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\begin{document}
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\begin{center}
{\small
Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot  
                          \hfill Ann\'ee universitaire 2000-2001\\
UFR de Math\'ematiques \hfill Groupes et Alg\`ebres de Lie\\
DEA de Math\'ematiques \hfill 09/06/2001}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
{\large\bf \titredoc}\\
\end{center}
\bigskip
\bigskip


\bigskip
\noindent
{\bf I. Trois groupes isomorphes}

\begin{list-of-exercises}

\item Montrer que 
\[
SO(3,\C) = \{ A\in GL(3,\C)\; | \; \;^t A A = \id \,\mbox{ et }\, \det A =1\;\}
\]
est un groupe de Lie et d\'eterminer son alg\`ebre de Lie $\so(3,\C)$.

\solution{L'ensemble $SO(3,\C)$ est un sous-groupe de
$GL(3,\C)$ d\'efini par des \'equations polynomiales. Il est donc
un sous-groupe ferm\'e du groupe de Lie $GL(3,\C)$. Par le
th\'eor\`eme de von Neumann, il est lui-m\^eme un groupe de Lie.
Son alg\`ebre de Lie est form\'ee des $X\in\gl(3,\C)$ tels que
$\exp(tX)\in SO(3,\C)$ pour tout $t\in \R$. Nous allons montrer 
que 
\[
\Lie(SO(3,\C))=\{ X\in \gl(3,\C) \; | \; ^t X + X =0 \;\}.
\]
En effet, si nous avons $\;^tX + X=0$, alors
\[
\;^t\exp(tX) = \exp(t\;^tX) = \exp(-tX) = \exp(tX)^{-1}
\]
et $\exp(tX)$ est donc bien orthogonale. En outre, on a
\[
\det(\exp(tX))= \exp(\tr(tX))= 1.
\]
R\'eciproquement, si nous prenons la diff\'erentielle en $t=0$ des
deux c\^ot\'es de l'\'equation
\[
\;^t\exp(tX)= \exp(tX)^{-1}\; ,
\]
nous trouvons que $\;^t X = -X$.}

\item Montrer que l'ensemble $S^1_\sC$ form\'e de couples $(x,y)$
de nombres complexes tels que
\[
x^2+y^2=1
\]
est connexe.

\solution{Nous avons $(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$. On voit donc que l'application
\[
S^1_\sC \ra \C^*\; , \; (x,y) \mapsto x+iy
\]
est un hom\'eomorphisme d'inverse
\[
z \mapsto (\frac{z+1/z}{2}, \frac{z-1/z}{2i}).
\]
L'affirmation en d\'ecoule car $\C^*$ est connexe.
}



\item Montrer que l'ensemble $E$ des matrices complexes $2\times 2$
de d\'eterminant nul et de trace non nulle est connexe.

\solution{Le polyn\^ome caract\'eristique d'une telle matrice $A$ est
$X^2 - \lambda X$, o\`u $\lambda=\tr(A)\neq 0$. Elle est donc
semblable \`a la matrice 
\[
\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right).
\]
L'ensemble $E$ est donc l'image de $GL(2,\C)\times \C^*$ par l'application
continue
\[
(g,\lambda) \mapsto g \, \left(\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & 0
    \end{array} \right) \,g^{-1}.
\]
Comme $GL(2,\C)\times \C^*$ est connexe, l'affirmation en r\'esulte.
}

\item En d\'eduire que l'ensemble $E'$ des quadruplets $(x,y,z,t)$ de
nombres complexes tels que $x^2+y^2+z^2+t^2=0$ et $t\neq 0$ est
connexe. Indication~: on pourra consid\'erer la matrice
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
t+iz & ix+y \\ 
ix-y & t-iz
\end{array}
\right).
\]

\solution{L'application $\phi$ qui, \`a un quadruplet $(x,y,z,t)$, associe la
matrice $A$ est une bijection lin\'eaire de $\C^4$ sur $M(2,\C)$.
La trace de $A$ vaut $2t$ et son d\'eterminant $t^2+z^2+x^2+y^2$.
L'application $\phi$ induit donc un hom\'eomorphisme de $E'$
sur l'ensemble $E$ de la question pr\'ec\'edente.
}

\item Montrer que $SO(3,\C)/SO(2,\C)$ est hom\'eomorphe \`a
la sph\`ere complexe
\[
S^2_\sC = \{ v\in \C^3\; | q(v)=1\}
\]
o\`u $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.
Indication~: on pourra utiliser un th\'eor\`eme bien connu
trait\'e en TD.

