Université Paris 7 – Denis Diderot Année universitaire 2000-2001 UFR de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie DEA de Mathématiques 09/06/2001

Examen de Juin 2001 (2^{e} session)

I. Trois groupes isomorphes

1) Montrer que

SO(3, C) = {A ∈ GL(3, C) | ^{t}AA = 1 et det A = 1 }

est un groupe de Lie et déterminer son algèbre de Lie 𝔰𝔬(3, C).

2) Montrer que l’ensemble S_{C}^{1} formé de couples (x, y) de nombres complexes tels

que

x^{2} + y^{2} = 1

est connexe.

3) Montrer que l’ensemble E des matrices complexes 2 × 2 de déterminant nul et de trace non nulle est connexe.

4) En déduire que l’ensemble E′ des quadruplets (x, y, z, t) de nombres complexes tels que x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 0 et t ≠ 0 est connexe. Indication : on pourra considérer la matrice

A = ( \begin{matrix}t + iz & ix + y \\ ix − y & t − iz \end{matrix} ) .

5) Montrer que SO(3, C)/SO(2, C) est homéomorphe à la sphère complexe

S_{C}^{2} = {v ∈ C^{3} |q(v) = 1}

où q(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}. Indication : on pourra utiliser un théorème bien connu traité en TD.

6) En déduire que SO(3, C) est connexe. Indication : on commencera par établir que le cercle complexe S_{C}^{1} et la sphère complexe S_{C}^{2} sont connexes.

7) Déterminer les composantes connexes de O(3, C).

8) Montrer que si q est une forme quadratique non dégénérée sur C^{3}, alors O(3, C) est isomorphe à

O(q) = {A ∈ GL(3, C) | q(Av) = q(v) pour tout v ∈ C^{3}}.

Indication : Il existe une base orthonormée pour q.

9) Montrer que les groupes de Lie

P SL(2, C) = SL(2, C)/{±1}

et SO(3, C) sont isomorphes. Indication : on fera opérer SL(2, C) par congruence sur l’ensemble des matrices symétriques 2 × 2 par

(A, S) ↦ AS ^{t}A.

On notera que la forme q(S) = det S est non dégénérée et invariante par cette action.

10) Montrer que l’exponentielle n’est pas surjective pour SL(2, C) (question de cours) mais qu’elle l’est pour SO(3, C). Indication : ceci revient à démontrer que pour toute matrice A ∈ SL(2, C), l’une au moins parmi A et −A est une exponentielle.

11) Montrer que 𝔰𝔬(3, C) est une algèbre de Lie simple de rang 1.

12) a) Montrer qu’une matrice dans 𝔰𝔩(2, C) est nilpotente ssi son déterminant s’annule et semisimple sinon. Indication : considérer le polynôme caractéristique.

b) Montrer qu’une matrice

B = ( \begin{matrix}0 & a & b \\ −a & 0 & c \\ −b & −c & 0 \end{matrix} )

est nilpotente ssi δ(B) = a^{2} + b^{2} + c^{2} s’annule et semi-simple sinon.

13) Expliciter toutes les sous-algèbres de Cartan de 𝔰𝔩(2, C) et 𝔰𝔬(3, C).

14) Soit 𝔥 la sous-algèbre de Cartan de 𝔰𝔬(3, C) formée des matrices

H(λ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & λ \\ 0 & 0 & 0 \\ −λ & 0 & 0 \end{matrix} ) , λ ∈ C.

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de adH(λ) dans 𝔰𝔬(3, C) et expliciter la décomposition

𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔤^{α} ⊕ 𝔤^{−α}

pour 𝔤 = 𝔰𝔬(3, C), 𝔥 = CH(1). Déterminer l’élément H_{α} canoniquement associé à 𝔥 et α. Compléter H_{α} en un 𝔰𝔩_{2}-triplet.

15) Déterminer l’orbite de H_{α} sous l’action adjointe de SO(3, C).

16) Soit q : R^{4} → R la forme quadratique

q(x, y, r, s) = x^{2} − y^{2} − r^{2} − s^{2},

et O(1, 3) le groupe des g ∈ GL(4, R) tels que q(gv) = q(v) pour tout v ∈ R^{4}. Montrer que le groupe de Lie réel P SL(2, C) est isomorphe à la composante connexe de O(1, 3). Indication : faire opérer SL(2, C) par congruence hermitienne sur les matrices de la forme

( \begin{matrix}x + y & r − is \\ r + is & x − y \end{matrix} )

II. Automorphismes qui laissent fixe une sous-algèbre de Cartan

Soit 𝔤 une algèbre de Lie semi-simple complexe et 𝔥 une sous-algèbre de Cartan.

1) Soit H_{0} ∈ 𝔥. Montrer que φ = e^{adH_{0}} est un automorphisme de 𝔤 tel que φ(H) = H pour tout H ∈ 𝔥.

Réciproquement, soit φ : 𝔤 → 𝔤 un automorphisme de 𝔤 tel que φ(H) = H pour tout H ∈ 𝔥. On se propose de montrer que H = exp(adH_{0}) pour un H_{0} ∈ 𝔥.

2) Soit

𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈R} 𝔤^{α}

la décomposition de 𝔤 sous l’action de ad𝔥. Montrer que φ(𝔤^{α}) = 𝔤^{α} pour tout α ∈ R.

3) Pour α ∈ R, soit c_{a} ∈ C tel que φ(X) = c_{α}X pour tout X ∈ 𝔤^{α}. Montrer que c_{α+β} = c_{α}c_{β} et c_{α}c_{−α} = 1 si α, β et α + β sont des racines.

4) Soit S ⊂ R une base du système de racines. Montrer que si c_{α} = 1 pour toutes les racines simples, alors φ est l’identité de 𝔤.

5) Montrer qu’il existe H_{0} ∈ 𝔥 tel que exp(adH_{0}) et φ coïncident sur 𝔤^{α} pour toutes les racines simples. En déduire que φ = exp(adH_{0}).