in\goh^*$ est dominante si et seulement si
dans toute \'ecriture
\[
\chi = u_1 \eps_1 + \cdots + u_{n} \eps_{n}
\]
les diff\'erences $u_{i}-u_{i+1}$, $1\leq i \leq n-1$, sont
des entiers positifs.
\item Pour
$1\leq i \leq n-1$, soit
\[
\pi_i=\eps_1+ \cdots + \eps_i.
\]
Montrer qu'une forme $\chi\in\goh^*$ est dominante si et seulement si
elle est combinaison lin\'eaire \`a coefficients entiers positifs
de $\pi_1, \ldots ,\pi_{n-1}$.


\item  Soit $V=\C^n$ la repr\'esentation tautologique
et $1\leq k\leq n-1$.
On munit la $k$-\`eme puissance ext\'erieure\footnote{
Cette question est facultative. Omettez-la
si la puissance ext\'erieure ne vous est pas famili\`ere. Dans la suite,
utilisez le fait que pour chaque $1\leq k\leq n-1$, il existe un 
$\gog$-module irr\'eductible de plus haut poids $\pi_k$.} 
$\Lambda^k V$ d'une structure de $\gog$-module par
\[
X(v_1\wedge v_2 \wedge \ldots \wedge v_k) = 
\sum_{j=1}^k v_1 \wedge \ldots \wedge v_{j-1}\wedge X v_j \wedge v_{j+1} 
\wedge \ldots \wedge v_k.
\]
Montrer $\Lambda^k V$ est irr\'eductible
de plus haut poids $\pi_k$.

\item Soient $V$ et $V'$ des $\gog$-modules irr\'eductibles de
plus haut poids $\chi$ et $\chi'$. Montrer que le produit
tensoriel $V\ten V'$ contient un sous-module de plus haut
poids $\chi+\chi'$. 

\item Montrer que si $\chi\in \goh^*$ est dominant, il existe
une repr\'esentation irr\'eductible $V$ de plus haut poids
$\chi$.
\end{sublist}

\end{list-of-exercises}

\noindent
{\bf Conclusion\footnote{Ceci vaut plus g\'en\'eralement pour toute
alg\`ebre de Lie semi-simple complexe. }:} 
l'application qui, \`a un $\gog$-module simple,
associe son plus haut poids induit une bijection de l'ensemble
des classes d'isomorphie de $\gog$-modules simples sur l'ensemble
des poids dominants.
\end{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Soit $n\geq 1$. On rappelle que toute matrice diagonale $H$
de $\gl(n,\C)$ \`a coefficients diagonaux $\lam_1, \ldots, \lam_n$
v\'erifie $\ad(H).E_{i,j}=(\lam_i -\lam_j) \,E_{i,j}$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose
$i^*=(n+1)-i$. Pour une matrice $A=(a_{ij})$ de taille
$n\times n$, on d\'efinit la matrice {\em cotranspos\'ee}
$A^\sharp$ par $a^\sharp_{ij}=a_{j^*,i^*}$. Soit $J$ la matrice
de coefficients $\delta_{i,i^*}$ (symbole de Kronecker).
Soit $\gog$ l'alg\`ebre de Lie complexe
\begin{eqnarray*}
\gos\gop(2n,\C)
& = & \{X\in \gl(2n,\C)\;|\; \;^t\!X
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right]
+
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right] X =0\}\\
& = &\{
\left[\begin{array}{cc}A & B \\ C & D \end{array} \right]
\in\gl(2n,\C)\;| \;
D=-A^\sharp\ko B=B^\sharp\ko C=C^\sharp\}.
\end{eqnarray*}
Posons $n=3$. Montrer que la sous-alg\`ebre $\goh$
de $\gog$ form\'ee des matrices diagonales appartenant
\`a $\gog$ est une sous-alg\`ebre de Cartan et
d\'eterminer (en m\^eme temps) le syst\`eme de racines
de $(\gog,\goh)$.


\item Soit $X\in\goh$. D\'ecrire le centralisateur
$\gog(X)$ de $X$ dans $\gog$ \`a l'aide des espaces
poids $\gog^\alpha$ de $(\gog,\goh)$.
%\item Montrer que la restriction \`a $\gog(X)$
%de la forme de Killing
%de $\gog$ est non d\'eg\'en\'er\'ee
%et d\'eduire que $\gog(X)$ est r\'eductive 
%(voir l'exercice ...).
\item Montrer qu'on peut choisir $X$ tel que
$[\gog(X),\gog(X)]$ soit isomorphe \`a 
$\sl(2,\C)\oplus\sl(2,\C)$. 
\end{sublist}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%