\solution{Consid\'erons l'action naturelle de $SO(3,\C)$ sur
la sph\`ere complexe. Comme tout vecteur $v$ tel que $q(v)=1$
se compl\`ete en une base orthonorm\'ee de $\C^3$, cette 
action est transitive. Le stabilisateur de $e_1$ sous cette
action est form\'e des matrices dans $SO(3,\C)$ dont le
premier vecteur colonne est $e_1$. Comme le deuxi\`eme
et le troisi\`eme vecteur colonne sont orthogonaux sur
le premier, leur premiers coefficients sont nuls. La
matrice est donc de la forme
\[
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & b & d
  \end{array} \right)
\]
o\`u le bloc en bas \`a droite appartient \`a $SO(2,\C)$. 
Le stabilisateur de $e_1$ est donc canoniquement isomorphe
\`a $SO(2,\C)$, et nous obtenons une bijection
\[
SO(3,\C)/SO(2,\C) \iso S^2_\sC \; .
\]
D'apr\`es un th\'eor\`eme bien connu trait\'e en TD, pour v\'erifier
qu'il s'agit d'un hom\'eomorphisme, il suffit de montrer que
$S^2_{\sC}$ est localement compact et $SO(3,\C)$ localement
compact et d\'enombrable \`a l'infini. Or $S^2_\sC$ est localement
compact en tant que ferm\'e de l'espace localement compact $\C^3$.
Et $SO(3,\C)$ est localement compact et d\'enombrable \`a l'infini
en tant que ferm\'e de l'espace $M(3,\C)$ qui jouit de ces m\^emes
propri\'et\'es.}

\item En d\'eduire que $SO(3,\C)$ est connexe.
Indication~: on commencera par \'etablir que le
cercle complexe $S^1_\sC$ et la sph\`ere complexe
$S^2_\sC$ sont connexes.

\solution{On a vu \`a la question 2) que le cercle $S^1_\sC$ est
connexe. L'application 
\[
(x,y,z,t) \mapsto (x/t, y/t, z/t)
\]
est une surjection continue de l'ensemble $E'$ de la question 4)
sur la sph\`ere complexe $S^2_\sC$. Elle est donc connexe puisque
$E'$ l'est. L'application
\[
(x,y) \mapsto \left(\begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array} \right)
\]
est un hom\'eomorphisme de $S^1_\sC$ sur $SO(2,\C)$. 
Ainsi, $SO(2,\C)$ et 
\[
SO(3,\C)/SO(2,\C)\iso S^2_\sC
\]
sont connexes. D'apr\`es un th\'eor\`eme trait\'e en TD, il
s'ensuit que $SO(3,\C)$ est connexe.
}


\item D\'eterminer les composantes connexes de $O(3,\C)$.

\solution{Comme $SO(3,\C)$ est connexe, il est contenu dans
la composante neutre de $O(3,\C)$. Comme $O(3,\C)/SO(3,\C)\iso \{\pm
1\}$ est discret, la composante neutre de $O(3,\C)$ contient
$SO(3,\C)$. Il s'ensuit que les composantes connexes de
$O(3,\C)$ sont $SO(3,\C)$ et $-SO(3,\C)$.
}

\item Montrer que si $q$ est une forme quadratique non
  d\'eg\'en\'er\'ee sur $\C^3$, alors $O(3,\C)$ est isomorphe
\`a 
\[
O(q) = \{ A\in GL(3,\C) \; | \; q(Av)=q(v)\; 
\mbox{pour tout }v \in \C^3\}.
\]
Indication~: Il existe une base orthonorm\'ee pour $q$.

