\documentclass{article}
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\def\aujourdhui{\number\day\space\ifcase\month\or
  Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
  Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'ecembre\fi
, \number\year}

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%liste d'exercices
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% abbreviations
% Black Board Bold Face
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%Comma, forall
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%Overline, Underline, transposed conjugate
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%Calligraphic letters
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%Greek letters
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%Gothic letters
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\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{0.45cm}
\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 1999-2000\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 13/06/2000}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf Examen de Juin 2000 (deuxi\`eme session)}\\
\end{center}
\bigskip
{\small {\bf Avertissement : } Documents et calculettes sont
interdits.}
\bigskip


\begin{list-of-exercises}

\item Soit $G=SO(3)$ le groupe des matrices $3\times 3$
\`a coefficients r\'eels, orthogonales, de d\'eterminant~$1$.
Soit $\gog\subset\gog\gol(\R,3)$ son alg\`ebre de Lie.
\begin{sublist}
\item Montrer que pour tout $g\in G$, il existe un homomorphisme
continu $\gamma: \R \ra G$ tel que $\gamma(1)=g$.
Indication~: l'application $g:\R^3\ra\R^3$ est une rotation.
\item Montrer que l'exponentielle $\gog \ra G$ est surjective.
\item Soit la base de $\gog$
\[
X_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0
  \end{array} \right) \quad
X_2 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0
  \end{array} \right) \quad
X_3 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
  \end{array} \right) .
\]
Soient $x_1, x_2, x_3$ des nombres r\'eels et soit
$X=x_1 X_1+x_2 X_2 + x_3 X_3$. Quelles sont les
valeurs propres de $\ad X$ ?
\item Soit $X$ comme dans b). Donner une condition n\'ecessaire
et suffisante sur $x_1, x_2, x_3$ pour que la diff\'erentielle
de l'exponentielle soit bijective en $X$.
\end{sublist}

\item Soit $G$ un groupe de Lie, $\gog$ son alg\`ebre de Lie et
$\goh\subset\gog$ une sous-alg\`ebre. 

\begin{sublist}
\item On d\'efinit
$N_G(\goh)$ (resp. $C_G(\goh)$) comme les sous-groupes de $G$ form\'es
des \'el\'ements $g$ tels que $\Ad(g)(\goh)\subset \goh$ 
(resp. $\Ad(g)(\goh)\subset \goh$ et la restriction de $\Ad(g)$ \`a
$\goh$ est l'identit\'e). Montrer que $C_G(\goh)$ est un sous-groupe
distingu\'e de $N_G(\goh)$ et que $N_G(\goh)$ et $C_G(\goh)$
sont des sous-groupes ferm\'es de $G$.

\item Montrer que l'alg\`ebre de Lie de $N_G(\goh)$
  (resp. $C_G(\goh)$) est la sous-alg\`ebre $\gon_\gog(\goh)$
(resp. $\goc_\gog(\goh)$) form\'ee des \'el\'ements $X\in\gog$
tels que $\ad(X)(\goh)\subset \goh$ (resp. $\ad(X)$ s'annule sur
$\goh$).

\end{sublist}

\item Soit $G$ un groupe de Lie complexe et $\gog$ son alg\`ebre
de Lie. On suppose que $\gog$ est semi-simple. Soit $\goh\subset \gog$
une sous-alg\`ebre de Cartan. Soit $\Delta=\Delta(\gog,\goh)$ le
syst\`eme de racines associ\'e et $W$ le groupe de Weyl. 
On identifie $W$ \`a un sous-groupe de $GL(\goh)$ gr\^ace
\`a la forme de Killing. On d\'efinit $N_G(\goh)$ et $C_G(\goh)$
comme dans l'exercice pr\'ec\'edent. On se propose de montrer
que la repr\'esentation adjointe induit un isomorphisme
de $N_G(\goh)/C_G(\goh)$ sur un sous-groupe fini de $GL(\goh)$
contenant $W$ (\footnote{Ce sous-groupe est en r\'ealit\'e \'egal
\`a $W$ mais nous ne le d\'emontrerons pas.}). Soit $\phi$
l'application 
\[
N_G(\goh) \ra GL(\goh) \ko g \mapsto \Ad(g)|_\goh.
\]
\vspace*{-0.5cm}
\begin{sublist}
\item Montrer que $\phi$ induit un isomorphisme
de $N_G(\goh)/C_G(\goh)$ sur un sous-groupe fini de $GL(\goh)$.
\item Soit $\alpha\in\Delta$ et soient $X\in \gog_\alpha$,
$Y\in \gog_{-\alpha}$ et $H\in \goh$ des \'el\'ements
qui forment un $\gos\gol_2$-triplet. On pose
\[
g=\exp(X)\exp(-Y)\exp(X).
\]
Supposons que $G=SL(2,\C)$.
Montrer que $g$ appartient \`a $N_G(\goh)$ et que son
image dans $GL(\goh)$ est la sym\'etrie associ\'ee
\`a~$\alpha$. 
\item Montrer l'affirmation de b) pour $G$ quelconque.
Indication~: on pourra utiliser la d\'ecomposition
$\goh=\ker\alpha\oplus \C H$. L'\'el\'ement $\Ad(g)(H')$
se calcule facilement pour $H'\in\ker\alpha$. Pour
$H'\in \C H$, on se ram\`enera au cas de $SL(2,\C)$.
\item Conclure.
\end{sublist}

\item Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie complexe.
Soit $E$ le sous-groupe de $\Aut(\gog)$ engendr\'e par
les $\exp(\ad(X))$ o\`u $X\in\gog$ est un \'el\'ement
tel que $\ad(X):\gog \ra \gog$ est
nilpotent. Soient $\goh$ et $\gok$ deux sous-alg\`ebres
de Cartan\footnote{Rappelons qu'une sous-alg\`ebre de Cartan
est une sous-alg\`ebre nilpotente \'egale \`a son normalisateur.} 
de $\gog$. On se propose de montrer qu'il
existe $g\in E$ tel que $g(\goh)=\gok$. 

