Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 1999-2000 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 13/06/2000

Examen de Juin 2000 (deuxième session)

Avertissement : Documents et calculettes sont interdits.

1) Soit G = SO(3) le groupe des matrices 3×3 à coefficients réels, orthogonales, de déterminant 1. Soit 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(R, 3) son algèbre de Lie.

a) Montrer que pour tout g ∈ G, il existe un homomorphisme continu γ : R → G tel que γ(1) = g. Indication : l’application g : R^{3} → R^{3} est une rotation.

b) Montrer que l’exponentielle 𝔤 → G est surjective.

c) Soit la base de 𝔤

X_{1} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) X_{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) X_{3} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Soient x_{1}, x_{2}, x_{3} des nombres réels et soit X = x_{1}X_{1} + x_{2}X_{2} + x_{3}X_{3}. Quelles sont les valeurs propres de adX ?

d) Soit X comme dans b). Donner une condition nécessaire et suffisante sur x_{1}, x_{2}, x_{3} pour que la différentielle de l’exponentielle soit bijective en X.

2) Soit G un groupe de Lie, 𝔤 son algèbre de Lie et 𝔥 ⊂ 𝔤 une sous-algèbre.

a) On définit N_{G}(𝔥) (resp. C_{G}(𝔥)) comme les sous-groupes de G formés des éléments g tels que Ad(g)(𝔥) ⊂ 𝔥 (resp. Ad(g)(𝔥) ⊂ 𝔥 et la restriction de Ad(g) à 𝔥 est l’identité). Montrer que C_{G}(𝔥) est un sous-groupe distingué de N_{G}(𝔥) et que N_{G}(𝔥) et C_{G}(𝔥) sont des sous-groupes fermés de G.

b) Montrer que l’algèbre de Lie de N_{G}(𝔥) (resp. C_{G}(𝔥)) est la sous-algèbre 𝔫_{𝔤}(𝔥) (resp. 𝔠_{𝔤}(𝔥)) formée des éléments X ∈ 𝔤 tels que ad(X)(𝔥) ⊂ 𝔥 (resp. ad(X) s’annule sur 𝔥).

3) Soit G un groupe de Lie complexe et 𝔤 son algèbre de Lie. On suppose que 𝔤 est semi-simple. Soit 𝔥 ⊂ 𝔤 une sous-algèbre de Cartan. Soit Δ = Δ(𝔤, 𝔥) le système de racines associé et W le groupe de Weyl. On identifie W à un sous-groupe de GL(𝔥) grâce à la forme de Killing. On définit N_{G}(𝔥) et C_{G}(𝔥) comme dans l’exercice précédent. On se propose de montrer que la représentation adjointe induit un isomorphisme de N_{G}(𝔥)/C_{G}(𝔥) sur un sous-groupe fini de GL(𝔥) contenant W (^{1}). Soit φ l’application

N_{G}(𝔥) → GL(𝔥) , g ↦ Ad(g)|_{𝔥}.

a) Montrer que φ induit un isomorphisme de N_{G}(𝔥)/C_{G}(𝔥) sur un sous-groupe fini de GL(𝔥).

b) Soit α ∈ Δ et soient X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α} et H ∈ 𝔥 des éléments qui forment un 𝔰𝔩_{2}-triplet. On

pose

g = exp(X) exp(−Y) exp(X).

Supposons que G = SL(2, C). Montrer que g appartient à N_{G}(𝔥) et que son image dans GL(𝔥) est la symétrie associée à α. c) Montrer l’affirmation de b) pour G quelconque. Indication : on pourra utiliser la décomposition

1Ce sous-groupe est en réalité égal à W mais nous ne le démontrerons pas.

𝔥 = kerα⊕CH. L’élément Ad(g)(H′) se calcule facilement pour H′ ∈ kerα. Pour H′ ∈ CH, on se ramènera au cas de SL(2, C).

d) Conclure.

4) Soit 𝔤 une algèbre de Lie complexe. Soit E le sous-groupe de Aut(𝔤) engendré par les exp(ad(X)) où X ∈ 𝔤 est un élément tel que ad(X) : 𝔤 → 𝔤 est nilpotent. Soient 𝔥 et 𝔨 deux sous-algèbres de Cartan^{2} de 𝔤. On se propose de montrer qu’il existe g ∈ E tel que g(𝔥) = 𝔨.

Rappelons que pour une forme linéaire λ : 𝔥 → C, on pose

𝔤^{λ} = {X ∈ 𝔤 | (ad(H) − λ(H))^{N}(X) = 0 pour N ≥ dim 𝔤 et tous H ∈ 𝔥}.

On note λ_{1}, …, λ_{n} les formes linéaires non nulles λ telles que 𝔤^{λ} ≠ 0.

a) Rappeler pourquoi 𝔤 est la somme directe de 𝔥 et des 𝔤^{λ_{i}}, i = 1, …, n. Indication : on pourra se servir du théorème de Lie. Pour montrer que 𝔤^{0} = 𝔥 on pourra considérer l’action de 𝔥 dans 𝔤^{0}/𝔥.

b) Montrer que adX est nilpotent si X ∈ 𝔤^{λ_{i}}.

c) Soit

f : 𝔥 × 𝔤^{λ_{1}} × … × 𝔤^{λ_{n}} → 𝔤

l’application définie par

f(H, X_{1}, …, X_{n}) = (exp adX_{1})(exp adX_{2}) … (exp adX_{n})(H).

Montrer que f est polynomiale.

d) Soit 𝔥′ ⊂ 𝔥 l’ensemble des H ∈ 𝔥 tels que λ_{1}(H) ≠ 0, …, λ_{n}(H) ≠ 0. Soit H_{0} ∈ 𝔥′. Montrer que l’application tangente à f en (H_{0}, 0, …, 0) est surjective.

e) Déduire que l’image de 𝔥′ × 𝔤^{λ_{1}} × … × 𝔤^{λ_{n}} par f contient un ouvert non vide. On admettra dans la suite que si une application polynomiale a une image contenant un ouvert non vide, alors cette image est dense.

f) On définit 𝔨′ relativement à 𝔨 comme 𝔥′ a été défini relativement à 𝔥. Montrer que l’intersection de E𝔥′ avec E𝔨′ est non vide et conclure.

2Rappelons qu’une sous-algèbre de Cartan est une sous-algèbre nilpotente égale à son normalisateur.