\solution{Soit $S$ une matrice dont les colonnes forment une base
orthonorm\'ee pour $q$. Alors l'application $g \mapsto S g S^{-1}$
est un isomorphisme de $O(3,\C)$ sur $O(q)$.}

\item Montrer que les groupes de Lie
\[
PSL(2,\C)= SL(2,\C) / \{ \pm \id\}
\]
et $SO(3,\C)$ sont isomorphes.
Indication~: on fera op\'erer $SL(2,\C)$ par congruence sur l'ensemble
des matrices sym\'etriques $2\times 2$ par
\[
(A,S) \mapsto A S\;^t A.
\]
On notera que la forme $q(S)=\det S$ est non d\'eg\'en\'er\'ee et
invariante par cette action.

\solution{L'op\'eration indiqu\'ee d\'efinit un morphisme de groupes
de $SL(2,\C)$ vers $O(q)$. Comme $SL(2,\C)$ est connexe, son image
est contenu dans la composante neutre de $O(q)$. D'apr\`es
la question 7), cette composante est $SO(q)$. Un calcul facile
montre que le noyau de l'homomorphisme $SL(2,\C) \ra SO(q)$ ainsi
d\'efini est $\{\pm 1\}$. On obtient donc un morphisme injectif
de groupes de Lie $\phi: PSL(2,\C) \ra SO(q)$. Ces deux groupes sont
connexes et de m\^eme dimension. Donc $\phi$ est un isomorphisme.
Finalement, on a un isomorphisme $SO(q) \iso SO(3,\C)$ d'apr\`es
la question pr\'ec\'edente.}

\item Montrer que l'exponentielle n'est pas surjective pour
$SL(2,\C)$ (question de cours) mais qu'elle l'est pour $SO(3,\C)$.
Indication~: ceci revient \`a d\'emontrer que pour toute matrice
$A\in SL(2,\C)$, l'une au moins parmi $A$ et $-A$ est une
exponentielle.

\solution{La matrice
\[
\left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array} \right)
\]
n'appartient pas \`a l'image de l'exponentielle de $SL(2,\C)$.
En effet, si elle \'etait de la forme $\exp(X)$ pour un
$X\in \sl(2,\C)$, alors les valeurs propres $\lambda, -\lambda$ de $X$ seraient
non nulles. Alors elles seraient distinctes et $X$ serait
diagonalisable. Mais alors $\exp(X)$ serait diagonalisable.
Contradiction.

Pour montrer que $A$ ou $-A$ est une exponentielle, on peut
supposer $A$ trigonalis\'ee. Si ses coefficients diagonaux sont
distincts deux \`a deux, $A$ est diagonalisable donc elle est
une exponentielle. Si les coefficients diagonaux sont \'egaux
\`a $\lambda$, on a $\lambda^2=1$ donc $\lambda=\pm 1$. Si
$\lambda=1$, alors $A$ est l'exponentielle de $A-\id$.
Si $\lambda=-1$, alors $-A$ est l'exponentielle de $-A-\id$.}


\item Montrer que $\so(3,\C)$ est une alg\`ebre de Lie simple de
rang $1$. 

\solution{La diff\'erentielle de l'isomorphisme de la question
pr\'ec\'edente est un isomorphisme $\sl(2,\C) \iso \so(3,\C)$.
Donc $\so(3,\C)$ est bien simple de rang $1$.}

\item 
\begin{itemize}
\item[a)] Montrer qu'une matrice dans $\sl(2,\C)$ est nilpotente
ssi son d\'eterminant s'annule et semisimple sinon.
Indication~: consid\'erer le polyn\^ome caract\'eristique.
\item[b)] Montrer qu'une matrice 
\[
B= \left(\begin{array}{ccc}
0  &  a  &  b \\
-a &  0  &  c \\
-b & -c  &  0
\end{array} \right)
\]
est nilpotente ssi $\delta(B)=a^2+b^2+c^2$ s'annule et semi-simple sinon.
\end{itemize}

\solution{a) Le polyn\^ome caract\'eristique d'une matrice
  $A\in\sl(2,\C)$ est $X^2 +\det A$. Si $\det A=0$, alors
  $A^2=0$ (Cayley-Hamilton), sinon elle a deux valeurs propres
  distinctes et est donc diagonalisable.

b) Le polyn\^ome caract\`eristique de la matrice indiqu\'ee est
$X^3 -(a^2+b^2+c^2) X$. Si $a^2+b^2+c^2=0$, on a $B^3=0$
(Cayley-Hamilton), sinon elle a trois valeurs propres distinctes
deux \`a deux et est donc diagonalisable.
}

\item Expliciter toutes les sous-alg\`ebres de Cartan de
$\sl(2,\C)$ et $\so(3,\C)$.

