\documentclass{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

%subsublist
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\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
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}{\end{list}}

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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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}{\end{list}}
                                                                


%liste d'exercices
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\begin{list}{\arabic{exo})}{\usecounter{exo}            
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}{\end{list}}      

\newcommand{\tit}[1]{\bigskip\par\noindent{\bf #1}\bigskip}                                             
                        
                                      
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
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%Overline, Underline
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%Calligraphic letters
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%Greek letters
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%Gothic letters
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%Arrows
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\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\pl}{\parallel}



\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 1998-1999\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 25/01/1999}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Examen de Janvier 1999}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } Documents et calculettes sont
interdits.}
\bigskip

\begin{list-of-exercises}


\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie complexe de dimension
finie et soit $\goa$
un id\'eal r\'esoluble de $\gog$. Soit $V$ un $\gog$-module de
dimension finie, $\rho: \gog \ra \End_{\C}(V)$ la repr\'esentation qui 
correspond \`a $V$ et $b_V$ la forme bilin\'eaire 
associ\'ee \`a $V$ : pour $X,Y\in\gog$, on a
\[
b_V(X,Y)=\tr(\rho(X)\rho(Y)).
\]
Il s'agit de montrer que $[\gog,\goa]$ est orthogonal
\`a $\gog$ pour $b_V$.
\begin{sublist}
\item Supposons que $V$ est simple. Montrer que $\goa$
agit sur $V$ par des scalaires et en d\'eduire que
$[\gog,\goa]$ y agit par $0$. Indication : on
pourra se servir du lemme suivant extrait de la d\'emonstration
du th\'eor\`eme de Lie
\begin{quote} {\em Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie complexe 
de dimension finie.
Soit $\goa$ un id\'eal de $\gog$ et $\lam$ une forme lin\'eaire
sur $\goa$. Soit $V$ un $\gog$-module de dimension finie 
et $V_\lam$ l'espace des vecteurs $v$ tels que
\[
X.v=\lam(X) v
\]
pour tout $X\in\goa$. Alors $V_\lam$ est un $\gog$-sous-module
de $V$. }
\end{quote}
\item Supposons $V$ quelconque et soit 
$0=V_0\subset V_1\subset \ldots V_n=V$ une suite de sous-modules
telle que $V_i/V_{i-1}$ est simple pour tout $1\leq i\leq n$.
Montrer que pour tout $X\in[\gog,\goa]$, on a
$X.V_{i}\subset V_{i-1}$ pour tout $1\leq i\leq n$.
\item Conclure.
\end{sublist}
 
\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie complexe de
dimension finie.
\begin{sublist}
\item 
Montrer qu'on a \'equivalence entre les quatre conditions
suivantes, qui caract\'erisent les alg\`ebres dites
{\em r\'eductives}.
\begin{itemize}
\item[(i)] La repr\'esentation adjointe de $\gog$
est semi-simple.
\item[(ii)] On a $\gog=\goa\oplus\gos$, o\`u $\goa$
est un id\'eal ab\'elien et $\gos$ un 
id\'eal semisimple de $\gog$.
\item[(iii)] L'alg\`ebre $\gog$ admet une repr\'esentation
de dimension finie $V$ dont la forme bilin\'eaire associ\'ee est
non d\'eg\'en\'er\'ee.
\item[(iv)] Le radical de $\gog$ est \'egal \`a son
centre.
\end{itemize}
{\bf Indication :} Pour d\'eduire (iv) de (iii), on pourra se servir
du r\'esultat de l'exercice pr\'ec\'edent.
\item Supposons que  $\gog$ est une alg\`ebre de Lie complexe semisimple,
$\goh$ une sous-alg\`ebre de Cartan et 
\[
\gog=\goh\oplus \bigoplus_{\alpha \in R} \gog^\alpha
\]
la d\'ecomposition de $\gog$ en sous-espaces poids par rapport \`a
$\goh$. Soit $X\in \goh$. D\'ecrire le centralisateur
\[
\gog(X)=\{Y\in\gog\; | \; [X,Y]=0\}
\]
en termes de $\goh$ et des sous-espaces poids.
\item Montrer que la restriction de la forme de Killing \`a
$\gog(X)$ est non d\'eg\'en\'er\'ee.
\item D\'eduire que $\gog(X)$ est r\'eductive.
\end{sublist}


\item Soit $G$ un groupe. Pour $x,y\in G$, on note $^x\!y$ le
conjugu\'e de $y$ par $x$ d\'efini par
\[
xy=\,^x\!y\, x
\]
et on note $(x,y)$ le commutateur de $x$ et $y$ d\'efini par
\[
xy = (x,y)\,\, yx.
\]

\begin{sublist}
\item Montrer que l'on a 
\[
(x,y_1 y_2) = (x,y_1)\,\,^{y_1}\!(x,y_2) \quad\mbox{ et }\quad
(x_1 x_2, y)= \,^{x_1}\!(x_2,y)\,(x_1,y)
\]
pour tous $x,\ldots, y_2\in G$.