Rappelons que pour une forme lin\'eaire $\lambda:\goh \ra \C$, 
on pose
\[
\gog^\lambda=\{ X\in \gog\; | \; (\ad(H)-\lambda(H))^N(X) =0 \mbox{ pour }
N\geq \dim\gog \mbox{ et tous } H\in \goh\}.
\]
On note $\lambda_1$, \ldots, $\lambda_n$ les formes lin\'eaires
non nulles $\lambda$ telles que $\gog^\lambda\neq 0$.

\begin{sublist}
\item Rappeler pourquoi $\gog$ est la somme directe de $\goh$
et des $\gog^{\lambda_i}$, $i=1,\ldots, n$.
Indication~: on pourra se servir du th\'eor\`eme de Lie.
Pour montrer que $\gog^0=\goh$ on pourra consid\'erer l'action
de $\goh$ dans $\gog^0/\goh$.
\item Montrer que $\ad X$ est nilpotent si $X\in \gog^{\lambda_i}$.
\item Soit
\[
f: \goh\times \gog^{\lambda_1} \times \ldots \times \gog^{\lambda_n}
\ra \gog
\]
l'application d\'efinie par
\[
f(H, X_1, \ldots, X_n)= (\exp \ad X_1)(\exp \ad X_2) \ldots (\exp \ad
X_n) (H).
\]
Montrer que $f$ est polynomiale.
\item Soit $\goh'\subset \goh$ l'ensemble des $H\in\goh$ tels que
$\lambda_1(H)\neq 0$, \ldots, $\lambda_n(H)\neq 0$. 
Soit $H_0\in \goh'$. Montrer que l'application tangente
\`a $f$ en $(H_0, 0, \ldots, 0)$ est surjective. 
\item D\'eduire que l'image de 
$\goh'\times \gog^{\lambda_1} \times \ldots \times \gog^{\lambda_n}$
par $f$ contient un ouvert
non vide. On admettra dans la suite 
que si une application {\em polynomiale} a une
image contenant un ouvert non vide, alors cette image est dense.
\item On d\'efinit $\gok'$ relativement \`a $\gok$ comme
$\goh'$ a \'et\'e d\'efini relativement \`a $\goh$.
Montrer que l'intersection de $E\goh'$ avec $E \gok'$
est non vide et conclure.
\end{sublist}



\end{list-of-exercises}
\end{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Soit $n\geq 1$. On rappelle que toute matrice diagonale $H$
de $\gl(n,\C)$ \`a coefficients diagonaux $\lam_1, \ldots, \lam_n$
v\'erifie $\ad(H).E_{i,j}=(\lam_i -\lam_j) \,E_{i,j}$.

Pour $1\leq i\leq n$, on pose
$i^*=(n+1)-i$. Pour une matrice $A=(a_{ij})$ de taille
$n\times n$, on d\'efinit la matrice {\em cotranspos\'ee}
$A^\sharp$ par $a^\sharp_{ij}=a_{j^*,i^*}$. Soit $J$ la matrice
de coefficients $\delta_{i,i^*}$ (symbole de Kronecker).
Soit $\gog$ l'alg\`ebre de Lie complexe
\begin{eqnarray*}
\gos\gop(2n,\C)
& = & \{X\in \gl(2n,\C)\;|\; \;^t\!X
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right]
+
\left[\begin{array}{cc}0 & J \\ 
                      -J & 0 \end{array} \right] X =0\}\\
& = &\{
\left[\begin{array}{cc}A & B \\ C & D \end{array} \right]
\in\gl(2n,\C)\;| \;
D=-A^\sharp\ko B=B^\sharp\ko C=C^\sharp\}.
\end{eqnarray*}
Posons $n=3$. Montrer que la sous-alg\`ebre $\goh$
de $\gog$ form\'ee des matrices diagonales appartenant
\`a $\gog$ est une sous-alg\`ebre de Cartan et
d\'eterminer (en m\^eme temps) le syst\`eme de racines
de $(\gog,\goh)$.


\item Soit $X\in\goh$. D\'ecrire le centralisateur
$\gog(X)$ de $X$ dans $\gog$ \`a l'aide des espaces
poids $\gog^\alpha$ de $(\gog,\goh)$.
%\item Montrer que la restriction \`a $\gog(X)$
%de la forme de Killing
%de $\gog$ est non d\'eg\'en\'er\'ee
%et d\'eduire que $\gog(X)$ est r\'eductive 
%(voir l'exercice ...).
\item Montrer qu'on peut choisir $X$ tel que
$[\gog(X),\gog(X)]$ soit isomorphe \`a 
$\sl(2,\C)\oplus\sl(2,\C)$. 
\end{sublist}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