\solution{On sait que les sous-alg\`ebres de Cartan de $\sl(2,\C)$
sont de dimension $1$ et qu'elles sont form\'ees d'\'el\'ements
semisimples. R\'eciproquement, si on a une matrice $A$ semi-simple,
alors d'apr\`es le point pr\'ec\'edent, elle a ses valeurs propres
distinctes, donc la droite $\C A$ est conjugu\'e \`a la sous-alg\`ebre
des matrices diagonales de $\sl(2,\C)$. Il s'ensuit que les
sous-alg\`ebres de Cartan de $\sl(2,\C)$ sont pr\'ecis\'ement
les droites $\C A$ o\`u $A$ est une matrice de d\'eterminant
non nul. 

De m\^eme, on voit que les sous-alg\`ebres de Cartan de
$\so(3,\C)$ sont pr\'ecis\'ement les droites $\C B$ o\`u
$\delta(B)\neq 0$.}


\item Soit $\goh$ la sous-alg\`ebre de Cartan de $\so(3,\C)$ form\'ee des
matrices
\[
H(\lambda)=
\left(\begin{array}{ccc} 
0 & 0 & \lambda \\
0 & 0 & 0 \\
-\lambda & 0 & 0 
\end{array}
\right) \ko \lambda \in \C.
\]
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de 
$\ad H(\lambda)$ dans $\so(3,\C)$ et expliciter la d\'ecomposition
\[
\gog = \goh \oplus \gog^\alpha \oplus \gog^{-\alpha}
\]
pour $\gog=\so(3,\C)$, $\goh=\C H(1)$. 
D\'eterminer l'\'el\'ement $H_\alpha$ canoniquement associ\'e \`a
$\goh$ et $\alpha$. Compl\'eter $H_\alpha$ en un $\sl_2$-triplet. 

\solution{Consid\'erons
\[
X=\left(\begin{array}{ccc} 
 0 &  1 &  0 \\
-1 &  0 &  0 \\
0  &  0 &  0
\end{array} \right) \quad
Y=\left(\begin{array}{ccc} 
 0 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  1 \\
0  & -1 &  0
\end{array} \right) \; .
\]
On calcule que 
\[
[H(\lambda), X] = -\lambda Y \ko
[H(\lambda), Y]  =  \lambda X \ko
          [X,Y]  =  H(1). 
\]
La matrice de $\ad H(\lambda)$ dans
la base $X,Y, H(1)$ est donc
\[
\left(\begin{array}{ccc}
0 & \lambda & 0 \\
-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right).
\]
Ainsi, les valeurs propres de
$\ad H(\lambda)$ sont $i\lambda$, $0$ et $-i\lambda$. Des vecteurs
propres associ\'es sont
\[
X+iY, H(1), X-iY.
\]
Pour $\alpha :\goh \ra \C$ on choisit la forme (unique au signe
pr\`es)
\[
H(\lambda) \mapsto i\lambda.
\]
Alors $\gog^\alpha=\C(X+iY)$ et $\gog^{-\alpha}=\C(X-iY)$.
On a $H_\alpha= H(2/i)$. On choisit $X_\alpha=X+iY$. On a
\[
[X+iY, X-iY] = -2i [X,Y] = -2i H(1) = H(2/i)
\]
et on choisit donc $Y_\alpha= X-iY$.
}
 

\item D\'eterminer l'orbite de $H_\alpha$ sous l'action adjointe de
$SO(3,\C)$.
%et montrer que ses \'el\'ements \`a coefficients r\'eels
%forment une sph\1ere de rayon $2$.