\item On note $(G,G)$ le 
{\em sous-groupe des commutateurs de $G$} : par d\'efinition,
il est engendr\'e par les commutateurs $(x,y)$, $x,y\in G$. 
D\'eterminer $(G,G)$
pour le sous-groupe $G\subset GL(2,\R)$ des matrices
de la forme
\[
\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right)
\quad\mbox{ ou }\quad
\left( \begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right)\; .
\]

\item Montrer que $(G,G)$ est invariant par tous les
automorphismes de $G$, que $G/(G,G)$ est ab\'elien et que
$(G,G)\subset H$ pour tout sous-groupe distingu\'e $H$ de $G$
tel que $G/H$ est ab\'elien.

\item Soit $X$ une partie sym\'etrique ($X=X^{-1}$) et
g\'en\'eratrice de $G$. Montrer que $(G,G)$ est engendr\'e par
les \'el\'ements $\,^g\!(x,y)$, o\`u $g\in G$ et $x,y\in X$.

\item A partir de ce point, on suppose que $G$ est un groupe
de Lie (r\'eel) et on note $\gog$ son alg\`ebre de Lie.
Montrer par un exemple qu'on peut avoir $\Lie((G,G))\neq \{0\}$
et $[\gog,\gog]=0$.

\item A partir de ce point, on suppose $G$ connexe.
Soit $\goh=[\gog,\gog]$ et soit $H$ le sous-groupe
de $G$ qui est engendr\'e par $\exp(\goh)$, muni de sa 
structure canonique de groupe de Lie. On se propose
de montrer que $H=(G,G)$. On commence par montrer l'inclusion
de $(G,G)$ dans $H$. Montrer pour cela qu'il existe
un voisinage sym\'etrique $U$ de $0$ dans $\gog$ tel que
pour tous $X,Y\in U$, il existe $Z\in \goh$ tel que 
\[
\exp(X)\exp(Y)\exp(-X)\exp(-Y)=\exp(Z).
\]
Conclure \`a l'aide de d).

\item On se propose de montrer l'inclusion de $H$ dans $(G,G)$.
Soit $g\in G$. On consid\`ere l'application
\[
\alpha_g : G \ra H \ko x \mapsto gxg^{-1}x^{-1}.
\]
Calculer $T_e(\alpha_g):\gog \ra \goh$.

\item Montrer que $\goh$ est \'egal \`a la somme des
images des applications $T_e(\alpha_g)$ lorsque $g$ varie
dans $G$.

\item Montrer qu'il existe $g_1, \ldots, g_n \in G$
tels que l'application
\[
\alpha : G\times \ldots \times G \ra H \ko
(x_1, \ldots, x_n) \mapsto 
\alpha_{g_1}(x_1) \ldots \alpha_{g_n}(x_n)
\]
a une diff\'erentielle surjective au point $(e,\ldots, e)$.

\item Montrer que $(G,G)$ contient un voisinage de 
$e$ dans $H$ et en d\'eduire que $H$ est inclus dans $(G,G)$.

\end{sublist}

\end{list-of-exercises}
\end{document}



\item Soit $n\geq 1$. On rappelle que toute matrice diagonale $H$
de $\gl(n,\C)$ \`a coefficients diagonaux $\lam_1, \ldots, \lam_n$
v\'erifie $\ad(H).E_{i,j}=(\lam_i -\lam_j) \,E_{i,j}$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose
$i^*=(n+1)-i$. Pour une matrice $A=(a_{ij})$ de taille
$n\times n$, on d\'efinit la matrice {\em cotranspos\'ee}
$A^\sharp$ par $a^\sharp_{ij}=a_{j^*,i^*}$. Soit $J$ la matrice
de coefficients $\delta_{i,i^*}$ (symbole de Kronecker).
Soit $\gog$ l'alg\`ebre de Lie complexe
\begin{eqnarray*}
\gos\gop(2n,\C)
& = & \{X\in \gl(2n,\C)\;|\; \;^t\!X
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right]
+
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right] X =0\}\\
& = &\{
\left[\begin{array}{cc}A & B \\ C & D \end{array} \right]
\in\gl(2n,\C)\;| \;
D=-A^\sharp\ko B=B^\sharp\ko C=C^\sharp\}.
\end{eqnarray*}
Posons $n=3$. Montrer que la sous-alg\`ebre $\goh$
de $\gog$ form\'ee des matrices diagonales appartenant
\`a $\gog$ est une sous-alg\`ebre de Cartan et
d\'eterminer (en m\^eme temps) le syst\`eme de racines
de $(\gog,\goh)$.


\item Soit $X\in\goh$. D\'ecrire le centralisateur
$\gog(X)$ de $X$ dans $\gog$ \`a l'aide des espaces
poids $\gog^\alpha$ de $(\gog,\goh)$.
%\item Montrer que la restriction \`a $\gog(X)$
%de la forme de Killing
%de $\gog$ est non d\'eg\'en\'er\'ee
%et d\'eduire que $\gog(X)$ est r\'eductive 
%(voir l'exercice ...).
\item Montrer qu'on peut choisir $X$ tel que
$[\gog(X),\gog(X)]$ soit isomorphe \`a 
$\sl(2,\C)\oplus\sl(2,\C)$. 
\end{sublist}