Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1998-1999 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 25/01/1999

Examen de Janvier 1999

Avertissement : Documents et calculettes sont interdits.

1) Soit 𝔤 une algèbre de Lie complexe de dimension finie et soit 𝔞 un idéal résoluble de 𝔤. Soit V un 𝔤-module de dimension finie, ρ : 𝔤 → EndC(V) la représentation qui correspond à V et b_{V} la forme bilinéaire associée à V : pour X, Y ∈ 𝔤, on a

b_{V} (X, Y) = tr(ρ(X)ρ(Y)).

Il s’agit de montrer que [𝔤, 𝔞] est orthogonal à 𝔤 pour b_{V}.

a) Supposons que V est simple. Montrer que 𝔞 agit sur V par des scalaires et en déduire que [𝔤, 𝔞] y agit par 0. Indication : on pourra se servir du lemme suivant extrait de la démonstration du théorème de Lie

Soit 𝔤 une algèbre de Lie complexe de dimension finie. Soit 𝔞 un idéal de 𝔤 et λ une forme linéaire sur 𝔞. Soit V un 𝔤-module de dimension finie et V_{λ} l’espace des vecteurs v tels que

X.v = λ(X)v

pour tout X ∈ 𝔞. Alors V_{λ} est un 𝔤-sous-module de V.

b) Supposons V quelconque et soit 0 = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ … V_{n} = V une suite de sous-modules telle que V_{i}/V_{i−1} est simple pour tout 1 ≤ i ≤ n. Montrer que pour tout X ∈ [𝔤, 𝔞], on a X.V_{i} ⊂ V_{i−1} pour tout 1 ≤ i ≤ n.

c) Conclure.

2) Soit 𝔤 une algèbre de Lie complexe de dimension finie.

a) Montrer qu’on a équivalence entre les quatre conditions suivantes, qui caractérisent les algèbres dites réductives.

(i) La représentation adjointe de 𝔤 est semi-simple. (ii) On a 𝔤 = 𝔞 ⊕ 𝔰, où 𝔞 est un idéal abélien et 𝔰 un idéal semisimple de 𝔤. (iii) L’algèbre 𝔤 admet une représentation de dimension finie V dont la forme bilinéaire

associée est non dégénérée. (iv) Le radical de 𝔤 est égal à son centre.

Indication : Pour déduire (iv) de (iii), on pourra se servir du résultat de l’exercice précédent.

b) Supposons que 𝔤 est une algèbre de Lie complexe semisimple, 𝔥 une sous-algèbre de Cartan

et

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤^{α}

la décomposition de 𝔤 en sous-espaces poids par rapport à 𝔥. Soit X ∈ 𝔥. Décrire le centralisateur

𝔤(X) = {Y ∈ 𝔤 | [X, Y] = 0}

en termes de 𝔥 et des sous-espaces poids. c) Montrer que la restriction de la forme de Killing à 𝔤(X) est non dégénérée.

d) Déduire que 𝔤(X) est réductive.

3) Soit G un groupe. Pour x, y ∈ G, on note ^{x}y le conjugué de y par x défini par

xy = ^{x}y x

et on note (x, y) le commutateur de x et y défini par

xy = (x, y) yx.

a) Montrer que l’on a

(x, y_{1}y_{2}) = (x, y_{1}) ^{y_{1}}(x, y_{2}) et (x_{1}x_{2}, y) = ^{x_{1}}(x_{2}, y) (x_{1}, y)

pour tous x, …, y_{2} ∈ G.

b) On note (G, G) le sous-groupe des commutateurs de G : par définition, il est engendré par les commutateurs (x, y), x, y ∈ G. Déterminer (G, G) pour le sous-groupe G ⊂ GL(2, R) des matrices de la forme

( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ) ou ( \begin{matrix}0 & b \\ c & 0 \end{matrix} ) .

c) Montrer que (G, G) est invariant par tous les automorphismes de G, que G/(G, G) est abélien et que (G, G) ⊂ H pour tout sous-groupe distingué H de G tel que G/H est abélien.

d) Soit X une partie symétrique (X = X^{−1}) et génératrice de G. Montrer que (G, G) est engendré par les éléments ^{g}(x, y), où g ∈ G et x, y ∈ X.

e) A partir de ce point, on suppose que G est un groupe de Lie (réel) et on note 𝔤 son algèbre de Lie. Montrer par un exemple qu’on peut avoir Lie((G, G)) ≠ {0} et [𝔤, 𝔤] = 0.

f) A partir de ce point, on suppose G connexe. Soit 𝔥 = [𝔤, 𝔤] et soit H le sous-groupe de G qui est engendré par exp(𝔥), muni de sa structure canonique de groupe de Lie. On se propose de montrer que H = (G, G). On commence par montrer l’inclusion de (G, G) dans H. Montrer pour cela qu’il existe un voisinage symétrique U de 0 dans 𝔤 tel que pour tous X, Y ∈ U, il existe Z ∈ 𝔥 tel que

exp(X) exp(Y) exp(−X) exp(−Y) = exp(Z).

Conclure à l’aide de d).

g) On se propose de montrer l’inclusion de H dans (G, G). Soit g ∈ G. On considère

l’application

α_{g} : G → H , x ↦ gxg^{−1}x^{−1}.

Calculer T_{e}(α_{g}) : 𝔤 → 𝔥.

h) Montrer que 𝔥 est égal à la somme des images des applications T_{e}(α_{g}) lorsque g varie dans G.

i) Montrer qu’il existe g_{1}, …, g_{n} ∈ G tels que l’application

α : G × … × G → H , (x_{1}, …, x_{n}) ↦ α_{g_{1}}(x_{1}) … α_{g_{n}}(x_{n})

a une différentielle surjective au point (e, …, e).

j) Montrer que (G, G) contient un voisinage de e dans H et en déduire que H est inclus dans (G, G).