Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 2000-2001 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 26/01/2001

Examen de Janvier 2001

I. Un exercice sur l’algèbre de Lie simple de type G_{2}

Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple complexe et 𝔥 une sous-algèbre de Cartan de 𝔤. On suppose que le système de racines associé à (𝔤, 𝔥) est le le système G_{2} ci-dessous.

1) Quels sont le rang et la dimension de 𝔤 ? Justifier.

2) Soit 0 ≠ X_{α} ∈ 𝔤^{α}. Montrer que adX_{α} est nilpotent et calculer son indice de nilpotence (i.e. le plus petit entier n ≥ 0 tel que (adX_{α})^{n} = 0).

3) Soit H_{α} ∈ 𝔥 la racine inverse de α. Rappeler la définition de la racine inverse. Soit Y_{α} un élément de 𝔤^{−α} tel que (X_{α}, H_{α}, Y_{α}) est un 𝔰𝔩_{2}-triplet. Quelle liberté a-t-on dans le choix de Y_{α} ?

4) On considère la représentation de 𝔰𝔩(2, C) donnée par le 𝔰𝔩_{2}-triplet d’endomorphismes de 𝔤

(adX_{α}, adH_{α}, adY_{α}).

Quelle est la décomposition de cette représentation en représentations irréductibles ?

5) En déduire le rang de (adX_{α})^{2}.

6) Calculer la dimension de l’espace E des endomorphismes linéaires f : 𝔤 → 𝔤 qui commutent à adX_{α} et adY_{α} et la dimension du sous-espace D ⊂ E formé des dérivations dans E.

II. Le radical est l’orthogonal de l’algèbre dérivée

On note 𝔤 = 𝔱(n, C) l’algèbre de Lie des matrices triangulaires supérieures, 𝔫 = 𝔫(n, C) la sousalgèbre des matrices strictement triangulaires supérieures et K la forme de Killing de 𝔤. On pose 𝔫_{0} = 𝔤 et 𝔫_{i+1} = [𝔫, 𝔫_{i}] pour tout i ∈ N.

1) Montrer que 𝔫 est inclus dans le noyau de K. Indication : on pourra se servir du fait que 𝔫_{i} = 0 pour i ≥ n.

2) Montrer que la forme de Killing est donnée par

K(X, Y) = a tr(XY) − b tr(X) tr(Y)

pour deux entiers a et b que l’on déterminera.

3) Montrer que le noyau de K est la somme directe de 𝔫 avec la sous-algèbre des matrices scalaires.

4) Vérifier que l’orthogonal de l’algèbre de Lie dérivée [𝔤, 𝔤] est égal au radical de 𝔤 alors que l’orthogonal du radical est strictement plus grand que la sous-algèbre dérivée.

Soit 𝔤 une algèbre de Lie complexe de dimension finie. Soit 𝔯 son radical et K sa forme de Killing. On se propose de montrer que 𝔯 est l’orthogonal de l’algèbre dérivée [𝔤, 𝔤] pour la forme de Killing.

5) Soit 𝔞 l’orthogonal de l’algèbre dérivée [𝔤, 𝔤] pour la forme de Killing. Montrer que 𝔞 est un idéal et qu’il est résoluble. En déduire qu’il est contenu dans le radical.

6) On se propose de montrer que réciproquement, le radical 𝔯 est bien orthogonal à l’algèbre dérivée (et donc contenu dans 𝔞).

a) Soit U un élément de 𝔤. Montrer que l’espace vectoriel CU +𝔯 est une sous-algèbre résoluble de 𝔤. Montrer ensuite que ad[U, Z] est nilpotent pour tout Z ∈ 𝔯.

b) Soient X, Y des éléments de 𝔤 et Z ∈ 𝔯. Montrer que 𝔤 admet un drapeau F tel que ad(X) ⊂ 𝔟(F) et ad[Y, Z] ⊂ 𝔫(F).

c) Montrer que 𝔯 est orthogonal à l’algèbre dérivée [𝔤, 𝔤] et conclure.

III. Une propriété des tores maximaux dans les groupes compacts

Soit T ⊂ U(n) le sous-groupe des matrices diagonales unitaires dans U(n). On se propose de calculer le normalisateur N(T) de T dans U(n).

1) Soit g ∈ N(T). Montrer que g permute les axes de coordonnées D_{1}, …, D_{n}. En déduire que g est une matrice monomiale, c’est-à-dire que chaque colonne et chaque ligne de g contient un coefficient non nul et un seul. Indication : si t ∈ T est à coefficients diagonaux distincts deux à deux, les D_{i} sont les espaces propres de t.

2) Pour g ∈ N(T), soit π(g) la permutation telle que gD_{i} = D_{π(g)(i)}. Montrer que l’on a une suite

exacte

1 → T → N(T) →^{π} S_{n} → 1

et que T = N(T)_{0}. En déduire que T est un sous-groupe abélien connexe maximal.

Soit K un groupe de Lie réel compact. Soit T ⊂ K un sous-groupe abélien connexe et qui est maximal pour ces propriétés.

3) Montrer que T est fermé. En déduire qu’il est un groupe de Lie connexe, compact abélien. Que peut-on dire de la structure de T ?

4) Montrer que le groupe des automorphismes de groupe de Lie de T s’identifie à un sous-groupe discret Λ de GL(Lie(T)).

5) Soit N(T) le normalisateur de T dans K. Montrer que N(T) est un sous-groupe de Lie fermé de K. Montrer que l’action par conjugaison de N(T)_{0} dans T est triviale.

6) Soit γ : R → N(T)_{0} un sous-groupe à un paramètre. Montrer que l’ensemble γ(R)T est un sous-groupe abélien connexe de K et déduire qu’il est égal à T.

7) Montrer que N(T)_{0} est égal à T et déduire que N(T)/T est fini.