\solution{Nous allons montrer que l'orbite est l'ensemble $O$ des matrices
\[
B= \left(\begin{array}{ccc}
0  &  a  &  b \\
-a &  0  &  c \\
-b & -c  &  0
\end{array} \right)
\]
telles que $a^2+b^2+c^2=-4$. En effet, l'ensemble $O$ contient
$H_\alpha$ et il est stable par conjugaison (car $a^2+b^2+c^2$ est un
coefficient du polyn\^ome caract\'eristique de $B$). Donc l'orbite
est contenue dans $O$. R\'eciproquement, si $B\in O$, alors $O$ est
semisimple et r\'egulier d'apr\`es la question 12). Donc il est conjugu\'e sous l'action
du groupe adjoint \`a un \'el\'ement $H(\lambda)$ de $\goh$. On doit
avoir $\lambda^2=\delta(B)=-4$. Donc $\lambda=\pm 2/i$. On conclut en
observant que $H(\lambda)$ est conjugu\'e \`a $H(-\lambda)$ par
l'\'el\'ement de $SO(3,\C)$
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}
\right).
\]
}

\item Soit $q: \R^4 \ra \R$ la forme quadratique
\[
q(x,y,r,s) = x^2 -y^2 -r^2 -s^2,
\]
et $O(1,3)$ le groupe des $g\in GL(4,\R)$ tels que $q(gv)= q(v)$
pour tout $v\in \R^4$. Montrer que  le groupe de Lie r\'eel $PSL(2,\C)$ est isomorphe
\`a la composante connexe de $O(1,3)$.
Indication~: faire op\'erer $SL(2,\C)$ par congruence hermitienne sur les
matrices de la forme
\[
\left( 
\begin{array}{cc}
x+y & r-is \\
r+is & x-y 
\end{array}
\right)
\]

\solution{L'op\'eration par congruence hermitienne pr\'eserve le
  d\'eterminant, qui vaut $x^2-y^2-r^2-s^2$. On obtient donc bien un
  homomorphisme de groupe \`a valeurs dans $O(1,3)$. On calcule que
  son noyau est form\'e de $\pm 1$. On obtient ainsi un morphisme
  de groupes de Lie injectif $PSL(2,\C) \ra O(1,3)$. Les deux groupes
  sont de dimension r\'eelle $6$. Comme $PSL(2,\C)$ est connexe, on obtient un isomorphisme de
  $PSL(2,\C)$ sur la composante neutre de $O(1,3)$.
}


\end{list-of-exercises}


\bigskip
\noindent
{\bf II. Automorphismes qui laissent fixe une sous-alg\`ebre de Cartan}

\bigskip
\noindent
Soit $\gog$ une alg\`ebre de Lie semi-simple complexe et $\goh$ une
sous-alg\`ebre de Cartan. 

\begin{list-of-exercises}
\item Soit $H_0\in \goh$. Montrer que $\phi=e^{\sad H_0}$ est un automorphisme
de $\gog$ tel que $\phi(H)=H$ pour tout $H\in\goh$.

\solution{Comme $\ad H_0 : \gog \ra \gog$ est une d\'erivation, son exponentielle
est un automorphisme. Pour $H\in \goh$, on a $(\ad H_0)(H)=0$. 
Donc $\exp(\ad H_0)$ se restreint \1a l'identit\'e sur $\goh$.}

\end{list-of-exercises}

R\'eciproquement, soit $\phi: \gog\ra\gog$ un automorphisme
de $\gog$ tel que $\phi(H)=H$ pour tout $H\in \goh$. On se propose de montrer
que $H=\exp(\ad H_0)$ pour un $H_0\in \goh$.

\begin{list-of-exercises}
\setcounter{exo}{1}
\item Soit 
\[
\gog = \goh \oplus \bigoplus_{\alpha \in R} \gog^\alpha
\]
la d\'ecomposition de $\gog$ sous l'action de $\ad \goh$. 
Montrer que $\phi(\gog^\alpha)= \gog^\alpha$ pour tout
$\alpha\in R$.

\solution{Soit $X\in \gog^\alpha$. Pour $H\in \goh$, on a
\[
[H, \phi(X)] = [\phi(H), \phi(X)] = \phi([H,X]) = \alpha(H) \phi(X).
\]
Donc $\phi(X)$ est encore dans $\gog^\alpha$. Comme $\phi$ est
un automorphisme, sa restriction \`a $\gog^\alpha$ est injective
et on a $\phi(\gog^\alpha)=\gog^\alpha$. 
}


\item Pour $\alpha\in R$, soit $c_a\in \C$ tel que
$\phi(X)=c_\alpha X$ pour tout $X\in \gog^\alpha$.
Montrer que $c_{\alpha+\beta}= c_\alpha c_\beta$ 
et $c_\alpha c_{-\alpha} = 1$ si $\alpha$, $\beta$ et
$\alpha+\beta$ sont des racines.

\solution{Soient $X_\alpha$ et $X_\beta$ des g\'en\'erateurs
de $\gog^\alpha$ et $\gog^\beta$. On sait qu'alors 
$[X_\alpha,X_\beta]$ est un g\'en\'erateur de $\gog^{\alpha+\beta}$.
On a 
\[
c_{\alpha+\beta} [X_\alpha, X_\beta] = \phi([X_\alpha, X_\beta])
= [\phi(X_\alpha), \phi(X_\beta)] = c_\alpha\, c_\beta\, [X_\alpha, X_\beta].
\]
D'o\1u la premi\1ere \'egalit\'e. Pour la seconde, on choisit
un g\'en\'erateur $Y_\alpha$ de $\gog^{-\alpha}$. On sait alors que 
$[X_\alpha, Y_\alpha]$ est un \'el\'ement non nul de $\goh$ et on
en d\'eduit que $c_\alpha c_{-\alpha}=1$.
}

\item Soit $S\subset R$ une base du syst\`eme de racines.
Montrer que si $c_\alpha=1$ pour toutes les racines
simples, alors $\phi$ est l'identit\'e de $\gog$.


\solution{Soit $\beta$ une racine positive. On sait qu'il existe
une suite de racines simples $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$
telle que
\[
\beta = \alpha_1 + \ldots + \alpha_k
\]
et que chaque somme partielle $\alpha_1+ \ldots + \alpha_h$, $h\leq
k$, soit encore une racine. Par r\'ecurrence sur $h$, on d\'eduit
du point pr\'ec\'edent que $c_\beta=1$. Comme $c_\beta
\,c_{-\beta}=1$, on a aussi $c_{-\beta}=1$. Il s'ensuit que
$\phi$ est l'identit\'e sur $\gog^\beta$ pour toute racine 
$\beta$. Comme $\phi$ se restreint aussi \`a l'identit\'e
sur $\goh$, $\phi$ est l'identit\'e de $\gog$.
}

\item Montrer qu'il existe $H_0\in \goh$ tel que
$\exp(\ad H_0)$ et $\phi$ co\"{\i}ncident sur $\gog^\alpha$
pour toutes les racines simples. En d\'eduire que 
$\phi=\exp(\ad H_0)$.


\solution{Pour toute racine simple $\alpha$ soit $z_\alpha$ un nombre
complexe tel que $e^{z_\alpha}=c_\alpha$. On sait que les racines simples 
forment une base sur $\C$ du dual de $\goh$. Il existe donc un
\'el\'ement $H_0$ dans $\goh$ tel que $\alpha(H_0)=z_\alpha$ pour
toute racine simple $\alpha$. On a alors 
\[
\exp(\ad H_0)(X_\alpha) = \exp(\alpha(H_0)) X_\alpha = c_\alpha X_\alpha.
\]
Donc les coefficients $c_\alpha$ associ\'es \1a $\phi^{-1} \circ \exp(\ad H_0)$
sont tous \'egaux \1a $1$. D'apr\1es le point pr\'ec\'edent,
$\phi^{-1} \circ \exp(\ad H_0)$ est l'identit\'e de $\gog$.
}



\end{list-of-exercises}




\end{document}